Глава 4. Электронно-фотонные каскады4.1. Сечения процессов при высоких энергиях В предыдущих главах были рассмотрены все основные процессы, действующие при электромагнитных взаимодействиях заряженных частиц и фотонов с веществом. При высоких энергиях частиц (при Е > ε и Е >Еп экр) основными процессами являются:
а полная вероятность процесса, т.е. вероятность создания на 1 см. пути любого фотона с энергией в интервале от 0 до Е будет
Поскольку |-dE/dt|рад = Е, (В дальнейшем толщина вещества будет измеряться в радиационных единицах, т.е. t = x/t0. Поэтому формула приобретает указанный вид) то "средний" электрон на одной радиационной единице вещества теряет всю свою энергию, причем теряет ее равномерно по Е'/Е, т.е. поровну в каждый энергетический интервал вторичных фотонов. Например, на каждый фотон с энергией 100 МэВ приходится в среднем 10 фотонов с энергией по 10 МэВ. Таким образом, после прохождения высокоэнергичным электроном одной радиационной единицы возникает с большой вероятностью фотон с энергией, сравнимой с энергией первичного электрона. Вероятность создания фотоном энергии Е' электрона с энергией Е и позитрона с энергией (Е' − Е ) на 1 см пути во всех веществах описывается выражением:
а полная вероятность этого процесса равна
Таким образом, в результате рождения пар каждый "средний" фотон
"живет" около Таблица 4.1. Сравнение ε и Еп экр
Например, для воздуха ε > Еп экр, а для свинца ε < Еп экр. Предельные выражения для тормозного излучения и процесса образования пар можно использовать при выполнении обоих этих условий. Поскольку в легких веществах (воздухе, углероде) ε > Еп экр, то при энергиях частиц Еп экр <Е < ε нужно учитывать ещё ионизационные потери электронов. В тяжелых веществах Еп экр > ε, и поэтому при энергиях частиц Е < Еп экр необходимо учитывать и другие процессы взаимодействия фотонов с веществом (комптоновское рассеяние и фотоэффект). 4.2. Рассеяние электронов Кроме энергетической проблемы взаимодействия электронов и фотонов с веществом существует еще и геометрическая проблема, возникающая из-за рассеяния частиц при взаимодействиях. В каждом акте тормозного излучения, рождения пары или рассеяния при столкновении с электронами и ядрами атомов среды частицы отклоняются от своего первоначального направления. <θп> = <θТ> = mec2/E. При прохождении электроном слоя вещества акты кулоновского рассеяния на ядрах происходят многократно. В результате на пути t возникает некоторый средний угол многократного рассеяния
где Es = 21 МэВ. И тот, и другой угол зависят от энергии частицы одинаково (~1/Е). Однако по величине они могут сильно различаться. Сравним их величины на пути в одну радиационную единицу (t = 1t0):
Из этого отношения видно, что угол многократного рассеяния значительно больше углов, возникающих в актах тормозного излучения и при рождении пар. Например, в свинце электрон с энергией 15 МэВ при прохождении 1 t0-единицы пути (~0.5 см) рассеивается за счет многократного кулоновского взаимодействия с ядрами в среднем на угол ~1 радиана:
4.3. Электронно-фотонные каскады Электронно-фотонные ливни возникают в результате большого числа отдельных взаимодействий при попадании в вещество электрона или фотона большой энергии. Проследим цепь процессов, порождающих лавину частиц. Пусть на вещество падает, например, электрон большой энергии
Следовательно, на глубине вещества в несколько t0-единиц будет существовать много электронов и фотонов, т.е. возникает электронно-фотонная лавина. Энергия первичного электрона распределяется между вторичными частицами. По мере увеличения числа лавинных частиц энергия их уменьшается и, наконец, достигает критической энергии ε. После этого энергия в основном поглощается за счет ионизационных потерь и лавина постепенно затухает. r = t0·<θр> = 0.7·(t0Es/ε) = 0.7rМ, где rМ = t0Es/ε. Величина rМ называется
мольеровской единицей длины и, по сути, является среднеквадратичным радиусом ливня гм не зависит от энергии первичной частицы, а зависит только от свойств вещества. Поэтому, если расстояние от оси ливни выражать в мольеровских единицах длины, то развитие электронно-фотонного каскада в поперечном направлении перестает зависеть от свойств вещества. Для свинца, например,
rм ~ 1.6 см, а г ~ 1.1 см., т.е. около 2 t0-единиц. |
4.4. Каскадная теория в приближении АРассмотрим сначала простейший вариант теории и определим среднее число частиц в лавине на различных глубинах t ее развития. Пренебрежем всеми процессами взаимодействия, кроме тормозного излучения электронами и рождения пар фотонами (приближение А.). Что кроется за этими условиями?
Пусть P(E,t)dE − среднее число электронов с энергией в интервале (E, E+dE) на глубине t, a
2. В результате образования пар уменьшается число фотонов в энергетическом интервале
3. В результате тормозного излучения на пути dt уменьшается число электронов в интервале
4. В результате тормозного излучения электронов с энергией Е' >Е, часть из них перейдет в интервал энергий (Е, Е+dE}:
5. Изменение числа фотонов в интервале (Е, Е+dE] из-за тормозного излучения электронов энергии Е' > Е будет:
Таким образом, кинетические уравнения каскадной теории можно записать следующим образом:
Полученные интегродифференциальные уравнения являются основными уравнениями каскадной теории в области больших энергий. Они линейны относительно функций P и Г и однородны относительно Е и Е'. Эти свойства уравнений позволяют применить для их решения метод функциональных преобразований Лапласа-Меллина. Для этого перейдем от переменной Е к новой переменной s с помощью соотношений:
Умножив полученные нами кинетические уравнения на Es и проинтегрировав их по Е от 0 до ∞, получим вместо них другую систему уравнений:
= -A(s)·P(s,t) +
B(s)·Г(s,t), где
Зависимости A(s), B(s) и C(s) приведены в монографии С.З. Беленького. P(s,t) = а1exp(λ1t) + a2exp(λ2t), причем коэффициенты а1, а2, b1 и b2 являются функциями s, a λ1(s) и λ2(s) − корнями квадратного уравнения λ2 + λ[A(s) + σ0] + A(s)σ0 − B(s)·C(s) = 0; Коэффициенты a1(s), a2(s), b1(s) и b2(s) связаны между собой соотношениями
Далее надо сформулировать граничные условия Р(0,Е) и Г(0,Е) и подобрать коэффициенты a1(s)
и a2(s) так, чтобы эти граничные условия были удовлетворены. В этом случае
Переходя затем обратно от параметра s к Е получаем искомые функции P(E,t) и
Г(E,t).
Для частного случая граничных условий, когда при t = 0 имеется один электрон энергии Е0, не сопровождаемый фотонами, число электронов на глубине t с энергией >Е определяется следующим выражением, которое обычно записывается в параметрической форме
Значения параметров
табулированы для разных s в и представлены на рисунке 4.1. (s)·t + ln(E0/E) = 0, которое устанавливает связь между глубиной развития лавины t и энергией Е вторичных лавинных частиц. Функция (s) < 0 и возрастает с увеличением параметра s (рис. 4.1).
Исследование функции-решения N(> E,E0,t) показывает, что:
(1)·tmax +
ln (E0/E) = 0,
N(≥ E,E0,t) ~ (E0/E)s ~ E-s. До максимума, при s < 1, лавина находится в начале своего развития (λ1 > 0), число частиц в ней увеличивается с глубиной, в ней еще много электронов большой энергии - энергетический спектр вторичных электронов "жесткий", "пологий". За максимумом, при s > 1, лавина затухает
(λ1 < 0), спектр становится более "мягкий", более крутой, средняя энергия электронов меньше, чем в максимуме развития каскада. exp (λ1(1.8)t) = e-0.47t. Для ряда экспериментальных задач нужно знать распределение по энергиям электронов всей лавины, т.е.
Если Е0 >> Е, то P(>E,E0) ~ Е-1 т.е. совпадает с видом энергетического спектра частиц в максимуме лавины. Поскольку этот спектр получается в результате усреднения спектра лавинных частиц по глубине, то полученный спектр обычно называют равновесным спектром. 4.5. Каскадная теория в приближении Б Приведенные ранее рассуждения относились к случаю, когда энергия лавинных частиц Е > ε в легких веществах и Е >Еп экр − в тяжелых. Однако при экспериментальном наблюдении лавины (например, с помощью ионизационных калориметров) регистрируются все частицы, способные создавать ионизацию в детекторе, т.е. практически заряженные частицы любых энергий. Поэтому следующее приближение каскадной теории (приближение Б) должно учитывать ионизационные потери электронов лавины, комптоновское рассеяние фотонов и уменьшение сечения образования ими электронно-позитронных пар с уменьшением энергии.
т.к. на пути dt на ионизацию вещества расходуется энергия dE = εdt.
В тяжелых (рис.4.26) веществах необходимо учитывать сложную зависимость сечения взаимодействия фотонов от их энергии. Это обстоятельство приводит к тому, что приходится решать каскадные уравнения для легких и тяжелых веществ отдельно. Добавление этих членов в полученные ранее уравнения сразу же существенно усложняет задачу. Для решения этих уравнений разработаны специальные методы: метод моментов, метод статистических испытаний и др. Несмотря на возросшую сложность уравнений, решение их приводит к выводу, что общая качественная картина развития каскада в веществе остается прежней: зависимость числа частиц от глубины t также, как и в приближении А, описывается функцией с максимумом. Однако количественные изменения довольно существенны. tmax = ln(E0/ε), Nmax(≥0,E0,tmax) = 0.3/ln(E0/ε)·(E0/ε). Появление в этих выражениях 8 вместо Е понятно, т.к. частицы с энергией
Е < ε не участвуют в дальнейшем развитии каскада, быстро поглощаясь из-за ионизационных потерь. tmax = k2ln(E0/ε), Nmax = k1/ln (E0/ε)·(E0/ε), где параметры k1 и k2 зависят от начальной энергии Ео (таблица 4.2). Таким образом, число частиц в максимуме каскада в тяжелых веществах меньше, а глубина максимума больше, чем в легких веществах, т.е. электронно-фотонная лавина глубже проникает в тяжелые вещества. Таблица 4.2. Зависимость параметров k1 и k2 от Е0
Это происходит из-за того, что в тяжелых веществах энергия полного экранирования существенно меньше, чем в легких веществах. Поэтому суммарный коэффициент поглощения фотонов с энергиями, близкими к ε, в тяжелых веществах существенно меньше, чем для фотонов больших энергий. Следовательно, фотоны таких энергий (~ ε) в тяжелых веществах являются более проникающими, т.к. поглощаются слабее. Фотоны проносят энергию вглубь и затягивают лавину. Кроме того, отношение числа фотонов к числу электронов лавины в тяжелых веществах существенно больше, чем в легких веществах. На рис. 4.3 приведены каскадные кривые в свинце для числа электронов N(> 0,E0,t) в ливне, вызванном первичным электроном энергии Е0.
Эта часть каскадных кривых может быть аппроксимирована экспонентой е-0.3t, т.е. на пути в 3.3 каскадных единицы число ливневых частиц уменьшается в е раз.
где Nполн − полное число частиц в лавине (площадь под каскадной кривой) определяется величиной Е0/ε. 4.6. Осевое приближение каскадной теорииКак уже ранее обсуждалось, расстояние r, на которое отходит электрон от оси ливня в поперечном направлении, определяется в основном многократным кулоновским рассеянием электронов каскада на пути в 1 t0-единицу. При этом величина угла рассеяния обратно пропорциональна энергии этих электронов: <θp> = 0.7(Es/E)(t/t0)1/2. Следовательно, более энергичные частицы каскада испытывают меньшее кулоновское рассеяние и, вследствие этого, располагаются ближе к оси ливня, т.к. r = t0 tg<θp> ~· t0<θp>. Если рассматривать лавинные частицы в круге малого радиуса r << t0, то мы будем иметь дело с частицами очень больших энергий: r/t0 = <θp> ≈ Es/E. Например, в круге радиуса r = 100 мкм находятся лавинные частицы с энергией Е > 1 ГэВ. Поскольку эта энергия много больше Еп
экр и ε, то можно ограничиться приближением А каскадной теории и не учитывать ионизационные потери лавинных электронов. N(≥E,E0,t) = ƒ(E0r/E,t).
Таким образом, число частиц в круге радиуса r на глубине каскада t не зависит от энергии этих частиц Е, а зависит от произведения Е0r. Это заключение очень важно, т.к., определяя число частиц в круге радиуса
r на глубине каскада t, можно сразу же найти первичную энергию E0 частицы, вызвавшей этот каскад. Этот метод исследования получил название "метода осевого приближения".
|
4.7. Эффект Ландау - Померанчука - Мигдала (ЛПМ) При высоких энергиях электронов и фотонов (>>ε, Еп
экр) основными процессами электромагнитного взаимодействия являются
процессы радиационного торможения электронов и образование
электронно-позитронных пар фотонами. Формулы для вероятностей тормозного
излучения и рождения пар на 1 см пути в любом веществе в теории Бете-Гайтлера
имеют довольно простой вид : wT(E,E')dE' = (l/t0)
dE'/E', wП(E',E) dE = (7/9t0) dE/E'.
Поясним сказанное на примере учета влияния многократного
рассеяния на результат тормозного излучения электрона (рис.4.5). τ = ћ/mec2 · (Е − Е')/Е' · Е/mec2. За это время электрон проходит расстояние L = τ·c = ћ/mec · (Е − Е')/Е' · Е/mec2 = 0 · (Е − Е')/Е' · Е/mec2. где 0
− комптоновская длина волны электрона,
0
= 3.87 10-11 см. L − расстояние, на котором формируется фотон,
называется эффективным расстоянием взаимодействия или длинной когерентности*. 0.7Еs/E · (L/t0)1/2 ≥ mec2/E. Из этого соотношения получаем величины: L/t0 >(mec2/0.7Es), Для свинца, например, t0 = 0.56 см и E ~ 9·1012 эВ. Таким образом , уже при энергии электронов Е > 10 ТэВ нельзя пренебрегать многократным рассеянием в свинце. К чему это приведет? На пути электрона ~ L будет происходить многократное рассеяние, т.е. энергия электрона будет уменьшаться. Уменьшение энергии электронов приводит к уменьшению ими потерь энергии на тормозное излучение, поскольку (dE/dt)T ~ E, и к изменению энергетического спектра тормозных фотонов − он становится обедненным фотонами низких энергий (рис.4.6).
Кроме того, электрон, меньше теряя энергии на тормозное излучение, приобретает свойства более проникающей частицы. Все это приводит к изменению формы каскадной кривой (рис. 4.7). l Рис.4.7. Сравнение каскадных кривых в свинце от первичного электрона с энергией Е0 = 10 эВ (а) и 10 эВ (б), полученных с учётом (сплошные кривые) и без учёта (штриховые) эффекта ЛПМ. Энергия лавинных электронов: 1 − Е =106 эВ, 2 − 108 эВ, 3 − 1010 эВ Вопросы и задачи к главе 4
ЛИТЕРАТУРА
* Поля, созданные частицей при прохождении близких точек траектории на пути L, мало отличаются друг от друга и поэтому складываются когерентно.
|