Магические числа

    Сравнение экспериментально измеренных масс атомных ядер с результатами расчетов по формуле Вайцзеккера показывает, что наблюдаются систематические различия между экспериментальными данными и результатами теоретических расчетов, обусловленные оболочечной структурой атомных ядер. Оказалось, что в атомных ядрах также как и в атомах есть оболочки. Ядра, имеющие полностью заполненные оболочки, связаны более сильно по сравнению со своими соседями. Числа нейтронов или протонов, соответствующие заполненным оболочкам, были названы магическими числами. Это числа :

2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126.

    Первые шесть чисел одинаковы для нейтронов и протонов. Число 126 соответствует заполненной нейтронной оболочке. Эти магические числа были получены для ядер вблизи долины стабильности.
    В том случае, когда число нейтронов N или число протонов Z равно одному из магических чисел, ядро называется магическим. В том случае, когда и N  и Z равно магическому числу, ядра являются дважды магическими. Ядра ⁴He, ¹⁶O, ⁴⁰Ca являются самосопряженными магическими ядрами. Ядро ⁴⁰Ca - самое тяжелое стабильное ядро с N = Z. После ⁴⁰Ca все известные ядра с N = Z являются протоноизбыточными и распадаются в результате ⁺-распада и e-захвата.
    В настоящее время в связи с повышением точности экспериментов и появлением новых экспериментальных данных наряду с этими магическими числами наблюдают повышенную стабильность ядер с числами нейтронов или протонов N, Z = 14, 40, 64, что соответствует заполнению ядерных подоболочек. Эти числа иногда называют полумагическими.
    Один из интригующих вопросов современной ядерной физики - следующий: будут ли магические числа справедливыми также и для экзотических ядер, удаленных от долины стабильности?

Рис. 8.1. Энергии отделения двух нейтронов и энергии -распада для -радиоактивных ядер вблизи магического числа 126

Рис. 8.2. Энергия возбуждения первого 2+ уровня

Рис. 8.3. Электрические квадрупольные моменты ядер

    Прежде, чем ответить на этот вопрос, перечислим какие факты свидетельствуют о проявлении магических чисел.

1. Увеличение энергии связи ядер с заполненными оболочками по сравнению с соседними ядрами.
2. Увеличение энергии отделения одного или двух нуклонов. Наиболее отчетливо этот эффект заметен в энергии отделения двух нейтронов (см. рис. 8.1).
3. Увеличение энергии α-распада для α-радиоактивных ядер вблизи магического числа 126 (рис. 8.1).
4. Увеличение числа β-стабильных изотопов для ядер с магическими числами нейтронов или протонов.
5. В ядрах с заполненными оболочками первый 2⁺ уровень расположен значительно выше по энергии по сравнению с соседними ядрами (рис. 8.2).
6. Магические числа соответствуют сферическим ядрам, имеющим нулевые значения электрических квадрупольных моментов (см. рис. 8.3).
7. Ядра, с заполненными оболочками, имеют меньшую величину сечения захвата низкоэнергичных нейтронов.

Будут ли эти особенности наблюдаться для ядер, удаленных от долины -стабильности.

    Ядро ¹⁶O является легчайшим (за исключением ядра ⁴He) дважды магическим стабильным ядром с N = Z = 8.
    Полумагическое число N = 14 соответствует заполнению подоболочки 1d_5/2. Может ли существовать изотоп ²²O (Z = 8, N = 14)? Будет ли полумагическое число N = 14 приводить к повышенной стабильности этого изотопа по сравнению с соседями. Поиск устойчивого по отношению к нуклонному распаду ядра ²²O был выполнен в ряде лабораторий. Однако результат оказался отрицательным. Хотя для соседнего четно-четного ядра ²⁴Ne (Z = 10, N = 14) энергия первого уровня 2⁺ возрастает на 50% по сравнению с соседними ядрами, что свидетельствует о заполненности в этом ядре подоболочки N = 14.
    Для тяжелых изотопов кислорода можно также ожидать повышенную стабильность для дважды магического изотопа ²⁸O (Z = 8, N = 20). Наиболее тяжелый изотоп кислорода, обнаруженный на сегодняшний день, ²⁴O. Эта ситуация выглядит интригующей, так как обнаружены связанные состояния изотопов ядра (Z = 9) - ²⁹F (N = 20) и даже ³¹F (N = 22).
    Одно из возможных объяснений состоит в том, что ядра этой области деформированы. Деформация является дополнительной степенью свободы для образования связанных состояний. Впервые эффект деформации ядер с N = 20, имеющих большой нейтронный избыток, наблюдался для ядра ³²Mg (Z = 12, N = 20). Аномальное поведение зависимости энергии отделения двух нейтронов в районе N = 20 (см. рис. 10.18) было обнаружено на нейтроноизбыточных изотопах Na (Z = 11). Качественно эту аномалию поведения энергии отделения двух нейтронов можно объяснить, если учесть деформацию ядер в этой области N-Z диаграммы.
    Вывод, который можно сделать из более детального анализа большого количества экспериментальных данных для ядер с N = 20, состоит в следующем. Ядра с N = 20, имеющие большой нейтронный избыток, перестают быть сферически симметричными. Аналогичная ситуация имеет место и в ядре ⁴⁴S (Z = 16, N = 28), для которого исчезают особенности, связанные с заполненностью оболочки N = 28. Однако проблема существования магических чисел N = 20 и N = 28 в сильно нейтронно-избыточных ядрах требует дальнейшего исследования. Необходимо более детально исследовать смещение протонных уровней 1d_3/2 и 2s_1/2 по мере заполнения нейтронных оболочек при увеличении числа нейтронов от N = 20 до N = 28.
    Для легких ядер получена обширная спектроскопическая информация о массах изотопов, спинах и четностях основных и возбужденных состояний ядер, их каналах распада. Для легких ядер с N = Z (Z < 20) выполнено большое количество расчетов и они являются основой для проверки моделей, описывающих ядерную структуру. В первую очередь это относится к дважды магическим ядрам. Дважды магические ядра с N = Z сферически симметричны. Для N = Z ядер, имеющих значение Z между магическими числами, наблюдается деформация в основном состоянии. При этом деформация за счет протонов и нейтронов взаимно усиливается. Например, значительная деформация наблюдается у ядра ²⁴Mg (N = Z = 12). Сильная деформация предсказывается для ядра с N = Z = 40. При этом форма ядра меняется от сплюснутого элипсоида к вытянутому.

    Цепочка изотопов никеля включают в себя несколько дважды магических изотопов - ⁴⁸Ni (Z = 28, N = 20), ⁵⁶Ni (N = 28), ⁷⁸Ni (N=50) и изотоп ⁶⁸Ni, соответствующий заполнению подоболочки N = 40. Существование ядра ⁴⁸Ni свидетельствует о стабилизирующей роли оболочки N = 20 в нейтронодефицитных ядрах. Расчеты показывают, что оболочечные эффекты составляют ~1.5 МэВ. Изотопы ⁴⁸Ni (Z = 28, N = 20) и ⁴⁸Ca (Z = 20, N = 28) представляют уникальный случай зеркальных дважды магических ядер. Детальное исследование свойств этих ядер дает возможность изучить проявление зеркальной симметрии в дважды магических ядрах.
    Энергии возбуждения первого 2⁺ уровня в изотопах хрома (Z = 24), железа (Z = 26), никеля (Z = 28) и цинка (Z = 30) показаны на рис. 8.2. Для всех изотопов отчетливо наблюдается эффект заполнения оболочки N = 28. В отличие от N = 28 эффект заполнения подоболочки N = 40 отчетливо виден лишь для ⁶⁸Ni.

Рис. 8.4. Зависимость положения первого 2+ уровня для изотопов в районе N = 50

    На рис. 8.4 показана зависимость положения первого 2⁺ уровня для изотопов в районе N = 50. Эффект полумагического числа Z = 40 отчетливо проявляется как при N = 50, так и при N = 48 и 52. То есть наблюдается относительно большая устойчивость подоболочки Z = 40 по сравнению с подоболочкой N = 40.
    В этой связи большой интерес представляет исследование дважды полумагического ядра ⁸⁰Zr (N = Z = 40). Было установлено, что оно сильно деформировано и представляет вытянутый эллипсоид с = 0.4. Вращательный спектр этого ядра хорошо описывается в оболочечной модели в предположении сильного смешивания оболочек 1f2p и 1g2d3s. Смешивание оболочек приводит к их сильному вырождению и проявляется в сосуществовании деформированных состояний, соответствующих вытянутому и сплюснутому эллипсоиду.
    Объяснение столь сильного нарушения сферической симметрии состоит в том, что ядра с числом нуклонов N, Z = 38 образуют устойчивые деформированные состояния и имеют большую энергетическую щель. Ядро ⁷⁶Sr (N = Z = 38) также сильно деформировано в основном состоянии. Аналогичная ситуация имеет место и для дважды магических супер деформированных ядер ¹²²Ce (Z = 58, N = 64) и ¹⁵²Dy (Z = 66, N = 86). То есть в данном случае образуется некоторый аналог магических чисел - магические деформированные числа,  соответствующие образованию особо устойчивых деформированных состояний.
    Экспериментальная информация о ядре ⁷⁸Ni до конца неясна, однако имеющиеся данные по-видимому свидетельствуют о том, что это дважды магическое сферическое ядро.

    Самым тяжелым дважды магическим ядром с N = Z, известным в настоящее время, является радиоактивный изотоп ¹⁰⁰Sn (Z = 50). Это последнее дважды магическое ядро с N = Z. Согласно существующим моделям все более тяжелые дважды магические ядра с N = Z нестабильны относительно испускания частиц из основного состояния.
    Магичность оболочки Z=50 подтверждается большим числом изотопов олова и удивительной стабильностью положения первого 2⁺ уровня в изотопах ¹⁰⁴Sn-¹³⁰Sn. Энергия этого уровня варьируется в пределах меньше 10% при средней энергии ~1.2 МэВ. Наблюдается конкуренция между сферической формой основного состояния ядра и его деформацией в возбужденном состоянии. Смещение первого 2⁺ уровня в область более высоких энергий (E4 МэВ) в дважды магическом ядре ¹³²Sn (Z = 50, N = 82) свидетельствует о том, что эффект заполнения оболочки Z = 50 сохраняется и в этом ядре, сильно перегруженном нейтронами.
    Дважды магическое самосопряженное ядро ¹⁰⁰Sn (N = Z = 50) в настоящее время детально исследуется с двумя соседями ⁹⁸Cd и ¹⁰²Sn как примеры систем двух протонных дырок и двух нейтронов над самосопряженным дважды магическим ядром ¹⁰⁰Sn.
    Несомненный интерес представляет обнаружение и изучение свойств самого тяжелого дважды магического ядра ¹⁰⁰Sn с N = Z= 50. Ядро ¹⁰⁰Sn было получено и идентифицировано в двух независимых экспериментах.

• В GSI использовался пучок ¹²⁴Xe с энергией 1.1 ГэВ/нуклон.
• В GANIL использовался пучок ¹¹²Sn с энергией 63 МэВ/нуклон.

Рис.  8.5 Идентификация изотопов в двумерном распределении Z - A/Q, полученном на фрагмент-сепараторе FRS в GSI

    В эксперименте GANIL было зарегистрировано 10-12 событий, которые были идентифицированы как ядра ¹⁰⁰Sn и с точностью 10^-5 определена масса этого ядра. В эксперименте GSI наблюдалось 7 случаев ядер ¹⁰⁰Sn.
   Из рис. 8.5 видна надежность выделения изотопа ¹⁰⁰Sn в эксперименте GSI. Ядра ¹⁰⁰Sn имплантировались в многослойный кремниевый детектор, что позволило для каждого случая измерить энергию -распада, определить период полураспада и схему распада. Предварительные экспериментальные данные совместно с теоретическими предсказаниями показаны на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Теоретические предсказания и полученная в эксперименте схема распада 100Sn

    Исследование распадных характеристик ядра ¹⁰⁰Sn представляет особый интерес по следующим причинам.
    Т.к. в ядре ¹⁰⁰Sn последняя заполненная подоболочка по протонам и нейтронам 1g_9/2, для ядер вблизи N = Z = 50 с большой вероятностью ожидаются распады с испусканием -частиц и нуклонов.
    Бета-распад ядер в этой области будет происходить в результате сверхразрешенного перехода Гамова - Теллера или для ядер с незаполненной нейтронной подоболочкой g_9/2 (Z, N <50) в результате перехода . Бета-распад ядра ¹⁰⁰Sn происходит в результате сверхразрешенного перехода Гамова - Теллера на состояние 1⁺ ядра ¹⁰⁰In с энергией возбуждения в области ~ 2.5 МэВ. В то время как для соседних ядер должны наблюдаться более сложные -распады, фрагментирующие по большому числу состояний конечного ядра. Действительно, при распаде четно-четного ядра ⁹⁸Cd наблюдается сильная фрагментация 1⁺ состояний в области энергий 1.7-2.5 МэВ соседнего нечетно-нечетного ядра ⁹⁸Ag. Распад четно-нечетного ядра ¹⁰⁵Sn происходит на большое число состояний с энергиями ~3.3 МэВ в соседнем ядре ¹⁰⁵In. Природу этих состояний можно описать связью нечетного d_5/2 нейтрона с Гаммов - Теллеровской парой в состоянии 1⁺ (). Аналогичная ситуация предсказывается для распадов ^101,103Sn. Для распадов нечетно-нечетных ядер в районе ¹⁰⁰Sn ожидается преимущественное заселение 4-х квазичастичных состояний, образующихся в результате -распада конечных ядер с энергиями возбуждения около 5 МэВ. Эти состояния формируются за счет связи состояний возбужденного кора 1⁺ () с частицами спектаторами: нечетным d_5/2-нейтроном и нечетным g_9/2-протоном. Расчеты в целом достаточно хорошо описывают особенности распада ядер в этой области, в частности, периоды -распада, однако требуют дальнейших исследований распадов с испусканием протонов и -частиц. Распады ¹⁰⁰Sn с испусканием -частиц не обнаружены. Теоретические оценки предсказывают для веростности распада с испусканием протонов < 10^-4. Экспериментально полученные оценки для этого распада < 20%.

    Особый интерес представляют изотопы свинца Pb (Z=82). Изучая изотопы свинца, можно проследить как влияет заполнение нейтронами подоболочек в районе N=126 на свойства атомных ядер. ²⁰⁸Pb самое тяжелое дважды магическое стабильное ядро (Z = 82, N = 126). В настоящее время получена обширная информация о 32 изотопах свинца от самого легкого ¹⁷⁸Pb (N = 96) до самого тяжелого ²¹⁴Pb (N = 132). В легких изотопах свинца наблюдается очень интересное явление - конкуренция сферической формы в основном состоянии ядра с деформированными низколежащими состояниями. Так, в изотопе свинца ¹⁸⁶Pb (N=104), что находится как раз по середине между магическими числами N = 82 и N = 126 наблюдается довольно уникальная ситуация. Основное состояние и первые два возбужденных состояния соответствуют трем различным макроскопическим состояниям: сферически симметричному, сплюснутому эллипсоиду и вытянутому эллипсоиду (см. рис. 8.7).

Рис. 8.7. Потенциальная поверхность 186Pb. Три минимума соответствуют трем различным макроскопическим состояниям: сферически симметричному, сплюснутому эллипсоиду и вытянутому эллипсоиду

    Многие особенности возбужденных состояний атомных ядер можно объяснить в рамках оболочечной модели с усредненным потенциалом и остаточным взаимодействием между валентными нуклонами. Остаточное взаимодействие нуклонов вне замкнутых оболочек можно представить как линейную комбинацию двухчастичных взаимодействий. Наиболее простым с точки зрения интерпретации экспериментальных данных является случай, когда количество нуклонов или дырок сверх заполненных оболочек равно двум.
    Рассмотрим это на примере ядер вблизи дважды магического ядра ²⁰⁸Pb (Z = 82, N = 126). Данные о природе возбужденных состояний в ядрах ²⁰⁸Pb + n, ²⁰⁸Pb + p получены из анализа возбужденных состояний ядер ²⁰⁷Pb, ²⁰⁹Pb, ²⁰⁷Tl, ²⁰⁹Bi в реакциях срыва или подхвата одного нуклона. Последовательности заполнения частичных и дырочных протонных и нейтронных состояний вблизи ядра ²⁰⁸Pb приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1. Последовательность заполнения нейтронных и протонных состояний (частичных и дырочных) вблизи ²⁰⁸Pb

    Схема возбужденных состояний ядер ²⁰⁹Pb и ²⁰⁹Bi, отличающихся от дважды магического ядра ²⁰⁸Pb     добавлением одного нейтрона и одного протона, показана на рис. 8.8. Кроме энергий, спинов и чётностей ядерных состояний в скобках приведены данные о спектроскопических факторах [N. Stein. Proc. of the Int. Conf on the Properties of Nuclear States, Montreal, 1969]. Величина спектроскопического фактора позволяет судить о степени одночастичности состояний.

Рис. 8.8. Схема возбужденных состояний 209Pb и 209Bi

    Из данных, приведенных на рисунке, следует, что низшие возбужденные состояния (E^* < 1.5 МэВ) имеют одночастичную природу. Взаимодействие восемьдесятьтретьего протона в ядре ²⁰⁹Bi в состоянии h_9/2 с вибрационным состоянием 3^- (E^*~2.6 МэВ) приводит к появлению мультиплета состояний 3/2, 5/2, …15/2 положительной четности, расположенных в области энергии возбуждения состояния 3^-. Взаимодействие восемьдесятьтретьего протона с возбужденными состояниями остова J^P = 5^-, 2⁺, 4⁺ приводит к появлению мультиплетов состояний [²⁰⁸Pb(5^-)·h_9/2], [²⁰⁸Pb(2⁺)·h_9/2], [²⁰⁸Pb(4⁺)·h_9/2] с расстоянием между отдельными уровнями порядка десятка кэВ. Аналогичная ситуация имеет место и для изотопов ²⁰⁷Pb, ²⁰⁷Tl и ²⁰⁹Pb.

Таблица 8.2. Ядро ²⁰⁸Pb и ядра, отличающиеся от него тем, что у них число частиц и дырок сверх заполненных оболочек ядра ²⁰⁸Pb равно 2

    В табл. 8.2 приведены ядра, отличающиеся от ядра ²⁰⁸Pb тем, что для этих ядер число частиц и дырок сверх заполненных оболочек ядра ²⁰⁸Pb равно 2. В скобках указано отличие конфигурации основного состояния соответствующего ядра от конфигурации дважды магического ядра ²⁰⁸Pb. Знак "^-1" обозначает дырочное состояние. Анализ возбужденных состояний этих ядер позволяет изучать взаимодействие двух протонов, двух нейтронов, нейтрон-нейтронных и протон-протонных дырок, а также комбинаций одна частица - одна дырка над нуклонным остовом ²⁰⁸Pb.
   Рассмотрим взаимодействие двух протонов в случае ²¹⁰Po²⁰⁸Pb + 2p.
   Структура основного и низших возбужденных состояний ²¹⁰Po характеризуется конфигурациями (h_9/2)², (h_9/2f_7/2), (h_9/2j_13/2).
   Из рассмотренной схемы одночастичных состояний ²⁰⁹Bi можно определить энергию одночастичных состояний протона в состояниях f_7/2 (E = 0.90 МэВ) и j_13/2 (E = 1.6МэВ) и следовательно в нулевом приближении определить разницы энергий между состояниями

E[(h_9/2)² - (h_9/2f_7/2)] ~ 0.9 МэВ и E[(h_9/2)² - (h_9/2j_13/2)] ~ 1.6 МэВ.

    Взаимодействие между протонами над остовом ²⁰⁸Pb приводит к тому, что эти состояния расщепляются образуя мультиплеты.

(h_9/2)²   0⁺, 2⁺, 4⁺, 8⁺;

(h_9/2f_7/2)  1⁺, 2⁺, 3⁺, 4⁺, 5⁺, 6⁺, 7⁺, 8⁺;

(h_9/2j_13/2)  2^-, 3^-, 4^-, 5^-, 6^-, 7^-, 8^-, 9^-, 10^-,11^-.

Рис. 8.9. Возбужденные уровни 210Po с разделением на мультиплеты

    На рис. 8.9, взятом из работы [В. Куш ЭЧАЯ 1974 стр 334, Т5, вып 2 ], приведены отдельные мультиплеты и связь некоторых состояний с коллективными состояниями 3^-, 5^- остова ²⁰⁸Pb.

Рис. 8.10. Схема возбужденных состояний 208Bi с разбивкой на отдельные мультиплеты

   На рис.8.10 показана схема возбужденных уровней ядра ²⁰⁸Bi (²⁰⁸Pb + протон + нейтронная дырка) с указанием отдельных мультиплетов [W.P. Alford Phys Rev Lett 1968,V21, p156]. По данным этой работы спектроскопическая сила, просуммированная по состояниям мультиплетов, близка к соответствующей величине для однодырочных или одночастичных состояний, что указывает на малый эффект смешивания конфигураций.

Рис. 8.11. Сравнение экспериментальных и рассчитанных возбужденных состояний 208Bi

    На рис. 8.11 показано сравнение теоретически раcсчитанного спектра возбужденных состояний ядра ²⁰⁸Bi с экспериментальными данными. Включение тензорного потенциала (ТП) необходимо для объяснения основных особенностей спектра низколежащих состояний.

    Большой интерес представляет изучение свойств ядер, имеющих одинаковое число нейтронов и протонов. В случае легких ядер это, как правило, ядра, расположенные вблизи долины стабильности. На рис. 8.12 приведены энергии отделения нейтронов и протонов для ядер с N = Z. Отчетливо проявляется эффект n-n и p-p спаривания. По мере продвижения к большим Z величина энергии связи (отделения) нейтронов для ядер с N = Z практически не меняется (_n13-15 МэВ), в то время как энергия отделения протнов _p уменьшается до 2-3 МэВ для Z40. Уменьшение величины _p  связано с приближением к границе протонной стабильности.

Рис. 8.12. Энергии отделения протонов и нейтронов для ядер с N = Z

    Несмотря на то, что при увеличении Z для ядер с N = Z происходит уменьшение глубины потенциальной ямы для протонов вплоть до Z = 30, не наблюдается различий в заполнении протонных и нейтронных уровней. В табл. 8.3 приведены значения спинов и четностей основных состояний ядер с (Z, N+1) и (Z+1, N), отличающихся от ядер с N = Z добавлением одного нейтрона (протона) (N и Z четные). Совпадение значений спинов и четностей для ядер, имеющих один неспаренный нейтрон или протон, свидетельствует в пользу того, что неспаренные частицы находятся в одинаковых одночастичных состояниях в протонной и нейтронной ямах. Простейшие оболочечные модели хорошо предсказывают экспериментально наблюдаемые значения спинов и четностей.

Таблица 8.3. Значения спинов и четностей основных состояний ядер

    Энергии спаривания нейтронов и протонов могут быть получены из данных по энергиям связи ядер. На рис. 8.13 приведены значения энергии n-p-спаривания для нечетно-нечетных ядер с N = Z и для нечетно-нечетных ядер с N = Z +2.

Рис. 8.13. Энергии n-p-спаривания для нечетно-нечетных ядер с N = Z и для нечетно-нечетных ядер с N = Z +2

   Видно, что в случае легких ядер различие в энергиях n-p-спаривания составляет ~ 3-4 МэВ и уменьшается до 1.0-1.5 МэВ для ядер с Z = 30. Уменьшение величины n-p-спаривания можно объяснить за счет различия в орбитальных моментах спаривающихся нейтронов и протонов.
    Исследование различий во взаимодействии двух свободных нуклонов и их взаимодействия в ядерной среде является одной из фундаментальных проблем современной ядерной физики.