Cтатистика в микромире

    Из-за статистического характера квантовых процессов микромира наблюдения в ядерной физике и физике частиц всегда носят статистический характер. Зарегистрировав один распад нестабильной частицы, мы ничего не узнаем о том, какое время проживет другая такая же частица. И только в результате наблюдения 10000 распадов, мы определим среднее время жизни таких частиц с точностью примерно 1%. Продемонстрируем принципы статистического анализа явлений микромира на примере закона радиоактивного распада.
    Если в радиоактивном образце (или ансамбле нестабильных частиц) в момент времени t имеется N радиоактивных ядер (частиц), то количество dN ядер (частиц), распавшихся за время dt определяется соотношением

где - вероятность распада ядра в единицу времени. Интегрируя выражение (1), получаем закон радиоактивного распада

где N₀ - количество радиоактивных ядер в момент времени t = 0.
    Для характеристики скорости распада радиоактивных ядер обычно в литературе используют понятие периода полураспада Т_1/2 - время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается вдвое. Для периода полураспада имеем

Т1/2 = ln 2/λ0.693/λ = 0.693,

(3)

где = 1/ - среднее время жизни радиоактивного ядра или нестабильной частицы.
    Для измерения периода полураспада с заданной точностью важно знать, как велики статистические отклонения от закона (2) радиоактивного распада. Получим количественные значения этих отклонений, исходя из формулы (2). Согласно (2) для одной частицы вероятность w₀ не распасться за время t определяется соотношением

w₀(t) = e^-λt,

а вероятность распада равна

w₁(t) = 1 - e^-λt.

Для двух частиц, воспользовавшись независимостью их распадов, найдем, что вероятности наблюдать за время t нуль, один и два распада равны ответственно:

w₀(t) = e^-λt · e^-λt = e^-2λt,
w₁(t) = 2e^-λt(1 - e^-λt),
w₂(t) = (1 - e^-λt)².

Для пояснения укажем, что, например, для получения вероятности w₁ надо сначала умножить вероятность e^-λt того, что первая частица не распалась, на вероятность 1 - e^-λt того, что вторая частица при этом распадается, а затем полученный результат удвоить, так как возможна ситуация, в которой частицы могут поменяться ролями.

Аналогично для N частиц получим

w₀ = e^-Nλt,
w₁(t) = Ne^-(N-1)λt(1 - ), ...,
w_n(t) = (1 - e^-λt)ⁿ.

    При практических измерениях, как правило, с высокой точностью справедливы приближения n << N (число регистрируемых частиц несравненно меньше полного числа радиоактивных ядер) и t << N (время измерения мало по сравнению с периодом полураспада). Первое из этих неравенств позволяет в выражении для w_n заменить N! на Nⁿ(N - n)!, после чего с помощью второго неравенства получим:

w_n (- 1)ⁿ(t)ⁿ,

т. е.

wn

(4)

В теории вероятностей соотношение (8) называется распределением Пуассона.
    При Nt >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение (распределение Гаусса):

.

(5)

    Распределение Пуассона (как и распределение Гаусса) имеет максимум при определенном (наиболее вероятном) значении n, которое мы обозначим n' . Если вычислить среднее значение , даваемое распределением Пуассона, то оно всегда будет несколько больше n' ( > n'). Это распределение несимметрично и им следует пользоваться в тех случаях, когда невелико.
    Распределением Гаусса можно пользоваться как удобным приближением к распределению Пуассона при больших . Для распределения Гаусса n' и оно является симметричным относительно среднего (и наиболее вероятного) n. В распределении Гаусса n можно считать непрерывной переменной.
    Можно убедиться, что сумма вероятностей, даваемых каждым из распределений (4) и (5), равна единице:

, .

Зная выражение для вероятности w_n(t)того, что за время t распадется n частиц, мы можем вычислять средние (t) от любых зависящих от числа частиц величин по обычной формуле для среднего:

.

(6)

Пример. Вычислить среднее число ядер (t), распавшихся за время t.

Используем (6), где А_nn:

.

(7)

Таким образом, в выражениях (8) и (9) для распределений Пуассона и Гаусса можно Nt заменить на и переписать их в более компактном виде

,         .

(8)

    Из (7) видно, что средняя активность A (т. е. число распадов в единицу времени) образца, содержащего N радиоактивных ядер, определяется формулой:

A = /t = N.

(9)

Независимость активности от времени (напомним, что здесь N - начальное число распадающихся ядер) связана с принятым выше приближением t << 1, согласно которому время измерения мало по сравнению с периодом полураспада.
    Для характеристики статистических отклонений от средних значений используют дисперсию D, определяемую формулой:

.

10

Из (11) для ² имеем

² = (Nt)².

Пример. Вычислить среднее значение величины n², т. е. ².

По аналогии с (7) с учётом того, что Nt , имеем

(11)

    С учетом (11) для дисперсии получается следующее простое выражение:

D = .

(12)

Квадратный корень из дисперсии называют среднеквадратичным или стандартным отклонением:

= =

(13)

Результат измерения обычно представляют в виде

Результат = + = + .

(14)

    Стандартное отклонение, деленное на среднее число частиц, называется относительной ошибкой :

= / = 1/ = 1/

(15)

Относительная ошибка в процентах непосредственно определяет статистическую точность измерений. Из (14) видно, что точность измерения довольно медленно растёт с увеличением длительности измерения и числа ядер в образце. Так, для увеличения точности в 100 раз приходится увеличивать в 10000 раз либо время измерения, либо количество радиоактивного препарата.
    Если известно среднеквадратичное отклонение , то можно указать вероятность (она называется доверительной), с которой в результате отдельного измерения в рамках той же экспериментальной методики будет получено значение, отклоняющееся от среднего не более, чем на ± . Для нормального распределения (распределения Гаусса) эта вероятность 0.68. Вероятность оказаться результату отдельного измерения отстоящим от среднего на ± 2 для нормального распределения равна 0.95.
    Отметим следующую связь между среднеквадратичным отклонением и шириной n на половине высоты распределения Гаусса:

n = 2.35

(16)

    Формулы (12) - (14) позволяют оценить статистическую точность случайного процесса по единственному измерению.

Пример. В результате единственного измерения числа актов радиоактивного распада получено значение 1000. Оценить точность этого значения.

Поскольку наиболее вероятным результатом измерения является его среднее значение, то примем полученное значение за это среднее: 1000. Тогда, используя (13) и (15), имеем

=32, =1/0.03.

Таким образом, относительная точность оценки числа актов распада около 3%. Результат измерения можно представить в виде

Результат измерения = 1000 ± 32.

[Эксперимент]