Релятивистская кинематика и законы сохранения

Для того чтобы получить представление о том, как работает релятивистская кинематика, получим релятивистскую формулу для величины порога в реакции взаимопревращения элементарных частиц, т. е. для минимальной кинетической энергии, необходимой для того, чтобы реакция, идущая с поглощением энергии, могла произойти. Заметим, что поскольку в этом параграфе мы будем использовать как понятие полной энергии частицы, так и понятие её кинетической энергии, то буквой Е будем обозначать полную энергию, а буквой T кинетическую энергию.
Пусть частица 1 сталкивается с частицей 2 и в результате реакции между ними образуется n частиц 1', 2', …, n':

1 + 2

1' + 2' + … + n'.

(1)

Массы частиц обозначим m₁, m₂, m'₁, m'₂, ..., m'_n. Закон сохранения энергии в этой реакции, выраженный через массы и кинетические энергии частиц, имеет вид

(T₁ + T₂) + (m₁ + m₂)с² = (T'₁ + T'₂ + _... + T'_n) + (m'₁ + m'₂ + ... + m'_n)с².

Определим энергию реакции Q:

Q = (m₁ + m₂)с² - (m'₁ + m'₂ + ... + m'_n)с².

(2)

Закон сохранения энергии запишем в виде

(T₁ + T₂) = (T'₁ + T'₂ + _... + T'_n) - Q.

При Q > 0 (выделение энергии) реакция возможна при любом значении T₁ + T₂, в том числе и нулевом (в этом случае = Q).
При Q < 0 (поглощение энергии) реакция возможна лишь при T₁+ T₂> -Q = |Q|. Таким образом, в этом случае реакция обладает энергетическим порогом E_пор (минимальным значением T₁+ T₂), ниже которого она невозможна. В соответствии со сказанным

E_пор = (T₁ + T₂)_min = (T'₁ + T'₂ + _... + T'_n)_min - Q.

(3)

Величина порога зависит от системы координат. Она минимальна в системе центра инерции (СЦИ), где

E_пор(СЦИ) = -Q = |Q|.

(4)

Действительно, в СЦИ центр инерции покоится и сумма импульсов частиц (как до, так и после реакции) нулевая,
т.е. '₁ + '₂ + ...+ '_n = 0.
Это выполняется и в частном случае, когда T'₁+ T'₂ + _...+ T'_n= 0, т. е. когда T'₁= T'₂ = _...= T'_n= 0. Именно в этом случае, когда образовавшиеся частицы покоятся друг относительно друга, порог минимален. Во всех других системах координат порог неизбежно больше |Q|, так как в этих системах центр инерции движется, и за счет этого сумма кинетических энергий конечных частиц уже не может быть нулевой.
Получим пороговую энергию в лабораторной системе координат (ЛСК). В ЛСК в реакции (1) частица 1 движется, т. е. является снарядом, а частица 2 покоится, т. е. выполняет роль мишени. Запишем законы сохранения импульса и энергии в реакции (1):

₁ =

'₁ +

'₂ + ...+

'_n,
E₁ = E'₁ + E'₂ + _... + E'_n.

(5)

где полные энергии E, связаны с соответствующими импульсами релятивистскими соотношениями E = (p²c²+ m²c⁴)^1/2.
В теории относительности величина

(6)

является релятивистским инвариантом, т. е. одинакова во всех инерциальных системах координат. Суммирование здесь происходит по числу частиц в фиксированный момент времени, начальный или конечный. Поскольку эта величина составлена из интегралов движения, то она и сама является интегралом движения. Теперь воспользуемся тем, что «на пороге» все частицы в конечном состоянии в СЦИ покоятся относительно друг друга, и вычислим приведенный выше инвариант в начальном состоянии в лабораторной системе, а в конечном состоянии - в системе центра инерции. В результате получим

(E₁ + m₂с²)² -

с² = (m'₁ + m'₂ + ... + m'_n)²с⁴.

(7)

Теперь выразим импульс первой частицы через ее полную энергию

(8)

и перейдем от полной энергии к кинетической

T₁ = E₁ - m₁с².

(9)

Подставим (9) в (8) и (7) и учтем, что вошедшая в левую часть соотношения (7) величина отвечает порогу в ЛСК, т. е. она является минимально возможной кинетической энергией в этой системе (T₁)_min, а значит это пороговая энергия E_пор в ЛСК. Нетрудно получить окончательную формулу для пороговой кинетической энергии налетающей частицы в ЛСК:

(10)

С учетом (2) выражение (10) можно представить в виде

(11)

Посмотрим теперь, как меняется соотношение между E_пор и Q при переходе от нерелятивистских скоростей к релятивистским. В нерелятивистских реакциях энергия Q значительно меньше масс каждой из частиц, участвующих в реакции. Поэтому в скобке в правой части (11) можно пренебречь последним слагаемым. В результате получим, что нерелятивистский порог пропорционален энергии реакции Q и почти равен ей, если масса налетающей частицы намного меньше массы мишени. В релятивистском случае энергия Q не мала, так что зависимость E_пор от Q из линейной переходит в квадратичную. Этот существенно релятивистский эффект резко снижает эффективность ультрарелятивистских ускорителей с неподвижной мишенью. Поэтому в физике высоких энергий широко используются коллайдеры – ускорители на встречных пучках.

Пример. Рассчитать порог рождения пары нейтрон-антинейтрон при столкновении двух протонов:

р + р р + р + n + .

В этом случае масса каждой частицы равна массе нуклона (m_N0.94 ГэВ).

Q = 2m_pc² – 2(m_p + m_n)c² 2m_Nc² = -1.88 ГэВ,

Уже здесь порог в три раза превышает энергию реакции.

Пример. Рассчитать порог рождения N нейтрон-антинейтронных пар в столкновении протон-протон:

р + р р + р + Nn + N .

Энергия реакции (формула (2)): Q = -2Nm_n. Далее используя формулу (11), получим:

E_пор = 2N(2 + N)m_nc².

Отсюда видно, что, например, при N = 8 порог реакции E_пор= -10Q, так что 90% энергии налетающей частицы будет тратиться на движение центра масс.
Из этих двух примеров видно насколько неэффективно расходуется энергия ускоренной частицы в ускорителе с неподвижной мишенью. Кинематика опыта в ускорителе с неподвижной мишенью отвечает лабораторной системе. В то же время, если эксперимент по столкновению двух частиц осуществить в кинематике системы их центра инерции, то он останется неподвижным при любых энергиях столкновения и вся энергия целиком «вложится» в реакцию. Кинематика столкновения в системе центра инерции реализуется в ускорителях на встречных пучках (коллайдерах). В таких установках имеется два пучка ускоренных частиц, которые в определенной точке сталкиваются для осуществления реакции. Полезно уметь сравнивать возможности этих обоих типов ускорителей с точки зрения эффективности использования энергии ускоренных частиц непосредственно для осуществления реакции. Для этого используют понятие эквивалентных ускорителей.
Ускорители с неподвижной мишенью и на встречных пучках считают эквивалентными, если (помимо одних и тех же сталкивающихся частиц), они имеют одинаковые полезные энергии, затрачиваемые непосредственно на реакцию. Получим формулу, связывающую кинетические энергии частиц в эквивалентных ускорителях. Вначале рассмотрим случай столкновения одинаковых частиц массы т (например, сравним столкновение двух ускоренных протонов в коллайдере со столкновением ускоренного протона с покоящимся протоном в ускорителе с неподвижной мишенью).
Пусть кинетические энергии частиц в эквивалентных ускорителях таковы, что в реакцию вкладывается минимальная энергия, необходимая для рождения частицы с массой М. Таким образом, речь идет о пороговой энергии появления такой частицы. Эти энергии в СЦИ (коллайдер) и в ЛСК (ускоритель с неподвижной мишенью) таковы (формулы (4) и (11)):

E_пор(СЦИ) = Mc².	(12а)
	(12б)

В то же время величина E_пор(СЦИ) = Мс² - это просто удвоенная кинетическая энергии сталкивающихся частиц, т. е. 2Т' (Т' - кинетическая энергия частицы в коллайдере), а E_пор(ЛСК) - это кинетическая энергия Т частицы-снаряда в ускорителе с неподвижной мишенью. Таким образом, получаем

или

(13)

Это и есть искомая формула, связывающая кинетические энергии Т и Т' частиц в эквивалентных ускорителях с неподвижной мишенью и на встречных пучках. В ультрарелятивистском случае (Т' >> mс²)

(14)

Пример. В ускорителе Tevatron (Fermilab, США) сталкиваются встречные пучки протонов и антипротонов с кинетическими энергиями Т' = 1 ТэВ (1 ТэВ = 1000 ГэВ). Какой должна быть соответствующая кинетическая энергия Т антипротона в ускорителе с неподвижной мишенью?

Используем ультрарелятивистскую формулу (14):

Т 2.13^.10⁶ ГэВ = 2.13^.10³ ТэВ.

Таким образом, энергия антипротонов в ускорителе с неподвижной мишенью должна более чем на три порядка превышать их энергию в ускорителе на встречных пучках. Только тогда оба ускорителя станут эквивалентными в смысле энергетической достижимости различных реакций.
Рассмотрим теперь ускоритель на встречных пучках, в котором сталкиваются частицы T₁ и T₂, имеющие разные кинетические энергии и разную массу. Найдем максимальную массу М частицы, которая может быть рождена на таком ускорителе. Запишем законы сохранения энергии и импульса:

T₁ + T₂ = Мс² + T_M,
₁ + ₂ = _M,

где T_M и _M - кинетическая энергия и импульс рожденной частицы. Учитывая, что

Мс² + T_M = [(p_Mc)² + M²c⁴]^1/2

и в ультрарелятивистском случае

|₁ + ₂| = |T₁ - T₂|/c = p_M,

получаем

(T₁ + T₂)² = (p_Mc)² + M²c⁴.

Откуда

Мс² =

(15)

Пример. В ускорителе HERA (DESY, Германия) сталкиваются электроны с кинетической энергией 30 ГэВ и протоны с кинетической энергией 920 ГэВ. Какова наибольшая масса частицы, которую можно генерировать на таком ускорителе?

Используем формулу (15):

Мс² = = 2(30.920)^1/2 ГэВ = 332 ГэВ.

[Эксперимент]