Предисловие

    В основе настоящего учебника лежит классический метод изложения материала, характерный для математических дисциплин, т. е. метод, при котором ни одно принципиально важное для построения курса утверждение, требующее доказательства, не остается без такового. Автору представляется, что изложение математической дисциплины, при которой ряд фактов (часто основополагающих) принимается без доказательства, затрудняет изучение предмета и активное использование его в дальнейшем. В качестве оправдания такого "нестрогого" изложения обычно приводится довод о невозможности в отведенные учебным планом часы дать обоснованное изложение всего материала. Однако в высших учебных заведениях, в которых на курс математики отводится 350 - 510 часов, вопросы математического анализа можно изложить неформально, с общепринятой в математике строгостью. Один из возможных путей такого изложения без отказа от наглядности и обстоятельности предлагается в данном курсе. В полном объеме весь материал, содержащийся в учебнике, можно подробно в умеренном темпе рассказать за 75 лекций (каждая из двух частей по 40 минут). Это подтверждается многолетним опытом чтения автором курса математического анализа на различных факультетах Московского физико-технического института.
    Некоторые вопросы, рассматриваемые в учебнике, отмечены звездочкой. Это означает, что их целесообразнее разобрать не на лекциях, а на семинарских занятиях, или предоставить студентам самостоятельно ознакомиться с ними. Во-первых, это вопросы, касающиеся напоминания некоторых понятий элементарной математики, известных из курса средней школы. Во-вторых, это вопросы, которые можно исключить из лекций без нарушения логической завершенности курса, что имеет смысл сделать в том случае, когда эти вопросы не входят в обязательную программу (например, в случае, когда на курс высшей математики отводится 350 часов). К ним относятся счетность рациональных и несчетность иррациональных чисел, теорема о записи действительных чисел бесконечными десятичными дробями, элементы теории функций комплексного переменного, теория обобщенных функций и т. п.
    В первую лекцию целесообразно включить пп. 2.1, 2.2, 4.1 и 4.2. Тем самым первая лекция будет завершаться доказательством теоремы о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества, которая является одной из фундаментальных теорем, лежащих в основе математического анализа.
    Существенное отличие предлагаемого учебника от большинства других состоит в изложении теории предела функции. В основе этого изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по ее проколотой окрестности, а по любому множеству, содержащемуся в области задания функции. Это позволяет изучать свойства функций глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой окрестности. В учебнике определение предела f(x) = a числовой функции f, заданной на множестве X, формулируется, например, в терминах последовательностей следующим образом: для любой последовательности
xnx0, xn принадлежит X, имеет место f(xn)a, n = 1, 2, ... При этом допускаются оба случая, x0 принадлежит X и x0 не включает X, а тем самым при таком определении предела функции не предполагается, что xnне равноx0. Это упрощает формулировки и доказательства теорем (по сравнению с обычным определением здесь одним условием меньше), что особенно хорошо видно на примере теоремы о пределе сложной функции и позволяет наглядно и убедительно показать, что в математике дискретное является частным случаем непрерывного. Подробный сравнительный анализ с точки зрения различных определений предела функции содержится в статье L.D. Kudryavtsev "Introducihg limits at the undergraduate level" (Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 1992, V. 23, №4, 517-523).
    Автор старался отобрать минимальное количество вопросов, которые все вместе составляют логически завершенное изложение курса математического анализа, освоив который, студент сможет активно использовать его методы для решения задач и будет достаточно хорошо подготовлен для изучения других математических курсов.
    Чтобы не отвлекать читателя от основного содержания учебника, иногда опускаются доказательства, представляющие собой техническое усложнение тех, которые имеются в курсе. Например, формула интегрирования по частям доказывается для непрерывно дифференцируемых функций, а для непрерывных и кусочно непрерывно дифференцируемых формулируется без доказательства. Лишь для функций многих переменных имеются отдельные исключительные случаи, когда доказательство теоремы в приведенной общей формулировке требует существенного развития методов, примененных при ее доказательстве в тексте при более сильных ограничениях. Это относится прежде всего к теоремам Грина и Гаусса - Остроградского для произвольных областей с кусочно гладкой границей.
    Автор выражает свою глубокую благодарность рецензентам первого и второго издания учебника академикам РАН  В.А. Ильину и С.М. Никольскому, члену-корреспонденту РАН С.И. Похожаеву, профессору А.М. Седлецкому, доцентам Л.А. Кузнецову, В.П. Пикулину и научному редактору доценту В.Н. Седову, а также редактору издательства "Альфа" М.Д. Жабцевой, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим много полезных замечаний, которые все были учтены при окончательном редактировании текста, что, безусловно, содействовало улучшению предлагаемого учебника.
    Особую признательность автор испытывает к академику С.М. Никольскому, члену-корреспонденту РАН О.В. Бесову и профессору С.А. Теляковскому, с которыми в продолжение многих лет читает в МФТИ курс математического анализа студентам параллельных потоков. Постоянные обсуждения с ними содержания курса и методики изложения материала нашло свое воплощение при освещении ряда вопросов в предлагаемом учебнике.
    В третьем издании по-новому изложен рад вопросов дифференциального и интегрального исчисления функции многих переменных. Автор выражает свою искреннюю благодарность студентам МФТИ В. Акимову, А. Малашевичу и А. Чудновскому, сделавшим ряд полезных замечаний к тексту и составившим список опечаток в предыдущих изданиях этой книги, исправленных в настоящем издании.