Классификация фотонов и мультипольные волны

    Состояния рассматриваемых нами квантовых систем (атома и ядра) характеризуются определенными значениями момента количества движения J и четности P. Поэтому в любом процессе, в котором такие квантовые системы переходят из одного состояния в другое, должны учитываться правила отбора по моменту и четности. Если атом или ядро переходят из одного состояния в другое в результате поглощения электромагнитного излучения, то законы сохранения момента количества движения и четности требуют, чтобы поглощенное излучение также имело определенные значения J и P. Поэтому участвовать в атомных и ядерных процессах может лишь такое электромагнитное излучение, волновая функция которого – собственная функция операторов момента и четности.
    Плоская волна не имеет определенного момента и четности. Однако векторный потенциал такой волны можно разложить в ряд по состояниям с определенными значениями J и P. Это разложение носит название разложения по мультипольным волнам (или просто мультиполям). Отдельные члены такого разложения будут отвечать электромагнитным волнам (фотонам) с определенными значениями момента и четности, которые могут быть поглощены атомами и ядрами.
    Таким образом, задача состоит в том, чтобы перейти от поля фотонов с определенным значением импульса (k) к полю фотонов с определенными значениями момента и четности. Прежде чем записать разложение плоской волны по мультиполям, напомним классификацию фотонов по моменту и четности.
    Полный момент количества движения фотона J принимает целочисленные значения, начиная с единицы: J = 1, 2, 3,.... Невозможность для фотона J = 0 следует из того, что электромагнитная волна поперечна и поэтому не может быть описана сферически симметричной волновой функцией.
    К фотону неприменимо обычное определение спина как момента количества движения в системе покоя, так как такой системы для фотона не существует. Поскольку, однако, фотон – квант векторного поля, а любое векторное поле пригодно для описания частицы со спином 1 (это можно показать, рассматривая свойства векторного поля по отношению к вращениям системы координат),то фотону удобно приписать спин S = 1. Из этого следует, что полный момент фотона J можно формально рассматривать как векторную сумму спинового S и орбитального L моментов (=+), причем орбитальный момент L в данном случае не что иное, как ранг сферических функций Y_Lm, входящих в состав волновой функции фотона.
    Фотоны с определенным значением J называются 2J-польными (дипольными, если J = 1; квадрупольными, если J = 2; октупольными, если J = 3 и т.д.). Для данного J квантовое число орбитального момента L может принимать три значения: L = J+1, J, J–1 так как спин фотона S = 1.
    Четность фотона Р_ф определяется правилом

Р_ф=(–1)^L+1.

    Таким образом, фотоны с одинаковым J могут иметь различные значения орбитального момента, а следовательно, и четности. Фотоны, для которых орбитальный момент совпадает с полным, т. е. L = J, имеют четность (–1)^J+1 и называются магнитными (или кратко MJ) фотонами. Фотоны, для которых L = J + l, имеют четность (–1)^J и называются электрическими (или EJ) фотонами. Основания для такой классификации изложены в прил. 2. Таким образом, фотоны электрического типа, в отличие от фотонов магнитного типа, не имеют определенного значения орбитального момента. Их волновая функция является линейной комбинацией состояний с L = J + 1.
    Для описания электрического (EJ) и магнитного (MJ) излучений используются электрические и магнитные потенциалы и (см. прил. 2), которые можно рассматривать как собственные функции EJ и MJ излучений, имеющих проекцию полного момента, равную M. Разложение плоской волны по мультиполям есть разложение по функциям и .
    Наиболее простой вид это разложение имеет тогда, когда плоская волна поляризована по кругу и ее волновой вектор k направлен вдоль оси z. В этом частном случае разложение по мультиполям имеет вид:

,  p = +1,

(3.1)

где e_p (p = +1) - базисные векторы комплексной циркулярной системы координат, причем левой круговой поляризации отвечает p = +1, а правой p = –1. В соответствии с этим проекция полного момента фотона может принимать значения либо +1, либо –1.
    Если волновой вектор k имеет произвольное направление, то разложение по мультиполям более сложно

,  p = +1,

(3.2)

где – матрица вращений (подробнее см. прил. 2 и 3), зависящая от углов и , которые определяют направление волнового вектора k в полярной системе координат. В этом случае проекция полного момента фотона M принимает все возможные значения (M = +J, +(J–1),...).