Сечение реакции

    Когда сталкиваются две субатомные частицы (например, α-частица и ядро золота в опыте Резерфорда), между ними может произойти взаимодействие, а может и не произойти. В последнем случае частицы сохраняют неизменными все свои характеристики. Мы не можем предсказать результат столкновения двух конкретных частиц, а лишь вероятность того или иного исхода столкновения. Таким образом, мы оперируем с вероятностями событий. Это вероятностное, а не строго определенное знание (или предсказание) того или иного события отличает физику микромира от физики классических объектов.
    Основной величиной, которой оперируют физики, исследующие столкновение микрообъектов, является эффективное сечение или просто сечение (более полное название поперечное эффективное сечение). Именно эта величина определяет вероятность того или иного результата столкновения. Результат опыта Резерфорда и, вообще, почти всех экспериментов по столкновению частиц выражается через эту величину. Определим её. Для этого вернемся к опыту Резерфорда.
    Пусть мишенью является ядро золота, расположенное внутри объема пространства кубической формы с длиной ребра 1 см (рис. 1), и на одну из граней этого кубика под углом 90^о в единицу времени (1 с) падает j α-частиц однородно распределенных в пространстве (j – не что иное как плотность потока α-частиц и имеет размерность см^-2с^-1). Отметим, что других α-частиц помимо тех, которые бомбардируют кубик, нет. В результате взаимодействия с ядром из каждых j частиц N изменит траекторию (рассеется). Поэтому численно вероятность взаимодействия отдельной -частицы с ядром золота равна N/j. Именно это отношение с учетом его размерности и называют эффективным сечением σ, т. е.

Очевидно σ имеет размерность площади (см²).

Рис. 1. К понятию “эффективное сечение”

    Происхождение словосочетания “поперечное эффективное сечение” можно пояснить следующим примером. При механическом соударении двух шаров, из которых один покоится внутри единичного кубического объема, а о другом известно лишь то, что он падает нормально на грань этого кубика и имеет размеры незначительные по сравнению с размерами покоящегося шара, вероятность соударения шаров численно равна площади поперечного сечения s покоящегося шара, т.е. σ = s.
    Для взаимодействий, не являющихся механическими (контактными), σ - эффективная площадь, характеризующая вероятность конкретного процесса. Она может быть как больше геометрической площади (например, кулоновское взаимодействие), так и меньше неё (слабое взаимодействие).
    Реальная мишень содержит не одно, а большое число ядер. В этом случае число N частиц, испытавших в единицу времени взаимодействие с ядрами и изменивших траекторию (рассеявшихся), при условии однократного взаимодействия каждой частицы (тонкая мишень) дается формулой

где σ – уже определённое нами эффективное сечение рассеяния частицы ядром; n – число ядер мишени в единице объёма (в см^-3); S – облучаемая площадь мишени (в см²); l – толщина мишени (в см); M – полное число ядер в облучаемой части мишени.
    Понятие σ используют как для характеристики вероятности реакции между частицами a + b → c + d, так и для ядерной реакции A + а → B + b, где А и В – начальное и конечное ядра, а – налетающая на ядро А частица, b – появившаяся в результате реакции частица (например, выбитый из ядра А протон). В этом случае N в выражении (2) – число частиц b, вылетающих в единицу времени из мишени во всех направлениях.

Рис. 2. К понятию “дифференциальное сечение” dσ/dΩ. Случай аксиальной симметрии

    Если рассматривать частицы, вылетающие в направлении, характеризуемом углами и в телесный угол dΩ (θ и φ – полярный и азимутальный углы, а ось z совпадает с направлением движения налетающей частицы), то соотношение (2) записывается в виде

где dN(,φ) – число частиц, вылетевших под углами и внутри d, или

(4)

Величина dσ/dΩ = σ(θ,φ) называется дифференциальным сечением, в отличие от σ – полного сечения:

в случае аксиальной симметрии.
    В случае кулоновского рассеяния частицы с энергией E и зарядом Z₁ на тяжелом точечном рассеивающем центре с зарядом Z₂ дифференциальное сечение рассеяния имеет вид

.

(5)

    Эта формула была использована Резерфордом для описания упругого рассеяния -частиц на ядрах золота и обычно называется формулой Резерфорда.
    Если, помимо углов вылета продуктов реакции, определять их энергию, то можно найти вероятность процесса, в котором какой-то из продуктов реакции летит под углами θ и φ внутри телесного угла dΩ и имеет при этом энергию от E до E+dE. Сечение данного процесса обозначают

и называют дважды дифференциальным. Очевидно, ещё большая детализация наших знаний о реакции требует использования понятий трижды, четырежды и т. д. дифференциальных сечений.
    Единица измерения полного сечения σ – 1 барн:

1 барн = 1 б = 10^-24 см² = 100 Фм²,

что по порядку величины – поперечная площадь атомного ядра.
Дифференциальное эффективное сечение dσ/dΩ измеряют в барн/стерадиан.

 Пример. Вычислить сечение рассеяния α-частицы с кинетической энергией Е = 5 МэВ кулоновским полем ядра ²⁰⁸Pb под углами больше 90°.

Искомое сечение получим интегрированием формулы Резерфорда (5). Имеем

Заменяя переменные: θ  = 2θ', dθ  = 2dθ', получаем

= 18^.10^-24 см² = 18 барн.

Пример. Рассчитать дифференциальное сечение dσ/dΩ упругого рассеяния протонов с энергией 5 МэВ на ядрах золота ¹⁹⁷Au под углом 15°, если известно, что за сеанс облучения мишени толщиной ρ = 7 мг/см² протонами с суммарным зарядом Q = 1 нКл на детектор площадью S = 0.5 см², расположенный на расстоянии l = 30 см от мишени, попало dN = 1.97·10⁵ упруго рассеянных протонов. Сравнить экспериментально измеренное сечение с резерфордовским.
    Дифференциальное сечение реакции a + A →  B + b можно представить в виде

где ν - количество частиц мишени на единицу площади, N - количество попавших на мишень частиц a,
dN/dΩ - количество частиц, продуктов данной реакции b, вылетевших в элемент телесного угла dΩ в направлении, характеризуемом полярным и азимутальным углами. Имеем

dΩ = S/l², N = Q/e_p, ν = N_A/M,

где e_p - заряд протона, N_A - число Авогадро и M - молярная масса ядра ¹⁹⁷Au. Таким образом, для дифференциального сечения получаем

= 2.65^.10³ б/ср.

Дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния по формуле Резерфорда для протонов с кинетической энергией Е = 3 МэВ:

= 3.1.103 б/ср.

Полученная величина близка к экспериментально измеренному сечению.
    На рис. 3 показаны характерные величины сечений для различных энергий и типов взаимодействующих частиц.

Рис. 3. Характерные величины сечений в физике ядра и частиц. 1 барн = 10^-24 см², 1 мбарн = 10^-27 см².

    Величина сечения реакции зависит от типа и энергии частиц, а также характера их взаимодействия:

1. Сечения упругого рассеяния нейтронов с энергией ≈ 10 МэВ на атомных ядрах: σ(n,n) ≈ 0.1 барн. Реакция происходит в результате сильного взаимодействия между нейтроном и ядром
2. Сечения радиационного захвата тепловых нейтронов (E_n ≈ 10^-2 эВ) с атомными ядрами вблизи энергии возбужденного состояния ядра: σ(n,γ) ≈ 10⁶ барн. Эта реакция также происходит в результате сильного взаимодействия. Из сравнения нейтронного сечения, приведенного в этом пункте, с нейтронным сечением, приведенным в предыдущем пункте, видно, как сильно сечение зависит от энергии и механизма реакции.
3. Сечения фотоядерных реакций на атомных ядрах в области гигантского дипольного резонанса (10 МэВ): σ(γ,n) ≈ 10^-3 барн. Реакция происходит в результате электромагнитного взаимодействия.
4. Сечение реакции слабого взаимодействия под действием реакторных нейтрино (E_ν ≈ 1 МэВ):
   σ(ν + n → e^- + p) ≈ 10^-20 барн = 10^-44 см².

Пример. Оценить увеличение эффективного сечения захвата нейтронов ядрами при уменьшении кинетической энергии нейтронов от Е₁ = 0.1 МэВ до энергий теплового движения E₂ ≈ 2.5^.10^-2 эВ.

    Приближенно, если не происходит резонансного захвата нейтронов ядрами, эффективное сечение захвата нейтронов обратно пропорционально скорости v нейтронов. Поскольку при кинетической энергии 0.1 МэВ нейтрон является нерелятивистской частицей (его энергия покоя 939.57 МэВ >> кинетической энергии E), уменьшение кинетической энергии нейтрона в 0.1 МэВ/2.5^.10^-2 эВ = 4^.10⁶ раз соответствует уменьшению скорости нейтрона

Таким образом, замедление нейтронов от 0.1 МэВ до энергий теплового движения приводит к увеличению эффективного сечения захвата нейтронов в 2000 раз.

[Эксперимент]