Глава 1 Введение Кинематические события в физике элементарных частиц и ядер
происходят в четырехмерном импульсном пространстве. Оно является достаточно
организованным множеством, имеющим вполне определенные геометрические свойства.
Положение каждой точки в этом пространстве может быть охарактеризовано
четырехмерным радиус-вектором
, проведенным в
нее из начала системы координат; координаты конца этого вектора и есть
координаты точки.
Для реальных частиц, которые могут быть зарегистрированы
детектором, полная энергия всегда положительна, а условие (1.1) всегда
выполняется. Таким образом, состояния реальной частицы с массой т в импульсном
пространстве заполняют гиперповерхность, выделенную двумя условиями:
2 = m2
и Е ≥ m.
где i
есть 4-импульс i-й частицы начального состояния, п есть число частиц в начальном
состоянии, N − число частиц после взаимодействия (оно не обязательно равно n),
j (i) −
4-импульс отдельной частицы соответствующего состояния. * * * Согласно специальной теории относительности, законы
природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В применении к
кинематике это означает, что для описания кинематических событий необходимо,
во-первых, знать законы преобразования компонент 4-импульса при переходе от
одной системы отсчета к другой, и во-вторых, необходимо стремиться к описанию
этих событий в терминах таких переменных, которые не изменяются при переходе от
одной системы отсчета к другой (такие переменные называются лоренц-инвариантными;
при обсуждении вопросов кинематики их часто называют просто "инварианты"). = (A0)2 − (A1)2 − (A2)2 − (A3)2. В зависимости от знака величины
2
множество 4-векторов расщепляется на 3 класса: при
2 > 0
они принадлежат классу времени-подобных 4-векторов, класс 4-векторов с
2 < 0
называется пространственно-подобным, а 4-векторы, для которых
2 = 0,
составляют класс изотропных 4-векторов. Эта классификация релятивистски
инвариантна. Свободно движущиеся частицы с ненулевой массой имеют времени-подобный вектор 4-импульса, а частицы с нулевой массой - изотропный.
Обсуждая кинематику физических процессов, экспериментатор имеет дело, как
правило, с реальными частицами, поэтому соответствующие 4-импульсы физических
реальных частиц времени-подобны или изотропны (если масса частицы нулевая,
как у фотона). Для виртуальных частиц их 4-импульс может принадлежать любому из
классов.
и записать их как Aµ, то величину 2 можно переписать в форме 2 = AµAµ = A0A0 + A1A1 + A2A2 + A3A3, что принято записывать просто как AµAµ, опуская знак
суммирования, но подразумевая, что по совпадающим индексам, встречающимся и
вверху, и внизу, производится суммирование. Скалярное произведение двух 4-векторов и определяется как
Можно легко убедиться непосредственным вычислением, что величина (·)
действительно инвариантна относительно преобразований Лоренца, т. е. является
скаляром в пространстве определенных здесь 4-векторов.
С его помощью можно, например, переводить контравариантные 4-векторы в ковариантные и наоборот:
(Здесь использовано данное выше соглашение о суммировании повторяющихся индексов.) Скалярное произведение двух 4-векторов с помощью этого тензора записывается очень просто:
Почему тензор gµν называется "метрическим",
любопытствующий читатель может узнать из литературы, например, из книги [5]. * * *
Итак, компоненты 4-вектора
= (E, p)
при переходе от одной системы отсчета к другой испытывают преобразования Лоренца.
Настала пора их напомнить.
где и − компоненты соответствующих импульсов, параллельные вектору скорости (3 (вдоль которой направлены, например, оси Z и Z' систем координат обеих систем отсчета), и − компоненты этих импульсов, перпендикулярные вектору скорости β (вдоль этого перпендикуляра направлены, например, оси X и X' принятых нами систем координат), а величины γ и Γ есть
Здесь для произведения γβ использовано удачное обозначение Γ из книги Г.И.Копылова [2], благодаря которому преобразование Лоренца (1.8) записывается в легко запоминающейся форме. Если частица в системе отсчета S имеет импульс p и энергию E, то ее система покоя движется относительно S-системы с той же скоростью, что и эта частица, а именно:
Преобразование (1.8) можно записать для любого 4-вектора
В матричной записи это преобразование выглядит следующим образом:
Примечательно, что если ввести 4-вектор = (γ,Г)*, имеющий свойство 2 = γ2 − Г2 = 1, то формулы (1.11) можно переписать в виде
* * * В современной физике частиц характеристики их взаимодействий описываются, как
правило, в терминах лоренц-инвариантных кинематических переменных. О них речь
пойдет позже. Широко употребляются также безразмерные переменные, одной из
которых является быстрота (или относительная быстрота; ранее для нее
использовался термин гиперскорость [2]). Напомним ее определение.
что можно переписать в симметричном виде как
Определим быстроту ξ (или гиперскорость) согласно
после этого нетрудно убедиться, что соотношения (1.15) в терминах быстрот означают, что
Иными словами, при параллельных друг другу преобразованиях Лоренца быстроты
складываются.
Наконец, из соотношений (1.16), (1.18) становится почти очевидным, что рассмотренные здесь преобразования Лоренца фактически есть не что иное, как преобразования вращения в 4-мерном пространстве. Появление гиперболических функций вызвано тем, что это пространство не является евклидовым. Однако более подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки данного курса. * Фактически, 4-вектор
= (γ,Г) есть не что иное, как 4-скорость. Это
понятие будет рассмотрено позже. |