Экспериментальные исследования атомных ядер выявили
некоторую периодичность в изменении индивидуальных характеристик основных и
возбужденных состояний атомных ядер (таких, как энергии связи, спины, магнитные
моменты, четности, некоторые особенности α- и β- распадов). Эту периодичность
(Рис. 4) капельная модель ядра описать была не способна.
Отмеченная периодичность подобна периодичности свойств
электронных оболочек атома и определяется магическими числами нейтронов и
протонов:
N
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184
Z
2, 8, 20, 28, 50, 82, 114
Магические числа нейтронов и протонов по аналогии с
характеристиками основных состояний атомов соответствуют полностью заполненным
ядерным оболочкам.
Одночастичная модель оболочек атомных ядер была предложена
М. Гепперт-Майер и
независимо
О. Хакселем,
Е. Иенсеном и
Г.Зюссом. Она
явилась результатом систематизации и обобщения огромного количества
экспериментальных данных.
В основе модели лежит предположение, о том, что ядерное поле Vk,действующее на нуклон k в ядре со стороны остальных нуклонов, состоит из
трех частей
Рис. 4. Разность между предсказаниями формулы Вайцзеккера и
экспериментальными значениями энергии связи для ядер с различными
числами нейтронов N
Первый член V0(r) описывает
центрально-симметричное поле, создаваемое всеми нуклонами ядра. Второй член V1(r)(ŝ)
описывает спин-орбитальное взаимодействие нуклона. Третий член описывает
остаточное взаимодействие между нуклонами типа парных сил и характеризует
отклонение от самосогласованного поля, создаваемого V0(r) и V1(r)(ŝ).
Решающим шагом в развитии оболочечной модели ядра явилось
понимание того, что спин-орбитальное взаимодействие нуклонов в среднем поле ядра
приводит к расщеплению уровней с данным значением j на два уровня с j = l ± 1/2,
где j – спин нуклона, l – орбитальный момент нуклона.
Величина спин-орбитального расщепления приближенно
определяется соотношением
В потенциале, учитывающем спин-орбитальное взаимодействие,
снимается вырождение состояний по полному моменту j нуклона в пределах одной
оболочки, который при данном l в зависимости от ориентации спина нуклона
принимает 2 значения j = l ±1/2. Происходит расщепление состояния l на два
состояния с разной взаимной ориентацией
и
. Глубже по
энергии опускается уровень с j = l + 1/2, так как в этом случае нуклон сильнее
взаимодействует с остальными нуклонами ядра.
Схема ядерных одночастичных уровней с учётом ls – расщепления
показана на Рис. 5.
Рис. 5. Одночастичные уровни в сферически симметричном оболочечном
потенциале. Приведено схематическое изображение уровней в потенциале
Вудса-Саксона: слева без учета спин-орбитального взаимодействия,
справа - с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в
одну осцилляторную оболочку
Величина спин-орбитального расщепления тем больше, чем больше
l.
Начиная с уровня 1g, затем 1h и т.д., спин-орбитальное расщепление ls
становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками.
Расщепление уровней с l ≥ 4 настолько велико, что нижний уровень оболочки с
максимальными j сильно опускается вниз и оказывается в предыдущей оболочке (это
относится к уровням 1g9/2, 1h11/2, 1i13/2, и 1j15/2,
которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).
Количество нуклонов одного сорта на подоболочке nlj равно vj
– числу проекций спина нуклона j на ось z:
vj = 2j + 1.
Состояния ядра одночастичной модели оболочек
определяются расположением нуклонов на одночастичных состояниях и называются
конфигурациями. Основное состояние ядра соответствует расположению
нуклонов на самых нижних подоболочках.
Приведенная на Рис 5. последовательность уровней одинакова
для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50,
последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов
различаются.
Энергетическое положение ядерных подоболочек и,
следовательно, последовательность их заполнения зависит от массового числа А. На
Рис. 6 показано, как изменяются положение и последовательность заполнения
одночастичных нейтронных состояний в зависимости от массового числа А.
Рис. 6. Зависимость энергий нейтронных одночастичных состояний En
от массового числа A
В трёх случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и
чётность основного состояния ядра.
1. Ядро с заполненными оболочками. Так как в каждой заполненной оболочке
заняты состояния со всеми возможными проекциями
, результирующий момент подоболочки и
полный момент ядра
равны нулю. Каждому нуклону на подоболочке с проекцией +jz
будет соответствовать нуклон с -jz, и суммарный момент нуклонов
подоболочки будет равен нулю. Проекция момента jzпринимает следующие дискретные значения:
jz = ±j, ±(j-1), ±(j-2),...,±1/2.
Чётность замкнутой подоболочки положительна, так как она
содержит чётное число (2j+1) нуклонов одинаковой чётности. Поэтому для замкнутой
оболочки:
JP = 0+.
2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных оболочек.
Остов заполненных оболочек имеет характеристику 0+, а поэтому момент
и чётность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если
этот нуклон находится в состоянии nlj
, то полный момент ядра J = j, а результирующая чётность ядра P =
(-1)l. Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем
3. Ядро с «дыркой» в заполненной оболочке, т.е. с подоболочкой, в которой
до заполнения не хватает одного нуклона.
Для ядра «с дыркой» имеем те же правила определения спина и
чётности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненной
оболочки:
.
В одночастичной модели оболочек можно сформулировать
следующие правила для спинов J и чётностей P в основном состоянии ядра:
чётно-чётное ядроJP = 0+;
нечётное ядро J = j, P = (-1)l;
нечётно-нечётное ядро |jp − jn| ≤J ≤ jp + jn;
где j, l, jp, lp, jn, lnотносятся к полному и орбитальному моменту нечётного нуклона (протона,
нейтрона).Эти правила полностью описывают обнаруженные экспериментальные
закономерности спинов и четностей атомных ядер.
Между любой парой нуклонов одного типа на подоболочке помимо
общего, сводящегося к центрально симметричному взаимодействию V(r), действует
дополнительное взаимодействие, не сводимое к V(r), которое поэтому называется
остаточным
- Vост. Свойства Vост таковы, что паре нуклонов одного
сорта на одной подоболочке выгодно иметь результирующий момент J = 0. Это и есть
эффект сил спаривания, упоминавшихся ранее при обсуждении формулы
Вайцзеккера.
Дополнительная энергия связи ядра за счёт этих сил имеет величину порядка 1 - 3
МэВ.
Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено
особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных
расстояниях r ~ (1 – 2) Фм нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно
находиться на подоболочке в состояниях, характеризуемых одними и теми же числами
nlj. Наиболее связанной при этом оказывается пара нейтронов (протонов) с
противоположно направленными моментами, т.е. с +jzи -jz. Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором
совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой
пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полной момент и
чётность такого состояния – JP = 0+.
Таким образом, в основном и низколежащих состояниях ядер
нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными
. Для того, чтобы разрушить каждую
такую пару, в ядро нужно внести энергию 1 - 3 МэВ. Возникает своеобразная
ситуация - сверхтекучесть ядерной материи.