6. Модель ядерных оболочек

    Экспериментальные исследования атомных ядер выявили некоторую периодичность в изменении индивидуальных характеристик основных и возбужденных состояний атомных ядер (таких, как энергии связи, спины, магнитные моменты, четности, некоторые особенности α- и β- распадов). Эту периодичность (Рис. 4) капельная модель ядра описать была не способна.
    Отмеченная периодичность подобна периодичности свойств электронных оболочек атома и определяется магическими числами нейтронов и протонов:

    Магические числа нейтронов и протонов по аналогии с характеристиками основных состояний атомов соответствуют полностью заполненным ядерным оболочкам.
    Одночастичная модель оболочек атомных ядер была предложена М. Гепперт-Майер и независимо О. Хакселем, Е. Иенсеном и Г.Зюссом. Она явилась результатом систематизации и обобщения огромного количества экспериментальных данных.

В основе модели лежит предположение, о том, что ядерное поле V_k, действующее на нуклон k в ядре со стороны остальных нуклонов, состоит из трех частей

Рис. 4. Разность между предсказаниями формулы Вайцзеккера и экспериментальными значениями энергии связи для ядер с различными числами нейтронов N

    Первый член V₀(r) описывает центрально-симметричное поле, создаваемое всеми нуклонами ядра. Второй член V₁(r)(ŝ) описывает спин-орбитальное взаимодействие нуклона. Третий член описывает остаточное взаимодействие между нуклонами типа парных сил и характеризует отклонение от самосогласованного поля, создаваемого V₀(r) и V₁(r)(ŝ).
    Решающим шагом в развитии оболочечной модели ядра явилось понимание того, что спин-орбитальное взаимодействие нуклонов в среднем поле ядра приводит к расщеплению уровней с данным значением j на два уровня с j = l ± 1/2, где j – спин нуклона, l – орбитальный момент нуклона.
    Величина спин-орбитального расщепления приближенно определяется соотношением

    В потенциале, учитывающем спин-орбитальное взаимодействие, снимается вырождение состояний по полному моменту j нуклона в пределах одной оболочки, который при данном l в зависимости от ориентации спина нуклона принимает 2 значения j = l ±1/2. Происходит расщепление состояния l на два состояния с разной взаимной ориентацией и . Глубже по энергии опускается уровень с j = l + 1/2, так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными нуклонами ядра.
    Схема ядерных одночастичных уровней с учётом ls – расщепления показана на Рис. 5.

Рис. 5. Одночастичные уровни в сферически симметричном оболочечном потенциале. Приведено схематическое изображение уровней в потенциале Вудса-Саксона: слева без учета спин-орбитального взаимодействия, справа - с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку

    Величина спин-орбитального расщепления тем больше, чем больше l. Начиная с уровня 1g, затем 1h и т.д., спин-орбитальное расщепление ls становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками. Расщепление уровней с l ≥ 4 настолько велико, что нижний уровень оболочки с максимальными j сильно опускается вниз и оказывается в предыдущей оболочке (это относится к уровням 1g_9/2, 1h_11/2, 1i_13/2, и 1j_15/2, которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).
    Количество нуклонов одного сорта на подоболочке nlj равно v_j – числу проекций спина нуклона j на ось z:

v_j = 2j + 1.

    Состояния ядра одночастичной модели оболочек определяются расположением нуклонов на одночастичных состояниях и называются конфигурациями. Основное состояние ядра соответствует расположению нуклонов на самых нижних подоболочках.
    Приведенная на Рис 5. последовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50, последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов различаются.
    Энергетическое положение ядерных подоболочек и, следовательно, последовательность их заполнения зависит от массового числа А. На Рис. 6 показано, как изменяются положение и последовательность заполнения одночастичных нейтронных состояний в зависимости от массового числа А.

Рис. 6. Зависимость энергий нейтронных одночастичных состояний En от массового числа A

В трёх случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и чётность основного состояния ядра.

1. Ядро с заполненными оболочками. Так как в каждой заполненной оболочке заняты состояния со всеми возможными проекциями , результирующий момент подоболочки и полный момент ядра равны нулю. Каждому нуклону на подоболочке с проекцией +j_z будет соответствовать нуклон с -j_z, и суммарный момент нуклонов подоболочки будет равен нулю. Проекция момента  j_z принимает следующие дискретные значения:

j_z = ±j, ±(j-1), ±(j-2),...,±1/2.

    Чётность замкнутой подоболочки положительна, так как она содержит чётное число (2j+1) нуклонов одинаковой чётности. Поэтому для замкнутой оболочки:

J^P = 0⁺.

2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных оболочек. Остов заполненных оболочек имеет характеристику 0⁺, а поэтому момент и чётность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон находится в состоянии nl_j , то полный момент ядра J = j, а результирующая чётность ядра P = (-1)^l. Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем

3. Ядро с «дыркой» в заполненной оболочке, т.е. с подоболочкой, в которой до заполнения не хватает одного нуклона.
    Для ядра «с дыркой» имеем те же правила определения спина и чётности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненной оболочки:

.

    В одночастичной модели оболочек можно сформулировать следующие правила для спинов J и чётностей P в основном состоянии ядра:

• чётно-чётное ядро J^P = 0⁺;
• нечётное ядро J = j, P = (-1)^l;
• нечётно-нечётное ядро |j_p − j_n| ≤J ≤ j_p + j_n;

где j, l, j_p, l_p, j_n, l_n относятся к полному и орбитальному моменту нечётного нуклона (протона, нейтрона). Эти правила полностью описывают обнаруженные экспериментальные закономерности спинов и четностей атомных ядер.
    Между любой парой нуклонов одного типа на подоболочке помимо общего, сводящегося к центрально симметричному взаимодействию V(r), действует дополнительное взаимодействие, не сводимое к V(r), которое поэтому называется остаточным - V_ост. Свойства V_ост таковы, что паре нуклонов одного сорта на одной подоболочке выгодно иметь результирующий момент J = 0. Это и есть эффект сил спаривания, упоминавшихся ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера. Дополнительная энергия связи ядра за счёт этих сил имеет величину порядка 1 - 3 МэВ.
    Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях r ~ (1 – 2) Фм нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на подоболочке в состояниях, характеризуемых одними и теми же числами nlj. Наиболее связанной при этом оказывается пара нейтронов (протонов) с противоположно направленными моментами, т.е. с +j_z и -j_z. Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полной момент и чётность такого состояния – J^P = 0⁺.
    Таким образом, в основном и низколежащих состояниях ядер нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными . Для того, чтобы разрушить каждую такую пару, в ядро нужно внести энергию 1 - 3 МэВ. Возникает своеобразная ситуация - сверхтекучесть ядерной материи.