Математика для экономических направлений и специальностей

Приложение 2-П.2.3.

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ "МАТЕМАТИКА"

для экономических направлений и специальностей

Пояснительная записка

    Настоящая программа рассчитана на 800 часов трудоемкости, из которых не менее 400 часов должно быть отведено для аудиторных занятий со студентами.
    Программа предназначена для подготовки бакалавров и специалистов.
    В программе предусмотрены разделы, специально ориентированные на формирование понимания как студентами, изучающими математику, так и выпускающими экономическими кафедрами роли математики в постановке и в решении задач социально-экономического содержания (разделы возможной тематики дисциплин по выбору и приложения). Материал данных разделов может использоваться при формировании прикладной тематики научно-исследовательской работы студентов, для расширения тематики дисциплин по выбору и факультативных дисциплин экономико-математической направленности. Тем же целям служит и последний раздел списка литературы. В него включены не издания типа "математики для экономистов", а профессиональные издания современного экономико-менеджериального содержания, в которых в весьма значительном объеме математический инструментарий применяется при решении предметных социально-экономических задач. Включение в список литературы ряда зарубежных изданий последних лет призвано иллюстрировать уже давно сложившуюся на Западе практику преподавания математики экономистам без особых математических упрощений, с одной стороны, и в неразрывной связи с экономическими моделями, с другой. Можно сказать, что западная практика здесь в большей степени соответствует названию "математика экономики", чем названию "математика для экономистов". Проводя аналогию с дифференциальным и интегральным исчислением как "математикой физики" и оглядываясь на пройденный им путь, можно с немалым оптимизмом смотреть на будущее развитие "математики экономики" именно как Математики, а не как просто упрощенных элементов математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Внимательный читатель без особого труда обнаружит в различных разделах списка литературы весьма обнадеживающие "цепочки" изданий, в которых происходит последовательное продвижение к рассмотрению всё более и более глубоких явлений экономической природы и соответствующих им математических моделей и методов.
    Математика является не только средством решения прикладных задач, но и общепринятым универсальным языком науки, базисным элементом общей и профессиональной культуры современного экономиста. Изучение математических дисциплин должно приводить, в результате, к формированию у студента - будущего специалиста целостного представления о месте и роли математики в современном мире, о ее внутренней структуре, о взаимосвязях ее разделов, моделей и методов, о ее возможностях при решении конкретных задач.
    Математические дисциплины должны содержать лекции, семинарские занятия в аудитории, занятия в компьютерном классе. При аудиторной работе студенты должны систематически выполнять тесты и контрольные работы как формы текущего контроля усвоения изучаемого материала. Важную роль следует отводить самостоятельной контролируемой работе студентов. Возможными формами самостоятельной работы студентов являются домашние задания, рефераты, эссе, курсовые работы.
    При реализации учебного процесса следует специально предусматривать в программах время для повторения и закрепления пройденного материала, не перегружая основные программы излишним разнообразием проблематики. Широкий спектр дополнительной проблематики целесообразно выносить в дисциплины по выбору и в факультативы. Весьма желательно систематическое проведение регулярных текущих консультаций преподавателей для студентов.

Содержание программы

1. Основы дифференциального и интегрального исчисления.

1.1. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств, понятия образа и прообраза. Множество вещественных чисел. Функция. Сложные и обратные функции. График функции.

1.2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Арифметические свойства пределов. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.

1.3. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, промежуточные значения.

1.4. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, производная функции, линеаризация. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Правила дифференцирования. Точки экстремума функции, теорема Ферма о необходимом условии экстремума. Теоремы и формулы Ролля, Лагранжа, Коши о промежуточных значениях. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора, применение для приближенных вычислений.

1.5. Исследование функций и построение их графиков. Условия монотонности. Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты. Кривые, заданные параметрически. Длина кривой. Фрактал, фрактальная линия и её размерность.

1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл Римана, интегральная сумма. Теоремы о среднем значении определенного интеграла. Интеграл как функция переменного верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница. Несобственные интегралы. Кратные интегралы, повторные интегралы. Замена переменных в кратных интегралах, матрица Якоби и якобиан.

1.7. Функции нескольких переменных. Область определения, предел, непрерывность. Частные производные, полный дифференциал. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков. Однородные функции. Функциональные определители. Неявные функции. Обратные функции. Экстремумы, необходимое условие, достаточное условие. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

1.8. Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена.

1.9. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.

2. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.

2.1. Декартовы координаты. Векторы. Базис. Операции над векторами. Скалярное произведение. Длина вектора, угол между двумя векторами. Ортогональность, коллинеарность, компланарность. Векторное произведение. Смешанное произведение. Определители второго и третьего порядков. Определители n-го порядка. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителей разложением по столбцу или по строке.

2.2. Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

2.3. Матрицы и действия с ними. Симметричная, диагональная, единичная матрицы. Ортогональная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместности системы. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

2.4. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

2.5. Комплексные числа и многочлены. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Многочлены, разложение многочленов на множители, деление многочленов, теорема Безу о виде остатка.

2.6. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Ранг матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора, его корни. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Линейные, билинейные, квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Нормы векторов и матриц.

2.7. Неотрицательные матрицы, положительные матрицы. Разложимые и неразложимые матрицы. Теорема Перрона - Фробениуса о наибольшем действительном положительном собственном значении. Круги Гершгорина и собственные значения матрицы. Граф матрицы. Стохастические матрицы. Обратно-симметричные матрицы, сильно-транзитивные матрицы. Методы определения разложимости и неразложимости матрицы. Алгебраические и итеративные методы нахождения собственного вектора, соответствующего наибольшему положительному собственному значению. Некоторые матрицы специального вида.

2.8. Численные методы в решении задач линейной алгебры.

3. Элементы дискретной математики.

3.1. Элементы математической логики, теории множеств и общей алгебры. Дискретные объекты и структуры в математике. Метод математической индукции. Бинарные и n-арные отношения. Необходимые и достаточные условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций. Функциональная полнота систем булевых функций. Понятие группы. Абелева группа. Подгруппы. Циклическая группа. Изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы. Кольца, тела и поля.

3.2. Элементы комбинаторики. История развития, генезис понятий, классические задачи. Бином Ньютона. Перестановки, сочетания, размещения. Перечисление комбинаторных объектов и производящие функции. Рекуррентные соотношения. Разбиения и размещения. Логические методы комбинаторного анализа. Основные комбинаторные тождества для чисел сочетаний. Полиномиальные коэффициенты и основные комбинаторные тождества для них.

3.3. Элементы теории графов. История развития, генезис понятий, классические задачи. Определение графа. Неориентированные и ориентированные графы. Отношения смежности и инцидентности. Матричные представления графов. Пути и циклы. Связность, компоненты связности. Поиск в графе, поиск "в глубину", поиск "в ширину". Деревья. Кратчайшие пути. Эйлеровы пути и циклы. Гамильтоновы пути и циклы. Сети и потоки в сетях. Методология "ветвей и границ".

3.4. Некоторые численные методы и алгоритмы в решении задач дискретной математики.

4. Основы теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений.

4.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенное дифференциальное уравнения (ОДУ). Интегрирование в квадратурах. Фазовое пространство. Изоклины. Интегральная кривая. Задача Коши для ОДУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. ОДУ высших порядков. Понижение порядка. Краевая задача. Однородное и неоднородное ОДУ, принцип суперпозиции решений. Фундаментальная система решений, определитель Вронского. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Построение фундаментальной системы решений по корням характеристического уравнения. Системы ОДУ.

4.2. Устойчивость решений ОДУ. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных значений и параметров. Устойчивость и асимптотическая устойчивость в смысле Ляпунова. Понятие о функции Ляпунова. Типы точек покоя. Исследование на устойчивость по первому приближению с помощью матрицы Якоби.

4.3. Разностные уравнения. Примеры разностных уравнений. Построение фундаментальной системы решений по корням характеристического уравнения. Общее и частное решения. Устойчивость положения равновесия.

4.4. Некоторые численные методы решения дифференциальных и разностных уравнений.

5. Вероятность с элементами математической статистики и анализа данных.

5.1. Множество элементарных исходов опыта, событие, теоретико-множественные операции над событиями. Схема опыта с равновозможными исходами. Интуитивное определение вероятности события. Математическое определение вероятности. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления и как корректная математическая модель случайного явления. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса как теорема гипотез.

5.2. Случайная величина как математическая модель вероятностного явления. Функция распределения и функция плотности распределения вероятностей случайной величины, их свойства. Случайный вектор, зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения. Функции от случайных величин. Примеры стандартных случайных величин: Бернулли, биномиальная, Пуассона, показательная (экспоненциальная), равномерная, Гаусса (нормальная). Предельные теоремы о связи биномиальной случайной величины с пуассоновской, с гауссовской (локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа). Правило "три сигма", таблицы нормального распределения.

5.3. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства. Понятие интеграла Стилтьеса. Неравенство Чебышёва. Квантиль распределения случайной величины. Таблицы квантилей стандартных случайных величин. Понятия неопределенности, энтропии, количества информации. Условное математическое ожидание. Дисперсионная (ковариационная) и корреляционная матрицы случайного вектора. Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин, свойства некоррелированности и независимости. Многомерное нормальное распределение. Линейное преобразование нормального случайного вектора. Декоррелирующее преобразование, вырожденность и снижение размерности, эллипсоиды рассеивания. Элементы аппарата производящих и характеристических функций в теории вероятностей.

5.4. Предельные теоремы в теории вероятностей. Закон больших чисел, теорема Чебышёва. Понятие о законе "нуля и единицы" Колмогорова, о леммах Бореля - Кантелли, об усиленном законе больших чисел. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин, интегральная теорема Муавра - Лапласа как её следствие. Понятие о теореме Ляпунова для неодинаково распределенных случайных величин. Оценивание скорости сходимости частоты к вероятности в схеме независимых испытаний Бернулли, сравнение результатов использования неравенства Чебышёва и интегральной теоремы Муавра - Лапласа.

5.5. Дискретная марковская цепь (ДМЦ) с конечным числом состояний. Переходные вероятности, матрица переходных вероятностей. Однородность ДМЦ. Классификация состояний ДМЦ. Разложимость и неразложимость ДМЦ. Асимптотическое поведение ДМЦ, эргодичность, предельное распределение вероятностей состояний. Элементы аппарата производящих функций в исследовании ДМЦ. Понятия ДМЦ с бесконечным числом состояний, марковской цепи с непрерывным аргументом, диффузионного марковского процесса. Элементы общей теории случайных процессов, свойства стационарности и эргодичности. Элементы теории процессов массового обслуживания.

5.6. Теоретико-вероятностные основания математической статистики. Статистическая гипотеза и этапы её проверки. Генеральная совокупность, выборка, статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Выборочные среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Статистический критерий, уровень значимости, критическая область гипотезы. Проверяемая гипотеза и альтернативная гипотеза. Оценивание параметров в вероятностных моделях. Точечное и интервальное оценивание. Понятия о методе наибольшего правдоподобия и о методе наименьших квадратов. Свойства и сравнительный анализ оценок параметров, получаемых различными методами. Понятия о случайных величинах (статистиках) хи-квадрат, Стьюдента и Фишера. Использование таблиц квантилей данных случайных величин в задачах математической статистики.

5.7. Элементы математического анализа данных. Критерии согласия, критерии однородности, критерии независимости, критерии значимости, знаковый анализ, ранговый анализ в задачах анализа данных. Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, коэффициент конкордации. "Малые" и "большие" выборки. Элементы теории статистических решений в анализе данных. Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода, мощность статистического критерия. Смысл леммы Неймана - Пирсона о построении наиболее мощного решающего правила. Исследование взаимосвязей и зависимостей в анализе данных. Элементы дисперсионного, корреляционного, регрессионного анализов. Элементы теории планирования активного эксперимента. Элементы многомерного статистического анализа. Теоретико-игровой подход к задачам анализа данных, понятие об "игре с природой". Понятия о проблематиках экспертного оценивания, шкалирования, контент-анализа, полезности, риска и рационального поведения. Элементы вероятностно-статистического моделирования и численный анализ стохастических моделей, метод Монте-Карло.

6. Оптимизация и основы теории принятия решений.

6.1. Однокритериальная оптимизация, теория математического программирования. Типы экстремумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный, глобальный и локальный. Экстремумы гладких и негладких функций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального экстремума в угловой точке. Математический аппарат множителей Лагранжа. Задача выпуклого программирования, элементы теории двойственности. Условия Куна - Таккера. Вектор Куна - Таккера. Условие Слейтера. Окаймлённый гессиан. Теорема Куна - Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Схемы численных методов оптимизации: скорейший спуск, проектирование градиента, метод Ньютона. Поиск глобального экстремума в многоэкстремальных задачах. Метод штрафных функций как метод сведения задачи с ограничениями к последовательности задач безусловной оптимизации.

6.2. Задача линейного программирования (ЛП). Прямая и двойственная задачи ЛП, теоремы двойственности. Графический метод решения простейших задач ЛП. Канонический вид задачи ЛП, крайние (угловые) точки допустимого множества. Симплекс-метод как метод последовательного улучшения плана, основная схема алгоритма. Специальные линейные модели математического программирования.

6.3. Многокритериальная оптимизация. Многокритериальная предпочтительность допустимых точек (решений, стратегий). Эффективность (оптимальность) по Парето, по Слейтеру. Построение Парето-эффективной границы. Неединственность Парето-эффективных стратегий. Процедуры решения многокритериальных задач, или процедуры многокритериального выбора: "свёртка" критериев, "идеальная" точка, лексикографическая оптимизация, функция полезности ЛПР, последовательные уступки в величинах разных критериев и др.

6.4. Элементы теории дискретной оптимизации. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача частично-целочисленного программирования, задача псевдо-булева программирования. Задачи с неделимостями, задачи с логическими условиями, задачи с дискретными переменными, экстремальные комбинаторные задачи. Основные процедуры алгоритмической схемы "ветвей и границ".

6.5. Динамические задачи оптимизации. Элементы вариационного исчисления и теории оптимального управления, понятие о принципе максимума Понтрягина. Динамическое программирование и принцип оптимальности Беллмана. Многошаговые процедуры управления. Численные методы расчета оптимальных программ.

6.6. Принятие решений в условиях неопределенности: игровой подход. Гарантированный результат, принцип максимина, понятие гарантирующей стратегии. Седловая точка. Игры в нормальной форме. Определение антагонистической игры, решение игры, оптимальные стратегии игроков. Смешанное расширение антагонистической игры. Матричные игры. Связь с прямой и двойственной задачами ЛП.

6.7. Неантагонистические бескоалиционные игры. Равновесие по Нэшу, оптимум по Парето. Ситуации равновесия в играх многих лиц. Биматричные игры. Понятие о коалиционных играх. Игры в развернутой форме. Дерево игры. Игры с полной и неполной информацией. Равновесие Байеса - Нэша. Информационные множества. Рекурсивное решение. Бесконечно повторяющиеся игры. Иерархические игры с передачей информации. Коллективный выбор, групповые решения, схемы голосования, парадокс Кондорсе, аксиоматика Эрроу.

Возможная тематика математических дисциплин по выбору (элективов) и факультативных дисциплин:

Дополнительные главы математического анализа;
Дополнительные главы линейной алгебры;
Дополнительные главы дискретного анализа;
Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления;
Элементы теории функций комплексной переменной;
Численный анализ;
Дополнительные главы стохастического анализа;
Дополнительные главы математической статистики и анализа данных;
Дополнительные главы оптимизации и теории принятия решений;
Математическое моделирование макроэкономических процессов;
Математическое моделирование в микроэкономике;
Стохастический анализ в финансах;
Математические основы эконометрики;
Управление инвестиционными, проектными и финансовыми рисками;
Математические модели и методы экспертного оценивания и принятия коллективных решений;
Имитационное моделирование экономических механизмов;
Системная аналитика принятия решений.

Приложение: элементы применения математики в социально-экономических исследованиях и в современной деловой практике - возможная прикладная тематика рефератов, эссе и курсовых работ студентов по разделам программы

1. Общекультурное и практическое значение парадигмы непрерывности и дифференциального и интегрального исчисления. Исследование функций, характеризующих экономические явления и процессы (изокванта, изокоста, линия безразличия, функция полезности, функция спроса, функция предложения и др.) методами дифференциального исчисления. Применение дифференциального исчисления при исследовании эластичности спроса и предложения, для определения максимальных чистых выгод, для анализа потребительского поведения, для определения объема выпускаемой продукции и издержек, при расчете максимальной прибыли в условиях монополии и конкуренции. Применение рядов Тейлора при оценке изменения цены облигации. Применение второй производной при оценке выпуклости облигации. Формула непрерывно начисляемых процентов. Поиск экстремума функции нескольких переменных при определении прибыли, при оптимизации распределения ресурсов. Применение интегрального исчисления в модели Лоренца концентрации доходов.

2. Общекультурное и практическое значение матричного анализа. Неотрицательные матрицы в описании межотраслевых производственных процессов. Матрицы "затраты - выпуск", матричные балансовые модели. Линейная матричная модель международной торговли, или модель взаимных закупок товаров. Положительные матрицы экспертных оценок и вычисление на их основе вектора приоритетов целей социально-экономического развития. Собственный вектор как модель устойчивой согласованности мнений экспертов. Алгебра неотрицательных матриц в анализе социальной информации. Приведение матрицы к диагональному виду в целях формирования наиболее информативных социально-экономических индикаторов (комплексных индексных показателей).

3. Общекультурное и практическое значение парадигмы дискретности и дискретного анализа. Комбинаторные задачи планирования выборочных обследований. Перечислительные задачи о назначениях. Экстремальные комбинаторные задачи о выборе информативных признаков, о лотереях. Задачи логического проектирования процедур выбора решений (формирование сценариев). Задачи о голосовании, о коалициях, о составлении вопросников. Модели группового выбора и планирования социально-экономического поведения. Задача о максимальном потоке и о минимальном разрезе в сети. Максимальный поток в транспортной сети. Задача "на узкие места". Задача о потоке минимальной стоимости. Задачи о складе, о поставщике, о многопродуктовых потоках. Метод критического пути при управлении проектом (совокупностью работ). Выделение компонент связности графов матриц экспертных оценок в методах выявления "точек зрения".

4. Общекультурное и практическое значение динамических моделей социальных процессов. Дифференциальное уравнение, описывающее простейшую динамику численности населения. Динамическая паутинообразная модель рынка. Моделирование динамики долга. Общие модели макроэкономической динамики. Динамическая модель инфляции в переходной экономике. Динамическая модель роста выпуска в условиях конкуренции. Неоклассическая динамическая модель роста. Динамическая модель рынка с прогнозируемыми ценами.

5. Общекультурное и практическое значение вероятностной парадигмы и стохастического анализа. Стохастические модели риска и рационального поведения. Вероятностный анализ в модели Лоренца концентрации доходов, вероятностный смысл индекса Джини. Вероятностные модели в исследовании политических предпочтений электората, в задачах подбора персонала. Вероятностные модели ценностной реориентации в обществе. Вероятностный подход к определению справедливой цены консультационной услуги экспертов. Вероятностное моделирование процессов ценообразования на фондовом рынке. Индекс энтропии как показатель неупорядоченности в разделе рынка между продавцами. Применение корреляционного анализа для исследования влияния отдельных факторов и их комбинаций на прогнозные характеристики социально-экономических систем, регрессионный анализ как один из простейших инструментов социально-экономического прогнозирования. Применение модели "игры с природой" в анализе инвестиционных сценариев. Примеры применения вероятностных расчетов в текущем анализе хозяйственной деятельности.

6. Общекультурное и практическое значение парадигмы оптимизации и принятия решений. Экономический смысл задачи ЛП. Классические задачи: управление запасами, транспортная задача, задача о назначениях как примеры оптимизационных моделей. Оптимизационные модели сотрудничества и конфликта в области разоружений, стратегического противостояния, вооруженной борьбы. Игровые модели конкурентной борьбы на рынке и их сравнительный анализ (модели Курно, Бертрана, Штакельберга, Эджворта и др.). Схемы манипулирования голосованием, формированием рыночных предпочтений потребителей, формированием ценностных ориентаций в обществе. Игровые модели в инвестиционном анализе.

Список литературы

Основная математическая литература

Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Серия "Учебники для ВУЗов". - СПб.: Лань, 2000.
Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник. - М.: Физматлит, 2000.
Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1999.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - М.: Дело, 2000.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1,2. - Висагинас: "Alfa", 1998.
Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Специальная литература, 1996.
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2000.
Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учебное пособие для университетов. - М.: Высшая школа, 1998.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2001.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1,2. - СПб.: Лань, 2001.
Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Учебное пособие. - М.: Гардарика, 1999.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1998.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2001.

Дополнительная математическая литература

Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. - М.: Изд-во МГУ, 1997.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Серия "Учебники для ВУЗов". - СПб.: Лань, 1999.
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика: Учебное пособие. - М.: Гардарика, 1998.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебник для ВУЗов. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: Учебное пособие. - М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 1998.
Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учебное пособие для студентов ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2001.
Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.
Григорьев С.Г. Линейная алгебра: Учебное пособие по высшей математике. - М.: ИВЦ "Маркетинг", 1999.
Григорьев С.Г. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике. - М.: ИВЦ "Маркетинг", 2000.
Грэхем Рональд, Кнут Дональд, Паташник Орен. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. - М.: Вузовская книга, 1999.
Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ I: Учебное пособие. - М.: Изд-во МФТИ, 1999.
Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике: Учебник. - М.: Дело и Сервис, 1999.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие. Ч.1. - М.: Агар, 1999.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1999.
Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. Серия "Учебники для ВУЗов". - СПб.: Лань, 1999.
Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.
Ниворожкина Л.И. и др. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1999.
Новиков Ф.А. Дискретная математика. - СПб.: Питер, 2000.
Оре Ойстин. Графы и их применение. - Новокузнецк: Изд-во Новокузнецкого физико-математического института, 2000.
Пономаренко А.К., Сахаров В.Ю., Степанова Т.В., Черняев П.К. Учебные и контрольные задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.
Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие. - СПб. - М.: Невский диалект - Физматлит, 2000.
Справочник по математике для экономистов / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: Высшая школа, 1997.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА-М, 1998.
Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. - М.: Изд-во БЕК, 1998.
Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учебное пособие. - М.: Дело, 2000.
Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.
Anthony Martin, Biggs Norman. Mathematics for Economics and Finance. Methods and Modelling. 2nd edition. - UK: Cambridge University Press, 1998.
Carothers N.L. Real Analysis. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Chiang Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. - USA, N.Y.: McGraw-Hill, 1984.
Cooper Russel. Coordination Games. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Dockner Engelbert, et al. Differential Games in Economics and Management Science. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Fuente de la Angel. Mathematical Methods and Models for Economists. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Hydon P.E. Symmetry Methods for Differential Equations. A Beginner's Guide. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Ross Sheldon M. Topics in Discrete and Finite Mathematics. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Sundaram Rangarajan K. A First Course in Optimization Theory, 2nd edition. - UK: Cambridge University Press, 1999.

Математическая литература для углубленного изучения
научной проблематики

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1999.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник. - М.: Высшая школа, 1998.
Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Эдиториал УРСС, 1999.
Гелбаум Бернард Р., Олмстед Джон М. Контрпримеры в анализе. - Волгоград: Платон, 1997.
Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. - М.: Эдиториал УРСС, 1999.
Клейнер Г.Б., Смоляк С.А. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения. - М.: Наука, 2000.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1,2,3. - М.: Высшая школа, 1998-1999.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Наука, Физматлит, 1995.
Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: Изд-во МАИ, 1998.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. - М.: Дело, 2000.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1992.
Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебник для ВУЗов. - М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Стоянов Йордан. Контрпримеры в теории вероятностей. - М.: Факториал, 1999.
Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для ВУЗов / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Изд-во МФТИ, 2000.
Хорн Роджер А., Джонсон Чарльз Р. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2001.
Cook Wade D., Kress Moshe. Ordinal Information and Preference Structures: Decision Models and Applications. - USA: Prentice-Hall - Englewood Cliffs, 1992.
Greene W.H. Econometric Analysis, 3rd edition. - USA: Prentice-Hall Int., Inc., N.Y.University, 1997.
Hogg Robert V., Craig Allen T. Introduction to Mathematical Statistics, 5th edition. - USA: Prentice-Hall, Inc., 1995.
Kadane Joseph B., et al. Rethinking the Foundations of Statistics. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Neter John, Wasserman William, Kutner Michael H. Applied Linear Statistical Models, 3rd edition. - USA: IRWIN, Inc., 1990.
Stanley H. Eugene, et al. Introduction to Econophysics. - UK: Cambridge University Press, 2000.

Дополнительная литература социально-математического содержания

Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. - М.: МЦНМО, 2000.
Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учебное пособие. - М.: Изд-во РУДН, 1999.
Байе Майкл Р. Управленческая экономика и стратегия бизнеса: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
Боди Зви, Мертон Роберт К. Финансы. - М.: ИД "Вильямс", 2000.
Винс Ральф. Математика управления капиталом. - М.: ИД "Альпина", 2000.
Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000.
Галиц Лоуренс. Финансовая инжеренерия: инструменты и способы управления финансовым риском. - М.: Научное изд-во "ТВП", 1998.
Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. Учебное пособие. - М.: ИИД "Филинъ", 1998.
Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебное пособие. - М.: Юрайт, 2000.
Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1999.
Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999.
Занг Вэй-Бин. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. - М.: Мир, 1999.
Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. - М.: Изд-во ПРИОР, 1998.
Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. - М.: ИИД "Филинъ", 1998.
Кузютин Д.В. Математические методы стратегического анализа многосторонних отношений: Голосование. Многосторонние соглашения: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.
Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных технологий: Учебное пособие. - М.: Вузовская книга, 1998.
Мангейм Джарол Б., Рич Ричард К. Политология. Методы исследования. - М.: Весь Мир, 1999.
Математические методы принятия решений в экономике: Учебник / Под ред. В.А.Колемаева. - М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999.
Нидерхоффер Виктор. Университеты биржевого спекулянта. - М.: КРОН-ПРЕСС, 1998.
Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. Учебник для ВУЗов. - М.: НОРМА - ИНФРА-М, 1998.
Очерки по истории математики: Учебное пособие / Под ред. Б.В.Гнеденко. - М.: Изд-во МГУ, 1997.
Петерс Эдгар. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. - М.: Мир, 2000.
Плаус Скотт. Психология оценки и принятия решений. - М.: ИИД "Филинъ", 1998.
Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. - СПб.: Речь, 2000.
Сио К.К. Управленческая экономика. - М.: ИНФРА-М, 2000.
Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ГУ-ВШЭ, 2000.
Сорос Джордж. Алхимия финансов. - М.: ИНФРА-М, 1999.
Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. - М.: Дело и Сервис, 1999.
Уотшем Терри Дж., Паррамоу Кейт. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.
Фабоцци Фрэнк Дж. Управление инвестициями. - М.: ИНФРА-М, 2000.
Франк Роберт Х. Микроэкономика и поведение. - М.: ИНФРА-М, 2000.
Шарп Уильям Ф., Александер Гордон Дж., Бэйли Джеффри В. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 1999.
Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.
Hossack I.B., et al. Introductory Statistics with Applications to General Insurance. - UK: Cambridge University Press, 2000.
Kreps David M. Game Theory and Economic Modelling. 2nd edition. - UK: Clarendon Press - Oxford University Press, 1995.
Lapeyre Bernard, et al. Understanding Numerical Analysis for Option Pricing. - UK: Cambridge University Press, 2000.

Примечание:

Для устранения возможных библиографических трудностей с подбором литературы в список литературы включены книги, изданные в течение последних пяти лет.

Программа составлена Научно-методическим советом по математике
Министерства образования Российской Федерации.

Составитель:
Самыловский А.И. - доктор физико-математических наук, профессор.
Консультант:
Черемных Ю.Н. - доктор экономических наук, профессор.
Редакторы:
Кудрявцев Л.Д. - член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор;
Лифанов И.К. - доктор физико-математических наук, профессор;
Ягола А.Г. - доктор физико-математических наук, профессор;
Розанова С.А. - кандидат технических наук, доцент.