5. Новая физика XX века − теория относительности, квантовая теория

    Открытие электрона, явления радиоактивности, атомного ядра  явилось результатом изучения строения вещества, достигнутым физикой в конце XIX века. Исследования электрических явлений в жидкостях и газах, оптических спектров атомов, рентгеновских лучей, фотоэффекта показали, что вещество имеет сложную структуру. Классическая физика оказалась несостоятельной в объяснении новых экспериментальных фактов. Уменьшение временных и пространствен­ных масштабов, в которых разыгрываются физические явления, привели к «новой физике», столь непохожей на привычную традици­онную классическую физику. Развитие физики в начале XX века привело к полному пересмотру классических представлений. В основе «новой физики» лежат две фундаментальные теории:

• теория относительности
• квантовая теория.

    Теория относительности и квантовая теория являются фундаментом, на котором построено описание явлений микромира.

М. Планк 1858-1947	А. Эйнштейн 1878-1955	А. Комптон 1892-1962	Л. Де Бройль 1892-1987

    Создание А. Эйнштейном в 1905 году теории относительности привело к радикальному пересмотру представлений о свойствах пространства и времени, электромагнитного поля. Стало ясно, что невозможно создание механических моделей для всех физических явлений.
    В основу теории относительности положены две физические концепции.

• Согласно принципу относительности равномерное и прямолинейное движение тел не влияет на происходящие в них процессы
• Существует предельная скорость распространения взаимодействия — скорость света в пустоте. Скорость света является фундаментальной константой современной теории. Существование предельной скорости распространения взаимодействия означает, что существует связь между пространственными и временными интервалами.

    Математической основой специальной теории относительности являются преобразования Лоренца.

Г. Галилей (1564–1642)

Инерциальная система отсчета − система отсчета, покоящаяся или движущаяся равномерно и прямолинейно. Система, отчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно любой инерциальной системы отсчета также является инерциальной.

Принципы относительности Галилея

1. Если законы механики справедливы в одной системе отсчета, то они справедливы и в любой другой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой.
2. Время одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
3. Нет никакого способа обнаружить равномерное прямолинейное движение.

    Постулаты специальной теории относительности

1. Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
2. Скорость света в вакууме равна постоянной величине с независимо от скорости движения источника или приемника.

     Преобразования Лоренца. Координаты материальной точки массы покоя m в инерциальной системе отсчета S определяются как (t,) = (t,x,y,z), а скорость u = ||. Координаты той же точки в другой инерциальной системе отсчета S' (t',x',y',z'), движущейся относительно S с постоянной скоростью , связаны с координатами в системе S преобразованием Лоренца (рис. 1).
    В случае, если координатные оси систем z и z' сонаправлены с вектором  и в начальный момент времени t = t' = 0  начала координат обеих систем совпадали, то преобразования Лоренца даются соотношениями

x' = x;  y = y';  z' = γ(z − βct); ct' = γ(ct − βz),

где β = v/c , v − скорость системы отсчета в единицах с (0 ≤ β ≤ 1), γ − лоренц-фактор.

Рис. 1. Штрихованная система S' движется относительно системы S со скоростью v вдоль оси z.

    Компоненты скорости частицы в системе S' u'_x, u'_y, u'_z  связаны с компонентами скорости в системе S u_x, u_y, u_z  соотношениями

      Обратные преобразования Лоренца получаются взаимной заменой координат r_i ↔ r'_i, u_i ↔ u'_i и заменой v → −v.

x = x'; y = y';   z = γ(z' − βct'); ct = γ(ct' − βz').

    При малых скоростях v преобразования Лоренца совпадают с нерелятивистскими преобразованиями Галилея

x' = x;  y' = y; z' = z − vt'; t = t'.

    Относительность пространственных расстояний (сокращение Лоренца-Фитцджеральда): l' = l/γ.
    Относительность промежутков времени между событиями (релятивистское замедление времени): Δt' = γΔt.
    Относительность одновременности событий. Если в системе S для событий А и В t_A = t_B и
x_A ≠ x_B , то в системе S' t'_A = t'_B + γv/c²(x_B − x_A).

    Полная энергия E и импульс p частицы определяются соотношениями

E = mc2γ,

(1)

где E, р и m − полная энергия, импульс и масса частицы, c = 3·10¹⁰ см·сек^-1 − скорость света в вакууме,
    Полная энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Масса частицы не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Полная энергия E, импульс p и масса m частицы связаны соотношением

    Из соотношений (1) и (2) следует, что если энергия E и импульс p измеряются в двух различных системах движущихся друг относительно друга со скоростью v, то энергия и импульс будут иметь в этих системах различные значения. Однако величина E² − p²c², которая называется релятивистский инвариант, будет в этих системах одинаковой.

    При нагревании твердого тела оно раскаляется и начинает излучать в непрерывной области спектра. Это излучение называется излучением абсолютно черного тела. Было сделано много попыток описать форму спектра абсолютно черного тела, основываясь на законах классической электромагнитной теории. Сравнение экспериментальных данных с расчетами Рэлея-Джинса (рис. 2.) показывает, что они согласуются только в длинноволновой области спектра. Различие в области коротких длин волн было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Рис. 2.  Распределение энергии спектра теплового излучения.
Точками показаны экспериментальные результаты.

    В 1900 г. была опубликована работа М. Планка, посвященная проблеме теплового излучения тел. М. Планк моделировал вещество как совокупность гармонических осцилляторов различной частоты. Предположив, что излучение происходит не непрерывно, а порциями - квантами, он получил формулу для распределения энергии по спектру теплового излучения, которая хорошо согласовывалась с опытными данными

где h − постоянная Планка, k − постоянная Больцмана, T − температура, ν − частота излучения.

h = 6.58·10^-22 МэВ∙сек,
k = 8.62·10^-11 МэВ∙К^–1.

    Часто используется величина ћ = h/2π.

    Так, впервые в физике появилась новая фундаментальная константа − постоянная Планка h. Гипотеза Планка о квантовой природе теплового излучения противоречит основам классической физики и показывает границы ее применимости.
    Через пять лет А. Эйнштейн, обобщив идею М. Планка, показал, что квантованность является общим свойством электромагнитного излучения. Согласно идеям А. Эйнштейна электромагнитное излучение состоит из квантов, названных позднее фотонами. Каждый фотон имеет определенную энергию E и импульс p:

E = hν, 

где λ и ν − длина волны и частота фотона,  − единичный вектор в направлении распространения волны.
    Представления о квантованности электромагнитного излучения позволили объяснить закономерности фотоэффекта, исследованные экспериментально Г. Герцем и А. Столетовым. На основе квантовой теории А. Комптоном в 1922 году было объяснено явление упругого рассеяния электромагнитного излучения на свободных электронах, сопровождающееся увеличением длины волны электромагнитного излучения.

где λ и λ' − длины волн падающего и рассеянного фотонов, m − масса электрона, θ − угол рассеяния фотона, h/mc = 2.4·10^-10 см = 0.024  Å − комптоновская длина волны электрона.

Рис. 3. Эффект Комптона −  упругое рассеяние фотона на электроне.

    Открытие двойственной природы электромагнитного излучения − корпускулярно-волнового дуализма оказало значительное влияние на развитие квантовой физики, объяснение природы материи. В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе не только фотоны, но и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами. Соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц те же, что были установлены ранее для фотонов

λ − длина волны, которую можно сопоставить с частицей. Волновой вектор  ориентирован по направлению движения частицы. Прямыми опытами, подтверждающими идею корпускулярно-волнового дуализма, были опыты, выполненные в 1927 году К. Дэвиссоном и Л. Джермером по дифракции электронов на монокристалле никеля. Позднее наблюдалась дифракция и других микрочастиц. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется в изучении строения и свойств вещества.

В. Гейзенберг (1901–1976)

    Экспериментальное подтверждение идеи корпускулярно-волнового дуализма привело к пересмотру привычных представлений о движении частиц и способа описания частиц. Для классических материальных точек характерно движение по определенным траекториям, так, что их координаты и импульсы в любой момент времени точно известны. Для квантовых частиц это утверждение неприемлемо, так как для квантовой частицы импульс частицы связан с ее длиной волны, а говорить о длине волны в данной точке пространства бессмысленно. Поэтому для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса. Если частица занимает точно определенное положение в пространст­ве, то ее импульс полностью не определен и наоборот, частица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. Неопределенность в значении координаты частицы Δx и неопределенность в значении компоненты импульса частицы Δp_x связаны соотношением неопределенности, установленным В. Гейзенбергом в 1927 году

Δx·Δp_x ≈ ћ.

    Из соотношения неопределенности следует, что в области квантовых явлений неправомерна постановка некоторых вопросов, вполне естественных для классической физики. Так, например, не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории. Необходим принципиально новый подход к описанию физических систем. Не все физические величины, характеризующие систему, могут быть измерены одновременно. В частности, если неопределенность времени жизни некоторого квантового состояния равна Δt, то неопределенность величины энергии этого состояния ΔE не может быть меньше ћ/Δt, т. е.

ΔE·Δt ≈ ћ.

Э. Шредингер (1887–1961)

    К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н. Бора не может дать полного описания свойств атома. В 1925–1926 гг. в работах В. Гейзенберга и Э. Шредингера был разработан общий подход описания квантовых явлений − квантовая теория. Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где ψ(x,y,z,t) − волновая функция,  − оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).
    В нерелятивистском случае

где m − масса частицы,  − оператор импульса, U(x,y,z) − потенциальная энергия частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике. Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер. Вероятностный характер законов является фундаментальным свойством микромира. Квадрат модуля волновой функции, описывающей состояние квантовой системы, вычисленный в некоторой точке, определяет вероятность обнаружить частицу в данной точке.

Классическая физика	Квантовая физика
1. Описание состояния
(x,y,z,px,py,pz)	ψ(x,y,z)
2. Изменение состояния во времени
=H/p,  = -H/t,
3. Измерения
x, y, z, px, py, pz	хpx ~ ћ ypy ~ ћ zpz ~ ћ
4. Детерминизм.	Статистическая теория
Динамическое (не статистическое) описание	|ψ(x,y,z)|2
5. Гамильтониан
H = p2/2m + U(r)	= 2/2m + U(r)