Электромагнитные взаимодействия заряженных частиц

Классификация электромагнитных взаимодействий

    Теория злектромагнитных взаимодействий (электродинамика − ЭД, квантовая электродинамика − КЭД) разработана уже довольно давно и настолько хорошо, что она может быть применена к большинству проблем, возникающих при электромагнитном взаимодействии излучения с веществом. При любой экспериментальной проверке предсказания этой теории подтверждались в пределах экспериментальных ошибок и математических приближений.
    Электромагнитные взаимодействия существуют между всеми частицами, имеющими электрический заряд, и фотонами. Их можно рассматривать как результат обмена в момент взаимодействия фотонами или как результат поглощения и испускания фотонов. В качестве константы взаимодействия, определяющей интенсивность процесса, в случае электромагнитных взаимодействий выступает квадрат заряда e² или безразмерная величина, пропорциональная e²:

α = e²/ħс = 1/137.

    Если в процессе взаимодействия участвует один фотон, то вероятность такого процесса пропорциональна α, если два фотона, то пропорциональна α² и т.д.
    Остановимся на основных процессах, которые происходят с наибольшей вероятностью и при которых осуществляется наибольшая передача анергии. Эти элементарные электромагнитные процессы можно классифицировать с точки зрения классической физики на основе представления о параметре удара (прицельном параметре соударений) b, т.е. расстоянии наибольшего сближения частиц.
    При взаимодействии частиц с атомами среды, через которую они летят, естественно сопоставлять величину параметра удара b с размерами атомов a. В зависимости от того, как соотносятся между собой величины b и a происходит тот или иной процесс взаимодействия:

1. b >> α При взаимодействии частиц с атомами среды, через которую они летят, естественно сопоставлять величину параметра удара b с размерами атомов a . В зависимости от того, как соотносятся между собой величины b и a происходит тот или иной процесс взаимодействия.
2. b ~ α Если параметр удара сравним с размерами атома, то будет происходить взаимодействие частицы с отдельными электронами атома. В этом случае заряженная частица может передать электрону значительную энергию, электрон вырывается из атома и сам может производить ионизацию других атомов. Такой электрон называется δ-электроном. Если энергия, получаемая δ-электроном, велика по сравнению с энергией связи в атоме, то зто явление может рассматриваться как взаимодействие пролетающей частицы и свободного электрона. При столкновении фотона с таким "свободным" электроном фотон рассеивается (комптоновокое рассеяние, комптон-эффект).
3. b << α При еще меньших значениях параметра удара происходит взаимодействие частицы с кулоновским полем ядра. Траектория частицы при этом заметно искривляетоя, и происходит ускорение (или замедление) частицы. Согласно классической электродинамике в этом случае должно возникнуть тормозное излучение.

Рис.3. Прямое рождение e−e+-пары электроном. Виртуальный фотон на опыте не наблюдается.

Размер атома

Рис.4. Стационарная круговая орбита электрона в атоме

    Некоторые полезные оценки и соотношения можно получить из простейшей концепции Нильса Бора. Пусть имеем ядро с зарядом Ze. Рассмотрим электрон в стационарном состоянии, т.е. допустим, что электрон вращается вокруг ядра по стационарной круговой орбите радиуса a с орбитальной скоростью v_орб (рис.4).
    Атом - система квантовая, поэтому момент количества движения
m_e·v_орб·a квантуется, т.е. может принимать лишь дискретные значения
m_e·v_орб·a = nħ, где n = 1,2,3,….
    Поскольку рассматриваемая система стационарна, то центробежная сила равна кулоновской силе притяжения электрона к ядру, т.е.

nћ·vорб = Ze2

 Отсюда получаем важные для нас соотношения:

т.е. скорость вращения электронов в атоме убывает с увеличением главного квантового числ n, а радиус орбиты вращения электронов в атоме пропорционален n². Энергия связи электрона с ядром (E_св), т.е. его потенциальная энергия на орбите, получается равной:

v_орб = Z/n · 2.3·10⁸ см/с  и a = n²/Z · 5·10^-7 см.

    Чтобы произошла ионизация, т.е. электрон мог покинуть атом, надо, чтобы при взаимодействии с пролетающей мимо заряженной частицей этот электрон получил кинетическую энергию E_e большую, чем энергия связи его с атомом E_св, т.е. E_e > E_св.
    Определим минимальную кинетическую энергию и скорость v пролетающей частицы, необходимую для ионизации ею атома среды. Пусть пролетающая частица имеет массу M >> m_e и кинетическую энергию E = Mv²/2.

Так как максимальная энергия, которая может быть передана при упругом столкновении

то при M >> m_eнаибольшая энергия, получаемая электроном, будет равна

Чтобы электрон смог покинуть этот атом, необходимо, чтобы E_e > E_св, т.е. m_e/M · E > E_св. Отсюда получаем соотношения

E/M = E_св/m_e  и  v > 2v_орб.

Если энергия, передаваемая электрону E_e>>E_св, т.е. энергия пролетающей частицы

 то все электроны атома могут рассматриваться свободными и покоящимися по сравнению с быстро летящей частицей. Какова же должна быть энергия частицы, чтобы выполнялось это условие?
    Найдем, например, энергию протона, который имеет скорость v = 4.6·10⁸см/с (т.е. равную 2v_орб для атома водорода):

Ионизационные потери тяжелых заряженных частиц

    Ионизация вещества − явление исключительное по своему значению для экспериментальной ядерной физики и физики высоких энергий, поскольку оно лежит в основе действия большинства детекторов элементарных частиц. Путем регистрации ионизации были открыты естественная радиоактивнооть и космические лучи, впервые наблюдались реакции расщепления атомных ядер.
    В результате возбуждения и ионизации быстрыми заряженными частицами атомов вещества детектора и последующего усиления слабого первоначального ионизационного сигнала возникает наблюдаемый макроскопический ионизационный эффект. Измерения этого ионизационного эффекта как и времени пролета, а также черенковского излучения широко используются для идентификации заряженных частиц и интерпретации экспериментов.
    Основные закономерности, описывающие ионизационные потери тяжелых заряженных частиц, можно получить из сравнительно простых качественных соображений, основанных на классических представлениях. Впервые эти закономерности были получены в 1915 г. Нильсом Бором.
    Итак, рассмотрим прохождение через вещество тяжелой (M >> m_e) нерелятивистской (V << c) заряженной (ze) частицы. Предположим, что частица эта настолько быстра (V >> v_орб), что можно считать все атомные электроны свободными.

Рис.5. Взаимодействие заряженной частицы с электроном атома

    Сначала разберем взаимодействие этой частицы с одним электроном среды, расположенным на расстоянии b от ее траектории (b − прицельный параметр) (рис.5). В результате электростатического взаимодействия электрон получает импульс в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Продольная же составляющая импульса электрона близка к нулю, так как две ее компоненты, соответствующие приближению частицы к электрону и удалению от него, почти равны по величине (если потери энергии частицей малы) и противоположны по направлению. Так как M >> m_e, то можно не учитывать изменения направления движения частицы после такого единичного взаимодействия.

E/M > E_св/m_e  и  v > 2v_орб.

1. Итак, в результате действия кулоновских сил между частицей и электроном среды этот электрон получает импульс p_e = F · t, где

  - время взаимодействия, т.е.

2. Если электрон в результате взаимодействия приобрел импульс то, следовательно, он приобрел и кинетическую энергию:

Здесь уместно вспомнить о законе сохранения энергии для данного частного случая: сколько энергии приобрел электрон (T_e), столько же энергии (∆E) потеряла частица при взаимодействии с этим электроном:

3. Теперь вспомним, что среда наполнена атомами (A ,Z) и, следовательно, в ней много электронов. Если плотность среды ρ г/см³, то плотность атомов в ней будет:

   

   где N_A − числе Авогадро. Плотность электронов будет в Z раз больше

   

   Рис.6. К расчету ионизационных потерь.

   Если частица проходит в среде путь dx, то она взаимодействует почти одинаково со всеми электронами, которые располагаются на одном и том же расстоянии b от ее траектории и каждому из них передает анергию T_e. Количество таких электронов на пути dx будет определяться плотностью электронов и объемом кольцевого цилиндра длиной dx с внутренним радиусом b и внешним радиусом b + db (рис.6). Объем этого цилиндра − 2πbdbdx (см³). Электронов в нем будет: n_e(эл/см³) · 2πbdbdx (см³) = 2πbdbdx Zn_ат.
   Каждому из этих электронов пролетающая частица передает энергию ∆E, а всем электронам, находящимся на расстоянии b от нее на пути dx, частица передает энергию

   

   т.е.

   

   He следует забывать, что энергия частицы при этом взаимодействии уменьшается, и поэтому производная dE(b)/dx отрицательна.

4. Чтобы найти ионизационные потери частицы на пути dx со всеми электронами среды, с которыми она взаимодействует с разными параметрами удара, надо проинтегрировать по всем возможным параметрам удара от b_min до b_max:

   

   Пределы интегрирования должны быть конечны, так как из самых общих физических соображений удельные потери энергии dE(b)/dx должны иметь конечную величину − частица с конечной энергией не может потерять бесконечную энергию. Отсюда следует, что b_max ≠ ∞ и b_min ≠ 0.

    Рассмотрим, какими факторами определяются величины предельных прицельных параметров.

(b_min)    Минимальному значению параметра удара b_min соответствует максимальная передеваемая энергия. Ранее было получено соотношение, связывающее передаваемую электрону энергию ∆E с параметром удара

Откуда имеем:

и, следовательно

Если сталкиваютcя две частицы с массами M и m_e и M >> m_e, то максимальная передаваемая энергия будет:

Следовательно

и

а 

Итак, мы получили выражение для b_min с точки зрения классического подхода.

p_{e max} · b'_min ~ ћ.

Так как

в нерелятивистском случае
в релятивистском случае

 (b_max)    Чем больше параметр удара, тем меньше передаваемая электрону энергия. Максимальное значение (b_max) соответствует случаю, когда передаваемая энергия близка к энергии связи этого электрона с ядром. Поскольку энергия связи разных электронов атома различна, то вводится обычно некоторая усредненная характеристика энергии связи злектронов в атомах данного элемента (A,Z), называемая средним потенциалом ионизации I .
    Для разных элементов I = I₀ · Z, где I₀ слабо зависит от Z вещества. В табл.2 приведены значения I₀ для некоторых элементов.

Таблица 2: Величины I₀ для разных элементов

    Итак, выбираем в качестве максимального прицельного параметра такой, при котором электрону передается энергия, равная среднему потенциалу ионизации. Так как

то

Теперь можно вычислить . Подставляя найденные нами значения b_max и b_min, получаем:

Выражение для удельных ионизационных потерь энергии приобретает вид:

    Вывод этой формулы на основе классических представлении первоначально был предложен Н.Бором в 1915 г., поэтому она и называется формулой Бора в этом виде или в более уточненном варианте:

Формула для ионизационных потерь энергии, выведенная Бете и Блохом с учетом квантовых и релятивистских эффектов, называется их именем (формулой Бете-Блоха) и имеет вид

Зависимость ионизационных потерь от параметров частицы

1. Удельные ионизационные потери пропорциональны квадрату заряда частицы:

   |dE/dx| ~ z².

   это означает, что удельные ионизационные потери ядра железа (z = 26) в 676 раз больше, чем для протона той же скорости.

2. Удельные потери не зависят от массы частицы М. Это получается из-за того, что происходит взаимодействие электрических зарядов частиц, а не их масс. Однако, если интересоваться сопоставлением потерь на ионизацию различных частиц с одинаковой кинетической энергией, тогда в коэффициент перед логарифмическим членом неизбежно войдет масса частицы, так как v² ~ E/M.

   Поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы:

   |dE/dx| ~ 1/v²,    dE/dx| ~ M/E.

   Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса. Например, дейтрон теряет на единице своего пути на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией, а мюон в ~9 раз меньше.

3. Удельные потери энергии на единице пути  |dE/dx| являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. Эта зависимость схематически изображена на рис.7, где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии Mc², а по оси ординат − удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

   
   Рис.7. Зависимость ионизационных потерь энергии от энергии тяжелых частиц.

       Вся сложная кривая рисунка разделена буквами А, В, С, D, E, F на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

    ВС Участок (ВС) соответствует случаю, когда, с одной стороны, частица нерелятивиотская, таким образом E_кин < Mc² и β < 1, с другой стороны, она настолько быстрая, что все электроны атомов могут считаться свободными. Поведение кривой в этой области (ВС) определяется коэффициентом перед квадратными скобками в формуле Бете-Блоха:

    Эта зависимость в нерелятивистской области получилась из-за того, что переданный электрону импульс p_e = F · t зависит от времени взаимодействия t, которое, в свою очередь, обратно пропорционально скорости частицы t ~ 1/V. Переданная же электрону энергия ~ P_e² т.е. энергия, потерянная частицей ~ 1/v², следовательно ~ 1/E.
    Зависимость |dE/dx| ~ 1/v² имеет место вплоть до релятивистских скоростей V ≈ c. При V ≈ c коэффициент перед скобкой принимает минимальное значение.

    СD На участке (СD) кривой на рис.7 удельные ионизационные потери снова начинают увеличиваться. Этот рост потерь обусловлен ростом величины логарифмического члена, так как при β → 1 1/(1 − β²) → ∞. Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то и рост потерь наблюдается медленный - "логарифмический".
Логарифмическое возрастание dE/dx с увеличением энергии обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Он начинается после того, как dE/dx достигнет минимальной величины при V ≈ 0.96c.
    Частично этот подъем происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия ∆E_max, а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения b_max

Рис.8. Форма эквипотенциальной поверхности кулоновского поля: для нерелятивистской (а) и релятивистокой (б) скорости частицы

    Рост потерь, обусловленный вторым фактором, происходит из-за релятивистского сжатия кулоновского поля частицы в продольном направлении (вдоль траектории частицы) и возрастания поля в поперечном направлении. Рис.8 иллюстрирует сказанное: для нерелятивистских честиц эквипотенциальная поверхность имеет сферически симметричную форму (а), а форма эквипотенциальной поверхности поля релятивистских частиц другая (б): расстояние в продольном направлении уменьшается в (1 − β²)^1/2 раз, а в поперечном − увеличивается в (1 − β²)^-1/2 раз, получается эллипсоид, "блин", который с увеличением скорости частицы все более сплющивается в продольном направлении и увеличивается в поперечном.
    Это означает, что все большее число электронов среды попадает в поле воздействия летящей частицы. Растет b_max и все большему числу электронов частица передает свою энергию. Следовательно, и потери энергии частицей на единице ее пути растут.
    Казалось бы, эффект релятивистского сжатия поля должен был бы приводить к неограниченною увеличению потерь. Однако это не так. При дальнейшем увеличении энергии поле частицы может стать больше расстояния между атомами среды. В этом случае возникает так называемый эффект плотности, который особенно существенен для плотных газов, жидкостей и, тем более, для твердых веществ.
    Эффект плотности связан с тем, что поле летящей частицы поляризует атомы среды. В результате поляризации многих атомов возникает поле диполей, направленное в сторону, противоположную полю летящей частицы. Оно ослабляет поле частицы и как бы экранирует от него далеко расположенные электроны. На некотором расстоянии от траектории частицы поле ее компенсируется полностью противоположным полем диполей.

    EF Область кривой (EF) и соответствует этому случаю: рост потерь энергии существенно замедляется из-за эффекта плотности.
    В формуле Бете-Блоха эффект плотности учитывается членом "б". Поскольку поляризация прямо пропорциональна плотности электронов в среде (n_e), то этот эффект в сильной степени зависит от плотности вещества, за что и получил свое название.
    Поправка на эффект плотности в несколько упрощенном виде впервые была рассчитана Э.Ферми в 1939 г. и поэтому область (EF) часто называют "плато Ферми". В крайнем релятивистском случае поправка на эффект плотности дается выражением:

δ = -ln(1 − β²) − φ,

где а − плазменная частота электронов.
    В предельном случае очень больших энергий часть релятивистского возрастания потерь полностью компенсируется эффектом плотнооти.
    Оставшаяся часть связана с передачей энергии при близких столкновениях. В случае не очень больших энергий максимальная передаваемая энергия ∆E_max растет как (1 - β²)^-1. При очень высоких энергиях ∆E_max возрастает приблизительно как (1 - β²)^-1/2, т.е. релятивистский подъем сказывается в три раза меньше того, что можно было ожидать без учета эффекта плотности.

    AB Формула для ионизационных потерь была выведена в предположении, что все электроны атомов среды при взаимодействии с частицей могут считаться свободными, т.е. выполняется условие:

ΔE_max >> E_св, и E >> ME_св/m

По мере уменьшения энергии частицы это соотношение может оказаться нарушенным. В первую очередь, это нарушение будет относиться к наиболее сильно связанным электронам в атомах: K- и L-электронам. Когда скорость частицы станет меньше скорости орбитального движения K-электронов, передача энергии им станет невозможной, и, следовательно, K-электроны должны быть выключены при вычислении плотности электронов в среде, т.е. число их как бы уменьшится, и, соответственно, потери энергии также уменьшатся.
    При дальнейшей уменьшении скорости частицы то же самое следует отнести и к L-электроном, затем к М-электронам и т.д. Чем больше Z среды, тем больше E_св и тем выше граничная энергия частицы, при которой следует учитывать этот эффект:

v^гр ~ = Ze²/ћ.

Пример. Для K-электронов скорость орбитального движения = 2.3·10⁸Z см/с. Граничная энергия для протонов и α-частиц получаетcя равной:

Чем больше масса частицы, тем выше граничная энергия. Для частицы массы М граничная энергия получается равной:

E^гр ~ 2.9·10^-5·Mc²·Z².

В табл.3 приведена граничная энергия для протонов и α-частиц в нескольких средах.

    Уменьшение потерь энергии частицей при малых энергиях соответствует левому "завалу" кривой ионизационных потерь (АВ), и в формуле Бете-Блоха учитывается последним членом u в квадратных скобках.
    При рассмотрении ионизационного торможения тяжелых заряженных частиц (ионов атомов) нужно учитывать явление перезарядки, связанное с захватом частицей электронов среды и их потерей.

Таблица 3: Граничная энергия для протонов и α-частиц

Вещество	Z	, см/с	, МэВ	, МэВ
C	6	1.3·109	0.9	3.6
Al	13	2.9·109	4.2	16.9
Cu	29	6.4·109	21.0	84.0

Этот эффект становится существенным при скоростях частицы, сравнимых с v_орб (участок АВ).

1. Положение максимума кривой (В) определяется E^грдля этой среды. Как было найдено,
   E^гр ~ Z² среды.
2. Удельные ионизационные потери энергии пропорциональны плотности электронов в среде:

   |dE/dx| ~ Zn_ат = n_e.

   Но

   n_e эл/см³ = Zn_ат = (N_A/A)·ρ·Z = N_A·(Z/A)·ρ,

   где N_A − число Авогадро, Z, А − заряд и атомный вес среды, ρ г/см³ − плотность среды.

   Для легких веществ Z/A ~ 0.5. Следовательно, для этих сред получаетоя простая зависимость |dE/dx| ~ ρ г/см³. Это обстоятельство побудило ввести в обиход массовую единицу длины xρ, размерность которой [xρ] − г/см². Смысл массовой единицы длины очевиден: это такая высота столбика вещества с сечением 1 см², который весит xρ г, иначе говоря, это давление, которое оказывает на площадь в 1см столбик вещества высотою xρ.
       В массовых единицах формула Бете-Блоха принимает вид:

   

   Таблица 4: Величина ионизационных потерь энергии в 1 г/см2 вещества
   Вещество	dE/d(xρ), МэВ см2/г
   Воздух	1.80
   Алюминий	1.65
   Железо	1.50
   Свинец	1.20

   Поскольку Z/A ~ 0.5, a I(A,Z) слабо влияет на величину потерь, так как входит под знаком логарифма, то оказывается, что при расчете на 1 г/см² ионизационные потери во всех веществах приблизительно одинаковы. Для иллюстрации сказанного в табл.4 приведены ионизационные потери энергии однозарядных релятивистских частиц около минимума кривой, где E ≈ (2-3) Mc².
   Как видно из табл.4, зависимость от A и Z слабая, но все же заметная из-за того, что отношение Z/A уменьшается с ростом А.

3. Величина потенциала ионизации I(A,Z) уже обсуждалась нами ранее. И хотя потенциал ионизации I(A,Z) входит под знаком логарифма и слабо сказывается на величине ионизационных потерь, тем не менее для аккуратных вычислений его надо обязательно учитывать.

Ионизационные потери электронов

    Вывод формулы для потерь энергии на ионизацию электронами в принципе такой же, как и для других заряженных частиц. Также для электронов (z = 1) получается соотношение:

но величины b_min и b_max приходится выбирать несколько по-другому.
    Необходимо при этом учитывать, что:

1. падающие электроны в процессе взаимодействия из-за малости своей массы будут отклоняться от первоначального направления;
2. из-за тождественности взаимодействующих частиц будут возникать обменные эффекты, имеющие квантовую природу.

При учете этих замечаний формула для удельных ионизационных потерь принимает вид:

В этой формуле − релятивистская кинетическая энергия электрона.
    В нерелятивистском случае формула сводится к более простому выражению:

В ультрарелятивистском случае при E >> m_ec² формула для потерь энергии также имеет простой вид:

    В отличие от тяжелых частиц для электронов важны оба эти предельных случая, так как
m_ec² = 0.511 MэВ и электрон становится ультрарелятивистским уже при энергии в несколько МэВ.Сравнение ионизационных потерь для электронов и тяжелых заряженных частиц приводит к следующим выводам.

1. Множители перед квадратными скобками в выражениях для ионизационных потерь для электронов и тяжелых заряженных частиц одинаковы, т.е. при одинаковых скоростях удельные потери их одинаковы.
2. При одной и той же энергии электронов и тяжелых частиц в нерелятивистском случае удельные потери энергии пропорциональны массе частиц. Следовательно, для протонов они почти в 2000 раз больше, чем для электронов. Это очень важно для практики, для методов регистрации частиц. Например, в ядерных эмульсиях протоны с энергией 5 МэВ оставляют отчетливый след, тогда как электрон такой же энергии практически незаметен.
3. При очень высоких энергиях все по-другому. При v ~ c член перед скобкой не меняется. Становится существенной зависимость от под логарифмом. Поэтому при ультрарелятивистских скоростях величина dE/dx слабо зависит и от энергии, и от массы частиц. Например, при кинетической энергии электрона и протона, равных 10 ГэВ, (dE/dx)_e/(dE/dx)_p ~ 2, т.е. потери энергии отличаютются всего в 2 раза при различии масс в 2000 раз.

Пробег заряженных частиц в веществе

    Потеряв всю энергию, частица останавливается. Расстояние, пройденное частицей в веществе, называется пробегом. На этом пути заряженная частица изменяет свою энергию от начального значения E₀ до нуля в результате разных механизмов взаимодействия, основным из которых для области энергий до 100 МэВ являются ионизационные потери. Поэтому понятно, что величина пробега зависит от массы, заряда, энергии частицы и характеристик среды.
    Пробег R частицы с начальной энергией E₀. можно определить выражением

    Для нерелятивистских частиц dE = (Mv²/2) = Mvdv, а

Оценим теперь, как пробег зависит от параметров частицы и среды:

1. При равных скоростях пробеги частиц прямо пропорциональны их массам и обратно пропорциональны квадратам зарядов (R ~ M/z²).
2. Пробеги обратно пропорциональны плотности среды (R ~ 1/ρ). т.е. удобно измерять пробеги в массовых единицах длины xρ([Rρ] = г/см²). В этом случае величина пробега практически не будет зависеть от характеристик среды: Rρ ~ Mv⁴/z²
   При более аккуратных расчетах не следует забывать, что в формуле Бете-Блоха есть еще коэффициенты, зависящие от среды: Z/A и I. Но для большинства веществ с малыми и средними А величина отношения Z/A ~ 0.5 и очень медленно растет с увеличением A, а средний ионизационный потенциал I стоит под знаком логарифма, т.е. тоже слабо влияет на величину средних потерь энергии и, как следствие этого, на величину пробега.
       Если среда содержит атомы различных элементов со своими характеристиками Z_i, A_i,и ρ_i, то плотность электронов в среде будет зависеть от всех этих величин. В формуле Бете-Блоха для средних ионизационных потерь в 1 г/см вместо величин Z/A и lnI появятся соответственно другие коэффициенты:

3.  Чтобы сравнивать пробеги частиц с одинаковыми кинетическими энергиями, удобно несколько преобразовать выражение для R:

   

   Из этого соотношения видно, что при равных кинетических энергиях пробеги частиц обратно пропорциональны их массам.

   Рис.9. Прохождение частиц через поглотитель

      Пусть на слой поглотителя перпендикулярно к нему падает пучок однородных частиц с одинаковой энергией E₀. Как будет выглядеть зависимость числа этих частиц N от толщины поглотителя x (рис.9)? Для тяжелых заряженных частиц (практически всех, кроме электронов), которые проходят слой поглотители почти без рассеяния и поэтому имеют прямолинейную траекторию в веществе, все очень просто: частицы выбывают из пучка в основном из-за остановки в результате потерь энергии на ионизацию и возбуждение среды. А так как у них начальная энергия E₀ была одинакова и средние потери энергии dE/dx тоже одинаковы, то все частицы должны были бы проходить одинаковые расстояния в веществе. В этом случае кривая поглощения описывается горизонтальной, резко обрывающейся линией. На самом деле, вместо этой картины наблюдается разброс величины пробегов, связанный со статистическим характером процесса ионизационных потерь. Частицы теряют свою энергию в очень большом, но конечном числе отдельных актов. Флуктуациям подвержено как число таких актов на единицу длины, так и потери энергии в каждом отдельном акте, в особенности в связи с образованием δ-электронов.

Рис.10. Зависимость числа моноэнергетических α-чаотиц от толщины поглотителя.

    Пробеги отдельных частиц распределены около среднего пробега по закону Гаусса:

где R₀ -средний пробег, − среднеквадратичное отклонение от среднего значения. Относительный разброс пробегов называется стрэгглингом. Наличие этого разброса пробегов приводит к тому, что кривая поглощения имеет не резкий, а плавный спад, такой, как изображен на рис.10 для α-частиц. На основании свойств гауссова распределения можно найти, что интенсивность пучка упадет в два раза в точке x = R₀, которая соответствует среднему пробегу частиц. Более того, в точке x = R₀ кривая имеет наибольшую крутизну. Построив касательную с максимальным наклоном в точке x = R₀ и продолжив ее до пересечения с осью абсцисс, можно найти экстраполированный пробег R_э.
    Обычно разность R_э − R₀ называется параметром разброса. Величина параметра разброса для тяжелых заряженных частиц незначительна и составляет единицы или десятые доли процента от R₀. Это обстоятельство дает возможность по величине пробега с хорошей точностью определять энергию частиц.

Рис.11. Зависимость числа моноэнергетических электронов от толщины поглотителя.

    Для электронов ситуация с пробегами иная. Понятие пробега для электронов весьма условно, потому что кроме ионизационных потерь для электронов существенную роль играют радиационные потери энергии. Электроны испытывают в веществе многократное рассеяние, и поэтому их путь в веществе не прямолинеен (как для тяжелых частиц). Направление их движения часто меняется, и только небольшое число электронов из пучка проходят максимальное расстояние в поглотителе в направлении, перпендикулярном к его поверхности. Кривая поглощения коллимированного пучка моноэнергетических электронов имеет другой, чем для тяжелых частиц, вид (рис.11).
    Относительный разброс пробегов (стрэгглинг)и параметр разброса R_э − R₀ для электронов значительно больше, чем для других частиц. Для электронов вводят еще одно понятие: максимальный пробег R_max, − это толщина вещества, в которой задерживаются все электроны. Теоретически рассчитать R_max очень трудно. Поэтому для оценок обычно пользуются полуэмпиричеокими формулами. Например, для моноэнергетических электронов с энергией E МэВ часто применяется простая формула:

R_max(г/см²) = 0.526 · E(MэB) − 0.24.

    Обычно энергию электронов определяют не по пробегу, а по полной ионизации, произведенной ими в веществе.

Дельта-электроны

    При столкновении заряженной частицы с электроном среды в случае достаточно малого параметра удара b ~ a электрон может получить такую энергию, что сам будет вызывать ионизацию других атомов. Такие электроны называются δ-электронами.

Рис.12. К вычислению вероятности образования δ-электронов.

    При ионизационных потерях в каждом столкновении пролетающей частицы с электроном среды в среднем ею теряется очень небольшая порция энергии. И только в редких случаях передается значительная энергия, т.е. образуется δ-электрон. Вспомним уже полученное нами соотношение между энергией электрона Т_е и параметром удара:

Отсюда следует заключение, что большая передача энергии с образованием δ-электрона осуществляется при малых параметрах удара. Поэтому вероятность образования δ-электронов определяется вероятностью попадания электрона среды в кольцо площадью 2πbdb около траектории частицы (рис.12), т.е. dσδ = 2πbdb. Но

Следовательно

При прохождении частицей пути dx она передает энергию Т_e каждому из электронов среды, находящихся в объеме кольцевого цилиндра радиуса b, площадью основания и высотой dx (рис.6). Обьем такого кольцевого цилиндра − 2πbdbdx , а количество электронов, находящихся в нем −
n_e · 2πbdbdx, где n_e- плотность электронов в среде. Таким образом, на единице своего пути в веществе частица образует следующее число δ-электронов с энергией в интервале (T_e,T<_e + dT_e):
dN_δ = 2πbdbdx · n_e = n_edxdσ_δ. Подставляя выражение для dσ_δ получим:

где

т.к. n_e = N_A(Z/A)ρ. Таким образом, мы получили энергетический спектр δ-электронов:

из которого видно, что наиболее часто образуются δ-электроны меньших энергий, и по мере увеличения энергии δ-электронов число их резко падает.
Для релятивистских частиц (β ≈ 1) величина Q перестает зависеть от энергии частицы:

а число δ-электронов с энергией Т_e(МэВ) в интервале (T_e, T_e + dT_e), созданных в среде на пути в
1 г/см² релятивистской частицей, получается равным:

Из этой формулы видно, что число δ-электронов с энергией Т_e , образованных в 1 г/см² вещества релятивистской частицей, прямо пропорционально квадрату заряда частицы z² и практически не зависит от характеристик среды, так как Z/A ≈ 0,5. Отсюда следует, что по плотности δ-электронов определенной энергии на треке частицы (например, в пузырьковой камере или фотоэмульсии) можно определить заряд Z релятивистской частицы.

Кулоновское взаимодействие частиц с ядрами (упругое рассеяние)

    При пролете заряженной честицы через атом в непосредственной близости от ядра происходит кулоновское взаимодействие с ядром, так как прицельный параметр (b << a) настолько мал, что кулоновское поле ядра не экранируется полем атомных электронов.
Механизм кулоновского взаимодействия частиц с ядрами в общих чертах тот же, что и при ионизационном торможении. Сравним потери знергии заряженной частицей (M,ze,v) при взаимодействии с кулоновским полем ядер (m_e,Ze) и атомными электронами (m_e,e), при этом покажем, что передача энергии ядрам за счет кулоновских сил будет невелика по сравнению с ионизационными потерями. Отношение потерь энергии в этих случаях будет:

Таким образом, потери энергии на упругое взаимодействие с ядрами составляют около 0.03% от ионизационных потерь, т.е. дают незначительный вклад в общие потери энергии.
Величину энергетических потерь из-за кулоновского взаимодействия частицы с ядрами среды получают интегрированием (dE(b)/dx)_я по всем возможным прицельным параметрам:

где b_min приблизительно равен радиусу ядра b_min ≈ R, а b_max соответствует расстоянию от ядра, на котором наблюдается полное экранирование кулоновского поля ядра атомными электронами
b_max ≈ a.

Рис.13. Изменение траектории частицы при единичном акте взаимодействия с кулоновским полем ядра.

    Несмотря на то, что кулоновское взаимодействие частиц с ядрами среды не приводит к большим потерям энергии, тем не менее, это взаимодействие существенно, так как вызывает рассеяние частиц. Дело в том, что траектория частицы, взаимодействующей с многозарядным тяжелым ядром (m_я,Z_e), заметно отличается от прямолинейной. В каждом акте взаимодействия частица отклоняется от своего первоначального направления на угол рассеяния θ (рис.13).
    Этот угол может быть найден из условия tg θ = Δp/p, где p − импульс налетающей частицы, а ∆p − приращение импульса в результате взаимодействия с рассеивающим центром. Но

Из этого соотношения видно, что:

1. Наиболее сильно рассеиваются легкие частицы, а тяжелые частицы рассеиваются слабее.
2. Поскольку tgθ ~ 1/b, а более вероятны далекие взаимодействия, то преобладают рассеяния на малые углы. Однако, поскольку в реальном случае прицельный параметр ограничен размерами атома (b_max ≈ a), то очевидно, что углы рассеяния не могут принимать сколь угодно малые значения.Иными словами, из-за эффекта экранирования рассеяние на очень малые углы маловероятно.
3. Чем меньше передаваемая ядру энергия, тем меньше и угол рассеяния, так как T_я ~ 1/b.

Многократное рассеяние

    При прохождении через вещество частицы претерпевают многократное рассеяние. Если заряженная частица движется в плотной среде, то, проходя мимо различных ядер этой среды в пределах
b < b_max, она будет рассеиваться каждым из них на некоторый угол θ, среднее значение которого тем больше, чем меньше масса движущейся частицы и чем меньше ее скорость. Этот процесс упругих рассеяний частицы в кулоновском поле ядер, мимо которых она движется, называется многократным кулоновским рассеянием.
    Пусть в результате N столкновений на пути x частица испытает последовательную серию отклонений θ₁, θ₂,...., θ_N. Каждый из этих углов θ_i определяется конкретными условиями данного столкновения (например, значением параметра удара b_i), так что вообще говоря
θ₁ ≠ θ₂ ≠ θ₃ ≠ ... ≠ θ_N.
    Каждое из зтих отклонений может быть направлено в любую сторону относительно предшествующего, т.е. они статистически независимы и равновероятны по разным направлениям, т.е. суммарное отклонение будет равно нулю

Поэтому результирующий угол рассеяния не может служить мерой многократного рассеяния. Однако из-зa того, что каждое рассеяние дает θ_i ≠ 0, для количественного описания вводится среднеквадратичный угол многократного рассеяния

Ранее было получено соотношение между угловым отклонением θ и прицельным параметром b:

 Так как для малых углов tgθ ~ θ, то можно записать:

Число столкновений с параметром удара b на пути x, приводящих к отклонению на угол θ(b), равно
N(b)db = 2πnxbdb, а полное число столкновений на пути x будет

Среднее значение θ² на пути x в результате N столкновений можно найти следующим образом:

и

    Эта формула была бы совершенно точной, если бы на расстояниях, больших b_max, заряд ядра был полностью экранирован, т.е. если бы рассеяния не было совсем, а для всех расстояний, меньших b_min и больших b_max, экранирование вообще бы отсутствовало. Но такой определенной границы в действительности не существует, так как с увеличением расстояния от ядра экранирование возрастает постепенно. Однако логарифмический множитель слабо зависит от величин b_min и b_max, и поэтому можно положить, что по порядку величины логарифмический член равен 10.
    Таким образом, если скорость частицы на пути x не меняется, то среднеквадратичный угол многократного рассеяния

В классическом случае произведение pv равно удвоенной кинетической энергии частицы. В предельно релятивистском случае почти равно кинетической энергии, поэтому при грубой оценке можно считать, что

Тормозное излучение

        Тормозное излучение − это электромагнитное излучение заряженной частицы, возникающее в результате ее торможения при взаимодействии с электростатическим полем атомного ядра и атомных электронов. В электродинамике доказывается, что заряженная частица, движущаяся с ускорением, обязательно излучает электромагнитные волны. Аналогичное излучение возникает при движении электронов в магнитном поле синхротрона, и тогда оно называется синхротронным излучением. В случае же его возникновения при кулоновском взаимодействии с ядрами и электронами оно называется тормозным излучением и приводит к радиационным потерям энергии заряженной частицей.

Рис.14. Движение заряженной частицы в поле ядра.

    Пусть частица с массой М, зарядом ze и скоростью v = βc движется мимо ядра с зарядом Ze и массой m_я. При кулоновском рассеянии на ядре частица претерпевает отклонение (рис.14) и, следовательно, получает ускорение dv/dt и в течение времени dt она излучает энергию

Излучаемая энергия пропорциональна квадрату ускорения. Поскольку dv/dt = F/M, а  F = ze·Ze/r², то

а излучаемая энергия

т.е.

Из этого соотношения можно сделать два важных для нас заключения:

1. Потери энергии на излучение обратно пропорциональны квадрату массы частицы. Это приводит к тому, что тяжелые частицы излучают значительно меньшую энергию, чем легкие. Например, мюон (M_μ=207m_e) излучает энергию в 40 000 раз меньшую, чем электрон, а протон (M_p = 1836m_e) − в 3.4·10⁶ раз меньше электрона. Поэтому радиационные потери энергии наибольшее значение имеют для легчайших заряженных частиц - электронов.
2. (dE)_изл ~ Z² − излучаемая энергия прямо пропорциональна квадрату заряда рассеивающего центра, т.е. наиболее существенны радиационные потери в тяжелых веществах, например, в свинце. Поэтому в экспериментах с космическими лучами, где мы часто имеем дело с релятивистскими электронами и со свинцом в качестве фильтра, тормозное излучение играет очень существенную роль и его обязательно надо учитывать.

    Полное рассмотрение потерь энергии на излучение электроном было проведено в 1934 г. Бете и Гайтлером. В качестве первого результата было получено сечение процесса, при котором рассеяние падающего электрона энергии E сопровождается испусканием кванта электромагнитного излучения с энергией E' в интервале (E', E' + dE'). Вероятность излучения существенным образом зависит от эффективного расстояния электрона от ядра, т.е. от прицельного параметра b. Дело в том, что электрическое поле ядра можно считать кулоновским, если b >> R_ядра. Если b ~ a, начинает сказываться экранирование поля ядра атомными электронами. При b > a экранирование будет максимальным или, как его называют, полным. Этот случай чаще всего встречается, и поэтому мы на нем остановимся.
    По модели Томаса-Ферми размер атома определяется соотношением:

a ~ .

Следовательно, условие полного экранирования сводится к неравенству:

b > .

Поскольку эффективный параметр удара зависит от энергии падающего электрона E, то условие полного экранирования накладывает определенные ограничения на энергию электронов. Оказывается, что экранирование будет полным, если

E > 137m_ec²Z^-1/3,

где E − полная энергия налетающего электрона. Поэтому величина E_п.экр.= 137m_ec²Z^-1/3 называется энергией полного экранирования. В табл.5 приведены ее значения для некоторых веществ.
    Итак, для случая полного экранирования вероятность излучения электроном с энергией E фотона с энергией E' в интервале
(E', E' +dE' ) в поле атомных ядер с зарядом Ze на пути в 1 см этого вещества будет'

Эта формула называется формулой Бете-Гайтлера, в ней r_e = e²/m_ec² − классический радиус электрона,
α = e²/ћc, а n, ат/см³ − концентрация атомов в веществе.
    При прохождении вблизи атома электрон будет испытывать торможение не только в поле ядра, но и в поле атомных электронов. Можно приближенно считать, что вероятность излучения в поле электрона такая же, как и в поле протона. Назовем ее Тогда полная вероятность излучения от взаимодействия с полем ядра −  · Z², , а с полем атомных электронов −  · Z, так как в атоме Z электронов. Полная вероятность излучения от взаимодействия с атомом будет

W_e = Z² + Z = Z(Z + 1),

а формула Бете-Гайтлера приобретает вид:

Коэффициент имеет размерность см^-1, т.е. [t₀] = см.
    Поэтому величина t₀ называется радиационной единицей длины (еще ее называют t-единицей, каскадной единицей, лавинной единицей). Величина радиационной единицы длины не зависит от энергии налетающего электрона E и энергии излученного фотона E’, она зависит от рода вещества и его плотности. Для примера в табл.6 приведены для некоторых веществ значения t₀.

Таблица 6: Величина радиационной единицы длины

    Радиационная единица длины для смеси веществ, имеющих радиационные единицы t_i и весовые доли P_i , находится по формуле

Таким образом, если вероятность радиационных потерь энергии относить не к 1 см вещества, а к 1 t₀ − единице вещества, то оказывается, что вероятность излучения на одной радиационной единице длины во всех веществах будет одинакова

Рис.15. Энергетический спектр тормозных фотонов.

1. Энергетический спектр тормозных фотонов, т.е. распределение излученных фотонов по энергиям (рис.15) во-первых, является сплошным, а во-вторых,
   (W_e(E,E' ) ~ 1/E' )  имеет вид гиперболы, т.е. на единице пути излучается либо много фотонов малой энергии, либо мало фотонов большой энергии.
2. Полная излучаемая электроном энергия на единице пути

Отсюда следует, что полная излучаемая на единице пути энергия пропорциональна энергии электрона E.

3. Относительная потеря энергии на излучение:

является постоянной для данного вещества и не зависит от энергии излучающего электрона. (При неполном экранировании относительная потеря энергии слабо возрастает с увеличением E).

4. Если проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение dE/E = -dx/t₀, то получим закон убывания энергии электрона за счет тормозного излучения при прохождении слоя вещества x: E = E₀ exp(-x/t₀) где E₀ − начальная энергия электрона. Это соотношение помогает раскрыть смысл радиационной единицы длины t₀: при прохождении слоя вещества в 1 t₀-единицу (при x = t₀) энергия электрона в среднем за счет тормозного излучения уменьшается в e раз.
5. Дифференциальная вероятность передачи определенной доли энергии E' W_e(E,E' )dE' имеет очень простой вид:
   
   Это выражение не зависит от энергии фотона E' в рассматриваемом приближении.

Рис.16. Дифференциальные потери энергии на тормозное излучение на 1 t0-единице в свинце

    Теперь, когда известна вероятность процесса, можно получить сразу же много физических сведений об этом процессе.
    На рис.16 приведено дифференциальное эффективное сечение тормозного излучения на радиационной единице длины в свинце для электронов с энергиями 10¹⁰ и 10⁸ эВ. Из рисунка видно, что энергия излучения почти с равной вероятностью распределяется между фотонами с большой и малой энергиями, т.е. энергия, передаваемая фотонам на единице пути в интервале от 0 до 0.5 E, почти равна энергии, передаваемой фотонам в интервале от 0.5 E до E. В первом случае возникает большое число малоэнергичных фотонов, а во втором − всего один − два фотона высокой энергии.
    Следствием этого является большой разброс электронов по энергиям после первого же акта торможения их в веществе − электрон может передать значительную часть своей энергии фотону и сразу затормозиться. В этом ярко проявляется различие между ионизационными потерями и потерями энергии на тормозное излучение. Энергия, израсходованная на ионизацию, передается атомным электронам, как правило, малыми порциями, и быстро растрачивается на тепловое движение атомов вещества, т.е. происходит нагрев вещества. Энергия в этом случае теряется безвозвратно.
    При тормозном излучении фотон имеет большую вероятность унести энергию, сравнимую с энергией электрона. В этом случае энергия электрона как бы "перекачивается" к фотонам, а не теряется безвозвратно.
    Итак, при торможении электрон может затормозиться сразу, образовав энергичный фотон, или плавно терять энергию, создавая много фотонов. Это обстоятельство приводит к сильным флуктуациям в радиационных потерях энергии.
    Угловое распределение фотонов тормозного излучения существенно зависит от энергии образующих их электронов. В нерелятивистском случае фотоны могут испускаться как вперед, так и назад. Их угловое распределение пропорционально cos²θ.
    Чем выше энергия электронов E, тем больше фотонов будет излучаться по направлению движения электронов. В ультрарелятивистском случае (E >> m_ec²) фотоны тормозного излучения сильно коллимированы в направлении движения электронов. Угловое распределение фотонов имеет вид:

    Средний угол вылета фотонов равен <θ> ~ m_ec²/E, т.е. чем выше энергия электронов E, тем острее конус излучения.
    В электронных ускорителях типа бетатрона или синхротрона при торможении пучка быстрых электронов на мишени возникает гамма-излучение в виде узкого пучка по направлению порождающих его электронов.
    Тормозное излучение - это основной метод получения пучков фотонов высокой энергии, о помощью которых изучаются электромагнитная структура элементарных частиц и атомных ядер, фоторождение элементарных частиц и другие процессы взаимодействия излучения с веществом.
    Сравнение удельных потерь энергии электронов на излучение и ионизацию показывает, что они по-разному зависят от энергии электронов и параметров среды.
    Радиационные потери сильнее зависят от атомного номера вещества, чем ионизационные (~ Z² вместо ~ Z), и сильнее зависят от энергии электрона. Как уже отмечалось, радиационные потери быстро растут с возрастанием энергии электрона, в то время как ионизационные потери остаются практически постоянными. Таким образом, при больших энергиях электронов потери на излучение являются гораздо более существенными, чем ионизационные потери.

Рис.17. Относительные потери энергии на ионизацию и на излучение на 1 t0-единице длины для электронов в воздухе и свинце

   На рис.17 показаны относительные потери энергии на излучение и ионизацию на радиационной единице длины в воздухе и свинце. Возрастание относительных потерь на излучение до энергии электрона эВ обусловлено эффектом неполного экранирования атомарными электронами поля ядра; относительные потери энергии при торможении слабо возрастают с энергией электрона, достигая единицы при энергии эВ. Количественное сравнение потерь энергии электронами на ионизацию и тормозное излучение приводит к соотношению

где const ≈ 600 МэВ, если энергию электрона E измерять в МэВ. Из этой формулы следует, что радиационные потери превышают ионизационные при E > 600/Z МэВ. То есть для воздуха, например,они сравниваются при энергии
E = 81 МэВ, для свинца – при E = 7,4 МэВ, для воды – при E = 73 МэВ.

Энергия электронов, при которой потери на излучение становятcя равными потерям на ионизацию, называетоя критической энергией ε. Она разная для разных веществ

ε = const/Z = 600 МэВ/Z.

В табл.7 приведены величины критической энергии для разных веществ.

    Итак, при E < ε ионизационные потери больше тормозных, а при E > ε преобладают потери на излучение (рис.17). Численно критическая энергия равна ионизационным потерям на пути в 1 t₀-единицу:

(dE/dx)_ион = ε = const/Z.

Отсюда получаем приближенное соотношение (для ультрарелятивистского случая): Zε ~ const (см. Таблицу 7).