Некоторые вопросы, рассматриваемые в учебнике, отмечены звездочкой. Это означает, что их целесообразнее разобрать не на лекциях, а на семинарских занятиях, или предоставить студентам самостоятельно ознакомиться с ними. Во-первых, это вопросы, касающиеся напоминания некоторых понятий элементарной математики, известных из курса средней школы. Во-вторых, это вопросы, которые можно исключить из лекций без нарушения логической завершенности курса, что имеет смысл сделать в том случае, когда эти вопросы не входят в обязательную программу (например, в случае, когда на курс высшей математики отводится 350 часов). К ним относятся счетность рациональных и несчетность иррациональных чисел, теорема о записи действительных чисел бесконечными десятичными дробями, элементы теории функций комплексного переменного, теория обобщенных функций и т. п.
В первую лекцию целесообразно включить пп. 2.1, 2.2, 4.1 и 4.2. Тем самым первая лекция будет завершаться доказательством теоремы о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества, которая является одной из фундаментальных теорем, лежащих в основе математического анализа.
Существенное отличие предлагаемого учебника от большинства других состоит в изложении теории предела функции. В основе этого изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по ее проколотой окрестности, а по любому множеству, содержащемуся в области задания функции. Это позволяет изучать свойства функций глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой окрестности. В учебнике определение предела
f(x) = a
числовой функции f, заданной на множестве X,
формулируется, например, в терминах
последовательностей следующим образом: для
любой последовательности xn
x0, xn 
X, имеет место f(xn)a, n = 1, 2, ... При этом
допускаются оба случая, x0 X и x0 
X, а тем самым при
таком определении предела функции не
предполагается, что xn
x0. Это упрощает
формулировки и доказательства теорем (по
сравнению с обычным определением здесь одним
условием меньше), что особенно хорошо видно на
примере теоремы о пределе сложной функции и
позволяет наглядно и убедительно показать, что в
математике дискретное является частным случаем
непрерывного. Подробный сравнительный анализ с
точки зрения различных определений предела
функции содержится в статье L.D. Kudryavtsev "Introducihg
limits at the undergraduate level" (Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 1992, V. 23,
№4, 517-523).Автор старался отобрать минимальное количество вопросов, которые все вместе составляют логически завершенное изложение курса математического анализа, освоив который, студент сможет активно использовать его методы для решения задач и будет достаточно хорошо подготовлен для изучения других математических курсов.
Чтобы не отвлекать читателя от основного содержания учебника, иногда опускаются доказательства, представляющие собой техническое усложнение тех, которые имеются в курсе. Например, формула интегрирования по частям доказывается для непрерывно дифференцируемых функций, а для непрерывных и кусочно непрерывно дифференцируемых формулируется без доказательства. Лишь для функций многих переменных имеются отдельные исключительные случаи, когда доказательство теоремы в приведенной общей формулировке требует существенного развития методов, примененных при ее доказательстве в тексте при более сильных ограничениях. Это относится прежде всего к теоремам Грина и Гаусса - Остроградского для произвольных областей с кусочно гладкой границей.
Автор выражает свою глубокую благодарность рецензентам первого и второго издания учебника академикам РАН В.А. Ильину и С.М. Никольскому, члену-корреспонденту РАН С.И. Похожаеву, профессору А.М. Седлецкому, доцентам Л.А. Кузнецову, В.П. Пикулину и научному редактору доценту В.Н. Седову, а также редактору издательства "Альфа" М.Д. Жабцевой, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим много полезных замечаний, которые все были учтены при окончательном редактировании текста, что, безусловно, содействовало улучшению предлагаемого учебника.
Особую признательность автор испытывает к академику С.М. Никольскому, члену-корреспонденту РАН О.В. Бесову и профессору С.А. Теляковскому, с которыми в продолжение многих лет читает в МФТИ курс математического анализа студентам параллельных потоков. Постоянные обсуждения с ними содержания курса и методики изложения материала нашло свое воплощение при освещении ряда вопросов в предлагаемом учебнике.
В третьем издании по-новому изложен рад вопросов дифференциального и интегрального исчисления функции многих переменных. Автор выражает свою искреннюю благодарность студентам МФТИ В. Акимову, А. Малашевичу и А. Чудновскому, сделавшим ряд полезных замечаний к тексту и составившим список опечаток в предыдущих изданиях этой книги, исправленных в настоящем издании.