Вероятность перехода квантовой системы под действием электромагнитного излучения

    Одна из основных задач теории – вычисление вероятностей мореходов системы (атома или ядра) из начального состояния в конечные под действием электромагнитного поля. Для получения вероятностей электромагнитных переходов будем использовать зависящую от времени (нестационарную) теорию возмущений, а электромагнитное поле рассматривать как классический объект. Такой подход позволяет в относительно простой форме получить основные результаты. Правомерность использования теории возмущений следует из сравнительной слабости электромагнитного взаимодействия, характеризуемого малой безразмерной константой e²/c = 1/137.
    Напомним некоторые положения нестационарной теории возмущений.

    1.1. Нестационарная теория возмущений. Пусть H₀ – не зависящий от времени гамильтониан квантовой системы в отсутствие внешних полей, причем для этого гамильтониана уравнение Шредингера допускает точное решение. Тогда гамильтониан H этой системы в присутствии нестационарного внешнего поля имеет вид

H = H₀ + V(r,t),

где V(r,t) – оператор, описывающий взаимодействие внешнего поля с системой (оператор возмущения). Теория возмущений используется тогда, когда выполняется условие V(r,t) << H₀.
    Пусть квантовая система находится в поле, характеристики которого периодически меняются со временем с частотой (примером такого поля является поле монохроматической электромагнитной волны). Тогда оператор возмущения V(r,t) также будет периодически меняться со временем с той же частотой и, следовательно, может быть записан в виде

Введем обозначение , тогда

.

    В первом порядке зависящей от времени теории возмущений вероятность перехода w квантовой системы в единицу времени из состояния, описываемого волновой функцией _i, в состояние, описываемое волновой функцией _f (_i и _f – собственные функции оператора H₀) под действием возмущения , дается выражением

(1.1)

причем переходы происходят в состояния, обладающие энергией E_f = E_i + и плотностью _f(E_f) (E_i и E_f – собственные значения оператора H₀, отвечающие собственным функциям _i и _f).

Возмущение V⁺(r,t) приводит к тому, что квантовая система теряет энергию путем вынужденного испускания, E_f = E_i - . Под действием возмущения V^–(r,t) система приобретает энергию и E_f = E_i + . B дальнейшем мы будем рассматривать лишь последний случай, соответствующий поглощению энергии поля, оставляя в операторе возмущения V(r,t) лишь второе слагаемое V^–(r,t), которое зависит от времени как .
    Для того чтобы вычислить с помощью выражения (1.1) вероятность поглощения электромагнитного излучения квантовой системой, требуется знание конкретного вида оператора взаимодействия системы с электромагнитным полем. Для этого оператора можно получить точное выражение (см. прил. 1). Подчеркнем, что в том случае, когда между квантовой системой и налетающей частицей осуществляется сильное взаимодействие, выражение для гамильтониана этого взаимодействия можно получить лишь в определенных модельных приближениях.
    Будем рассматривать случай, когда на квантовую систему падает плоская монохроматическая электромагнитная волна.

    1.2. Квантовая система в поле плоской электромагнитной волны. Полный гамильтониан H системы частиц и электромагнитного поля имеет вид

H = H₀ + H_el + V(r,t),

где H₀ – гамильтониан системы в отсутствие внешних полей, H_el – гамильтониан электромагнитного поля и V(r,t) – гамильтониан взаимодействия системы с электромагнитным полем (оператор возмущения).
    В дальнейшем под системой будем понимать совокупность А нерелятивистских частиц. Тогда

где p_a и m_a – оператор импульса и масса частиц системы, а W_ab – энергия взаимодействия частиц a и b. H_el - не что иное, как энергия электромагнитного поля. Классическое выражение для нее

,

где E и H - напряженности электрического и магнитного полей. Если поле квантовано и представляет собой совокупность n фотонов энергии , то

H_el = n.

    Выражение для оператора V(r,t) выводится в прил. 1 и имеет в случае бесспиновых частиц вид

,

(1.2)

где е_a - электрические заряды частиц системы, а А - векторный потенциал электромагнитной волны в той точке, где находится частица a.
    Конкретизируем это выражение для случая, когда система поглощает падающую на нее плоскую монохроматическую волну. Векторный потенциал такой волны можно записать в виде

,

(1.3)

где k - волновой вектор, направление которого определяет направление распространения волны (k = n/c, а n - единичный вектор в направлении k), и - единичный вектор поляризации излучения.
    Векторный потенциал А должен удовлетворять условию divA =  0 (см. прил. 1). Для плоской волны это условие равносильно требованию

которое выполняется для волны, поляризованной перпендикулярно направлению распространения, т. е. поперечной волны.
    Подставляя в формулу (1.2) для V(r,t) лишь первый член из выражения (1.3) для векторного потенциала плоской волны, который имеет отрицательную частоту и, следовательно, отвечает поглощению излучения, получаем

,

причем A₀ = A₀ε. Для v(r) имеем

.

(1.5)

Именно этот оператор и будет использован ниже в выражении (1.1) для вычисления вероятности перехода квантовой системы в единицу времени.