Д.С. Бецис

Нейтрино и темная материя

Может ли нейтрино быть компонентом темной материи?

    Несмотря на то, что конкретный состав темной материи сегодня остается открытым, ее природа предполагает, что кандидатами на эту роль должны быть массивные, нейтральные и стабильные в космологических масштабах времени частицы. Также ожидается, что они участвуют только в гравитационных (и, возможно, слабых) взаимодействиях. Казалось бы, нейтрино подходят под такие критерии. Однако, имея релятивистские скорости, нейтрино не могут быть привлечены для объяснения некоторых явлений, по предположению связанных с наличием темной материи: вращение спиральных рукавов галактик, слияние галактических кластеров и другие. Впрочем, не являясь непосредственно WIMP‑ами (Weakly Interacting Massive Particles − Слабо Взаимодействующими Массивными частицами, составляющими темную материю), теоретически нейтрино могут с ними взаимодействовать.
    Рассмотрим более подробно, какие именно существуют теории относительно обоих вариантов.

Нейтрино как возможный кандидат

    До недавнего времени особый тип нейтрино − стерильные − считались хорошим претендентом на данную роль. В работе [1] такой вывод заключается из наличия у них массы, что согласуется с результатами многих экспериментов. В частности, на LSND (Liquid Scintillator Neutrino Detector) и по регистрации черенковского излучения получены свидетельства в пользу нейтринных осцилляций (переходы ν_e → ν_μ для потоков от Солнца и _e → _μ от ускорителя LSND). Но можно предположить, что часть электронных нейтрино переходят в мюонные, тау, и, кроме того, в некий четвертый тип, ν_s, представляющий стерильные частицы, с очень маленьким углом смешивания. ν_s не участвуют в нуклеосинтезе, и введение их хорошо согласуется с теорией. Однако описанные проблемы рассматриваются и без участия нового типа нейтрино.
    По анализам осцилляций ν_μ → ν_τ в атмосфере можно построить аналогичную модель двухнейтринной темной материи, заключающуюся во введении двух типов стерильных частиц. В разработке ее особую роль играет наблюдение сверхновых II типа. [2] На конечном этапе эволюции звезд имеет место r-процесс − захват быстрых нейтронов, в результате которого образуются тяжелые элементы. Если масса нейтрино лежит в области эВ, то для некоторых реакций возникает проблемный диапазон, где они затруднены по причине ограничения на угол смешивания в переходе ν_e → ν_μ. Энергичные мюонные нейтрино (с энергией 25 МэВ), идущие из центра сверхновой, в результате осциляций порождают электронные нейтрино значительно большей энергии, чем термальные (Е порядка 11 МэВ). Стерильные нейтрино в рамках двухнейтринной теории не только решают данную проблему, но и спасают весь r-процесс.
    Наблюдения рентгеновской линии с энергией 3.5 кэВ от скоплений галактик, опубликованные в недавнем обзоре [3], тоже дают повод считать подобные частицы компонентами темной материи. В далеких кластерах фотоны с такой энергией могут образовываться при распаде стерильных нейтрино с массой 7.1 кэВ. Относительно механизма рождения самих нейтрино построено даже несколько гипотез. Один из них заключается в парном рождении синглетным скалярным полем S, введенным по механизму Юкавы с лагранжианом

yS_sν_s/2.

    Еще одним кандидатом выступают гипотетические нейтрино четвертого поколения. [4] В Стандартной Модели мы имеем три поколения лептонов, но физика нейтрино уже сейчас демонстрирует недостаточность описания лептонного сектора в этих рамках: аргументы в пользу существования массы нейтрино и осцилляций противоречит Стандартной Модели. Введение других поколений − одно из расширений теории. В частности, четвертое поколение дало бы объяснение некоторым аномалиям, таким как нарушение СР-симметрии в В-физике, наличие нейтральных токов с изменением аромата и некоторых других. Может ли нейтрино четвертого поколения являться частью темной материи?
    Теоретическое предположение об их существовании основывается на том, что такие частицы дает невидимая ширина распада Z бозона. Ширина распада на уже известные нам легкие нейтрино удовлетворяет следующему соотношению:

Г(Z → ν) = N_f × 0.17 ГэВ,

где N_f  − количество поколений, равное 3. Нейтрино четвертого поколения должны иметь массу
m_ν ≥ M_Z/2. А из того, что они, как и электронное, мюонное и тау-нейтрино, стабильны и нейтральны, то совокупность данных свойств, казалось бы, позволяет считать их кандидатами на роль WIMP. Нейтрино четвертого поколения могут быть как лево-, так и правополяризованными. В работе [6] приводится расчет поперечного сечения прямого детектирования лево-поляризованных нейтрино четвертого поколения по реакции, диаграмма которой изображена на рис. 1. Значение оказывается слишком большим, что противоречит предыдущим экспериментальным данным: с константой связи, соответствующей электрослабому взаимодействию, и в предположении, что нейтрино рассеивается на протоне, оно получается 10^-38 см² на нуклон, в то время как эксперименты по поиску темной материи дают ограничения порядка 10^-44 см² на нуклон (по данным проектов CDMS и XENON, [5], [6]). Следовательно, масса таких нейтрино даже слишком велика, чтобы считать их хорошими кандидатами, а кроме того, трудно объяснить, почему они остаются стабильными при такой большой массе.

Рис. 1. Прямое наблюдение массивных нейтрино - кандидатов на роль частиц темной материи, взаимодействующих с помощью Z-бозона Стандартной Модели [4].

    Следующим шагом в теории, выводящей за рамки Стандартной Модели, является предположение о существовании еще одного массивного калибровочного бозона, Z', с помощью которого взаимодействуют право-поляризованные нейтрино. Его масса и константа связи отличается от аналогичных характеристик обычного Z-бозона. После введения новой калибровочной U(1) симметрии, что вполне можно реализовать и что согласуется с общей идеей четвертого поколения, получается такая теория, в которой правополяризованные нейтрино существуют, массивны и стабильны, более того, данное предположение объяснит и отсутствие масс у нейтрино предыдущих поколений. Новые нейтрино будут майорановскими и окажутся хорошими кандидатами на роль частиц темной материи. Диаграмму их прямого наблюдения иллюстрирует рис.2. Численные оценки поперечного сечения дают почти нулевой результат, если не учитывать смешивание между право- и левополяризованными нейтрино (такое смешивание принимается незначительным).

Рис. 2. Прямое наблюдение массивных право-поляризованных майорановских нейтрино, взаимодействующих с калибровочным бозоном Z' и являющихся кандидатами на роль частиц темной материи [4].

    Масса правополяризованных нейтрино также близка к M_z/2 и оказывается меньше, чем масса левополяризованных, так как масса лептонов четвертого поколения не может быть больше масс фермионов, участвующих в обычных электрослабых взаимодействиях. Соответственно, масса Z'-бозона должна быть ТэВ-ного масштаба, однако, его поиски на Большом Адронном Коллайдере весьма затруднительны из-за почти нулевого поперечного сечения.
    Лагранжиан Z'-бозона и связанного с ним взаимодействия можно записать следующим образом:

 где g_x − групповая константа связи, q − кварки всех четырех поколений, e₄ − заряженные лептоны четвертого поколения, ν_4L и ν_4R лево- и правополяризованные нейтрино четвертого поколения. Вводя стандартное обозначение для частиц темной материи χ = ν_4R, можно записать для ширины распада Z'-бозона:

,

где N_C = 3, M_Z', M_q, M_e4, M_ν4L, M_χ − массы соответствующих частиц.
    Сечение аннигиляции процесса χχ → Z' → q:

где v − относительная скорость сталкивающихся частиц темной материи,

    В такой модели предполагается, что другие частицы четвертого поколения тяжелее, они не дают вклада в ширину распада Z'-бозона и, следовательно, в сечение аннигиляции. Лептоны других поколений не несут заряда новой введенной унитарной симметрии, поэтому не могут быть конечными стадиями распада Z' -бозона.
    Оценка плотности темной материи берется из космологических измерений, например, космического аппарата WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), который составлял карту плотности реликтового излучения с 2001 по 2009 год [7]. Данный параметр важен для рассмотрения вопроса о том, являются ли частицы кандидатами на роль WIMP-ов или нет. Рис.4 демонстрирует вклад разных каналов распада в ширину Z'-бозона. Так как Z' оказывается сильнее связан и, следовательно, сильнее взаимодействует с лептонами четвертого поколения, чем с кварками, то относительный вклад распада на правополяризованные нейтрино, составляющее четвертое поколение, больше. Он сравним с суммарным вкладом распадов на кварки первых трех поколений. Также видно, что относительный вклад больше для заряда g_x = 0.6, чем для заряда g_x = 0.3. Это объясняется тем, что увеличение константы связи влечет уменьшение массы рассматриваемых частиц темной материи.
    Последнее требование следует из ограничений на плотность темной материи, полученных по результатам астрофизических наблюдений.
    То есть, данный тип нейтрино оказывается вполне приемлемым кандидатом. В этой ситуации действительно большая часть массы Вселенной приходится на четвертое поколение, частицы которого практически не взаимодействуют с наблюдаемым и описываемым Стандартной Моделью миром. И если прямые методы наблюдений пока не эффективны, то придется искать другие, непрямые методы.

Рис. 3. Масса правополяризованных нейтрино как частиц, входящих в состав темной материи, в зависимости от массы калибровочного бозона. Пунктирная линия соответствует условию m_Z = m_χ. Сплошные полосы определяют области, в которых выполнено 0.09 < Ω_χh² < 0.13, условие на плотность темной материи для заряда относительно новой группы симметрии. Более широкие (самая верхняя и самая нижняя) полосы соответствуют q_x = 0.6, более тонкие − q_x = 0.3 [4].

Рис. 4. Ширина распада Z'-бозона для q_x = 0.3 (нижние сплошная и пунктирная линии) и
q_x = 0.6 (верхние сплошная и пунктирная линии). Г_χχ − ширина распада на правополяризованные нейтрино четвертого поколения в конечном состоянии, Г_had − суммарная ширина распада на все кварки Стандартной Модели.

Нейтрино как продукт взаимодействия

    Но можно подойти к вопросу о роли нейтрино в исследовании темной материи иначе. Что, если сами нейтрино WIMP-ами не являются, однако участвуют в происходящих с ними физических процессах?
    Например, аннигиляция внутри массивных небесных тел: звезд, планет, галактик. Согласно теории, WIMP-ы там теряют энергию в результате упругого рассеяния на ядрах и могут быть захвачены гравитацией. Затем накапливаются до необходимой концентрации и в итоге аннигилируют друг с другом (так как являются майорановскими, то есть частица тождественна античастице). В результате получаются частицы Стандартной Модели, которые, в свою очередь, распадаются с испусканием нейтрино.
    В различных моделях частицы темной материи отличаются по свойствам, и, поскольку надежно зарегистрированы они еще не были, ученые делают лишь теоретические предсказания относительно потоков полученных в том или ином случае нейтрино.
    Рассмотрим более подробно вариант, когда на роль частиц темной материи выдвигаются легчайшие суперсимметричные частицы - одну из самых разработанных гипотез. Версий суперсимметрии тоже существует много, в каждой свои параметры, и выбор их влияет на оценку потока нейтрино. Например, в CMSSM (Constrained Minimal Supersymmetric extension to the Standard Model − Ограниченная Минимальная Суперсимметричная Стандартная Модель) основными каналами аннигиляции будут
χχ → W⁺W⁻, χχ → τ⁺τ⁻, χχ → b. Лагранжиан подобной модели выглядит следующим образом:

.

Здесь L_SM − лагранжиан Стандартной Модели, части L_χ и L_η отвечают полям χ (майорановский фермион, частица темной материи) и η (скаляр). Лагранжиан взаимодействия

где Ф − бозон Хиггса Стандартной Модели, ƒ − константа связи. Образованные в процессе аннигиляции кварки и бозоны адронизируются и распадаются, и среди продуктов распада есть потоки нейтрино [8].
    В других моделях рассматриваются аннигиляции с образованием трех частиц: кварк-антикварковой пары и глюона (qg), так как процессы, описанные выше, оказываются подавленными по спиральности и скорости протекания. Вместо глюона в подобной реакции может получаться протон, W или Z бозон. [9],[10] Такие процессы будут доминировать над аннигиляцией в две частицы, потому что полученный скаляр (бозон) близок по массе к частицам темной материи. Относительный вклад каждого канала аннигиляции сильно зависит от того, каким принимается величина m_η/m_χ − отношение массы скаляра к массе легчайшей суперсимметричной частицы (которая есть темная материя). В расчетах обычно принимается масса m_χ ~ 1 ТэВ. Рис. 5 иллюстрирует данную ситуацию для каналов аннигиляции с образованием u‑кварков, аналогичные графики существуют для пары b и других.

Рис. 5. Относительный вклад различных каналов аннигиляции для отношений масс m_η/m_χ = 2.0 [8].

    Нейтринные потоки главным образом дает канал χχ → qZ. Цепочки реакций от тяжелых адронов (с и b кварков) также представляют интерес, но их сложнее рассчитывать. Поперечное сечение сильно возрастает в случае, когда масса частиц темной материи близка к массе скаляра η. Это определяет область параметров, в которой следует проводить непрямые наблюдения. С другой стороны, выражение для поперечного сечения расходится, когда m_η = m_χ + m_q, поэтому необходимо учитывать ширину скаляра для расчетов вблизи резонанса. Чтобы избежать проблем, связанных с расходимостью, можно рассматривать область m_η − m_χ ≥ 2m_q, которая далека от резонанса.
    На энергетический спектр нейтринных потоков существенное влияние оказывает плотность среды, внутри которой происходит аннигиляция. Дело в том, что, проходя сквозь нее, получившиеся в результате частицы теряют часть энергии на электромагнитные и сильные взаимодействия с веществом, еще до распадов с испусканием нейтрино, соответственно, нейтрино будут иметь большую или меньшую долю первоначальной энергии аннигиляции. Поэтому очень важно составить правильную модель реакций для конкретного объекта, например, для Солнца или Земли.

Солнце − ближайший источник

    Самым близким к нам массивным объектом является Солнце. Попробуем рассмотреть его как потенциальный источник нейтрино от взаимодействия частиц темной материи. Во-первых, эти нейтрино будут заметно отличаться от продуктов обычных ядерных реакций, идущих в недрах звезды (солнечные нейтрино, полученные в последних, имеют значительно меньшую энергию).
    Большие нейтринные телескопы (например, IceCube и ANTARES), нацеленные на регистрацию частиц от астрофизических источников, подходят и для сигналов от аннигиляций WIMP-ов. В частности, в эксперименте IceCube, расположенном вблизи Южного полюса, есть специальная часть детектора − DeepCore, с лучшим разрешением и чувствительностью, расположенная в самом центре установки. Принцип работы таких телескопов − регистрирация черенковского излучения от мюона, вызванного прохождением нейтрино с достаточной энергией через воду (в ANTARES) или лед (IceCube). При этом полезными являются сигналы от восходящих мюонов, так как они не могут быть рождены чем-то кроме нейтрино - никакие другие частицы не пройдут сквозь толщу Земли без взаимодействия. Аналогичным образом регистрируются и нейтрино других ароматов, не только мюонные, но в телескопах данного типа это менее эффективно, потому что длина пробега соответствующих лептонов меньше. В период с июня 2010 года по май 2011 года на Южном полюсе было получено около 25000 подходящих по критериям сигналов, которые затем проходят обработку и сверяются с различными моделями. [9]
    Для частиц темной материи в ядре Солнца возможны три процесса: аннигиляция, упругое рассеяние и неупругое с потерей энергии. В результате потери энергии WIMP накапливаются в ядре, что приводит к повышению вероятности аннигиляции.
    Временная зависимость количества частиц описывается дифференциальным уравнением:

dN/dt = Г_C – C_AN² – C_EN,

 где N – количество частиц темной материи в ядре Солнца, Г_C – частота (вероятность) захвата, C_A – константа аннигиляции и C_E – константа теплового испарения. Для частиц темной материи с энергией около 10 ГэВ вклад испарения незначительный [11]. Тогда, решая уравнение, можно найти частоту аннигиляций как функцию времени:

где τ = (Г_CC_A)^-1/2.
    Вероятность аннигиляций сильно увеличивается, когда t >> τ. В этом диапазоне захват и аннигиляция находятся в равновесии, и частота аннигиляций определяется только частотой захвата: Г_A = Г_C/2. Несмотря на то, что Земля и Солнце захватывают частицы темной материи на протяжении более 4.5·10⁹ лет, этот параметр в некоторых моделях может оказаться недостаточным для установления равновесия. Частота захвата вычисляется из информации о поперечном сечении реакций темной материи с ядрами. Также она зависит от наших предположений о плотности и скоростях частиц темной материи в Солнечной Системе и от распределения плотности внутри Солнца и Земли.
    Локальную плотность темной материи можно оценить из космологических данных, полученных в результате измерения реликтового излучения. С другой стороны, константа аннигиляции для Солнца выражается следующим образом:

И для Земли:

Здесь <σ_Av> − поперечное сечение аннигиляции с определенной скоростью сталкивающихся частиц темной материи. И частота захвата, и константа аннигиляции зависят от константы связи ƒ, что позволяет определить ее нижний предел из требования равновесия. Для Солнца можно принять
τ = (Г_CC_A)^-1/2 = 4.5·10⁹ лет − время жизни нашей звезды.

Рис. 6. Минимальное значение константы связи для различных масс из требования равновесия между процессами захвата частиц темной материи и их аннигиляции внутри Солнца и Земли, для u-кварка (слева) и b-кварка (справа). Пунктирные линии показывают область значений для констант связи, которая согласуется с космологическими данными [9].

Нейтрино, полученные в результате аннигиляции темной материи в недрах Солнца, распространяются в нем и претерпевают осцилляции в веществе, согласно эффекту Михеева-Смирнова-Вольфенштейна. Затем они летят до Земли и подвержены осцилляциям в вакууме. Чтобы правильно посчитать потоки, которые мы можем получить в нейтринном телескопе, нужно учесть оба этих эффекта. На рис. 7 показаны дифференциальные потоки мюонных нейтрино и антинейтрино, рожденных аннигиляцией WIMP с массой 1 ТэВ, которые могут давать только пару правополяризованных u-кварков (верхние два графика) или правополяризованных b-кварков (нижние графики) с различным параметром отношения масс. Видно, что аннигиляция просто в пару кварк-антикварк намного менее выгодна, чем в три частицы. Это вызвано тем, что, как уже было упомянуто выше, образование легких адронов сильно подавлено из-за спиральности. Аннигиляция по каналу
χχ → uγ не подавлена и дает значительный вклад в общий поток, несмотря на то, что в такой реакции не образуется тяжелых частиц. Особенно важными являются реакции
χχ → ug и χχ → uZ, которые обеспечивают основную часть нейтринных потоков. В частности, распад Z → ν доминирует для m_χ = 1000 ГэВ.
    Для детектора IceCube наиболее существенен предел m_χ >> M_Z, который соответствует условию m/m ≤ 2. В этом случае поперечное сечение аннигиляции в три частицы зависит только от взаимодействия калибровочного бозона и конечных фермионов.
    Аналогичные графики можно построить для аннигиляции с образованием b‑кварков (нижняя часть рис. 7). Здесь видно, что процесс с рождением только пары частиц не так сильно подавлен, как в случае u-кварков, из-за того, что масса b-кварка больше. Но доминируют все равно реакции с образованием трех частиц. Также, как можно заметить из рисунка, наибольший вклад в спектр нейтрино высоких энергий дается каналом bZ.

Рис. 7. Суммарные дифференциальные потоки нейтрино и антинейтрино на Земле, посчитанные для массы частиц темной материи m_χ = 1000 ГэВ для аннигиляции в u-кварки и b-кварки [9].

Рис. 8. Верхняя граница на константу связи для взаимодействий частиц темной материи с u-кварками для отношений масс m_η/m_χ = 1.01, 1.1 и 2.0 . Данные приведены для трех разных экспериментов: IceCube-79 (светло-красная область), XENON100 (темно-серая) и эксперимент на антипротонах (светло-серая). Светло-синяя область внизу соответствует значению параметров, при которых не достигается равновесное состояние в процессах с темной материях на Солнце. Пунктирная линия показывает величину константы связи, при которой генерируется избыток частиц темной материи. Зеленая линия − предполагаемая граница на основе данных эксперимента XENON1T[9].

    Для регистрации этих потоков на Земле необходимо оценить эффективный объем детектора и выделить нужный сигнал из фона атмосферных мюонов. Основным критерием в данном случае является направление: нейтрино от аннигиляции темной материи должны приходить из центра Солнца. В первом цикле наблюдений (IceCube-79) не было выявлено увеличения потока высокоэнергетичных нейтрино в направлении Солнца, и это накладывает определенные ограничения на параметры модели. Основываясь на данных, полученных в различных экспериментах (даже если это отсутствие сигнала), мы можем корректировать представления о том, какие реакции происходят внутри Солнца с темной материей, как они накапливаются, испаряются и аннигилируют, при каких параметрах достигается равновесие. На рис. 8 показаны пределы на константу связи в зависимости от выбранной массы WIMP в предположении, что частицы темной материи взаимодействуют с правополяризованными u-кварками для трех различных значений m_η/m_χ = 1.01, 1.1 и 2.0 . Ширина области учитывает неопределенность.
    Таким образом, поиск аннигиляций частиц темной материи с образованием частиц Стандартной Модели: правополяризованных кварков и цветных скаляров (глюонов) тесно связан с наблюдением нейтринных потоков высокой энергии. Такой подход позволяет изучать захват и аннигиляцию частиц темной материи, получать информацию о ней - не прямым методом, но, тем не менее, рассчитываемым и обоснованным. На данный момент можно заключить, что в центре Солнца не достигается термического равновесия, если предполагать аннигиляцию частиц темной материи только с образованием b-кварков. Поэтому рассматриваются и учитываются другие каналы. Для условий в центре Земли, скорее всего, равновесия нет даже при условии аннигиляции в пары u-кварков и b‑кварков. Однако, наблюдение высокоэнергетичных потоков нейтрино из центра Земли теоретически возможно, хотя и оказывается сильно подавленным из-за маленькой частоты аннигиляций. Сравнивая оценки с данными, полученными в других экспериментах и наблюдениях (например, телескоп PAMELA, работающий на орбите и также собирающий информацию о темной материи), можно дополнять и совершенствовать модели. В частности, для константы взаимодействия частиц темной материи и u-кварков при маленьком отношении масс между частицами WIMP и скалярами, по результатам работы нейтринного телескопа IceCube можно дать более сильные ограничения, чем те, что следуют из наблюдений PAMELA [9].

1. David O. Caldwell. Neutrino Dark Matter. Second Meeting on New Worlds in Astroparticle Physics, Faro, Portugal, Sept. 1998. arXiv:hep-ph/9902219
2. Kusenko A. Sterile neutrinos: the dark side of the light fermions. (2009) arXiv:0906.2968v3 [hep-ph], Physics Reports, 11 Sep 2009
3. Alexander Merlea and Aurel Schneiderc. Production of Sterile Neutrino Dark Matter and the 3.5 keV line. Cosmology and Nongalactic Astrophysics, arXiv:1409.6311v1 [hep-ph], September 24, 2014.
4. Hye-Sung Lee, Zuowei Liu and Amarjit Soni. Neutrino dark matter candidate in fourth generation scenarios. Phys.Lett.B704:30-35,2011. arXiv:1105.3490v3 [hep-ph].
5. Z. Ahmed et al. [The CDMS-II Collaboration] Results from the Final Exposure of the CDMS II Experiment. Science 327, 1619 (2010). [arXiv:0912.3592 [astro-ph.CO]].
6. E. Aprile et al. [XENON100 Collaboration] Dark Matter Results from 100 Live Days of XENON100 Data. Phys. Rev. Lett. 107, 131302 (2011). arXiv:1104.2549 [astro-ph.CO].
7. E. Komatsu и др. Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation. Astrophys.J.Suppl.192:18,2011. arXiv:1001.4538 [astro-ph.CO].
8. Paolo Fermani [the ANTARES collaboration]. Indirect Dark Matter search with large neutrino telescopes. Frascati Physics Series Vol. LVI (2012), Dark Forces at Accelerators, October 16-19, 2012. arXiv:1307.2402 [astro-ph.HE].
9. A. Ibarra, M. Totzauer and S. Wild. High-energy neutrino signals from the Sun in dark matter scenarios with internal bremsstrahlung. TUM-HEP 912/13. [arXiv:1311.1418v1].
10. M. Garny, A. Ibarra, and S. Vogl. Dark matter annihilations into two light fermions and one gauge boson: General analysis and antiproton constraints. JCAP 1204 (2012) 033. [arXiv:1112.5155].
11. G. Busoni, A. De Simone, and W.-C. Huang. On the Minimum Dark Matter Mass Testable by Neutrinos from the Sun. JCAP 1307 (2013) 010. [arXiv:1305.1817].