Н.Н. Колесников
Московский Государственный Университет

Массы ядер и массовые формулы

1. Потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия и энергии связи ядер

    Масса является одной из важнейших характеристик ядра наряду с величиной заряда и размером ядра. В ядерной физике вместо массы ядра чаще используется энергия связи B, которая определяется как разность между суммой масс покоящихся протонов и нейтронов и массой ядра М:

B(Z,N) = (m_pZ + m_nN – M)c² ,

где m_p – масса протона, m_n – масса нейтрона, с-скорость света Z – число протонов, N – число нейтронов, обычно энергия В (а нередко и масса М) выражается в энергетических единицах (Мега-электрон Вольтах, МэВ). При этом ядро неявно предполагается (следуя гипотезе, высказанной в 1932 году Гейзенбергом и Иваненко) состоящим из нейтронов и протонов, удерживаемых в ядре благодаря действию ядерных сил притяжения. Между тем в настоящее время утверждение о том, что протоны и нейтроны являются составными частицами ядра выглядит достаточно спорным, поскольку сами нуклоны, как в этом уверены, состоят из кварков, и вопрос лишь в том в какой мере нуклоны сохраняют свою индивидуальность внутри ядра (а не диссоциируют на кварки). Недавно путем уникальных численных расчетов системы шести кварков, взаимодействующих с глюонным полем, удалось даже найти ( в рамках квантовой хромодинамики, КХД на решетке) потенциал рр-взаимодействия в синглетном и триплетном состояниях [1], который передает наиболее характерные свойства ядерных сил. И тем не менее нейтронно0протонная модель остается хорошим прибоижением.
    В настоящее время эксперимент позволил достаточно хорошо изучить свойства ядерных сил. Наиболее важной особенностью ядерных сил является их короткодействующий характер (радиус действия r₀ - несколько единиц Ферми : r₀~ 1-2 Фм, 1Фм = 10^-13см ). Эту особенность NN- взаимодействия удалось понять Юкаве на основе гипотезы о существовании взаимодействия нуклонов с мезонным полем. Если рассматривать нуклоны как источник Ф мезонного поля и записать Лагранжиан взаимодействия нуклона с мезонным полем в виде L = -gФ и считать при этом скаляром, а нуклон покоящимися, то дополнительная энергия для системы двух нуклонов, возникающая за счет их связи с мезонным полем (что интерпретируется как потенциальная энергия NN- взаимодействия) оказывается равной, где μ = mс/ связано с массой мезона m. Если в качестве m взять массу π-мезона, то радиус действия юкавских сил r₀ = /mc1.4 Фм, что согласуется с требованием эксперимента. Что касается константы взаимодействия g для соответствия с экспериментом она должна быть примерно 14.5 МэВ, что, заметим, более, чем на порядок превышает константу электромагнитного взаимодействия.
    С точки зрения квантовой теории поля взаимодействие между нуклонами состоит в обмене мезонами. При этом реальными переносчиками взаимодействия считаются пионы. Учитывая, что существуют как нейтральные, так и заряженные мезоны и что массы заряженных и нейтральных пионов отличаются незначительно, мезонная теория объясняет почему нуклон-нуклонное взаимодействие проявляет зарядово-обменный характер и притом имеет место зарядовая симметрия. Далее, при учете того, что пионы являются не скалярными, а псевдоскалярными, мезонная теория объясняет спиновую, нецентральную и спин-орбитальную зависимость ядерных сил. Наконец, кроме нуклонов она дает качественно правильные предсказания о взаимодействии других типов барионов, например Λ и Σ гиперонов.
    Отсюда понятно почему мезоннообменные потенциалы используются в качестве базиса для построения реалистических потенциалов NN-взаимодействия. Между тем потенциалы мезонной теории сильно расходятся в нуле (а ввиду большой величины константы взаимодействия g расходится и ряд теории возмущений), тогда как, согласно эксперименту, на самых малых расстояниях взаимодействие нуклонов от притяжения переходит в очень сильное отталкивание (отталкивательная сердцевина, кор). В связи с этим потенциалы мезонной теории приходится корректировать путем введения феноменологических членов (существование которых понятно с точки зрения кварковой теории), обеспечивающих мощное отталкивание на самых малых расстояниях.
    Существует впрочем и чисто феноменологический подход в теории ядерных сил.
    Среди реалистических потенциалов NN-взаимодействия отметим потенциал Ниймегенской группы [2], Боннский потенциал [3], Парижский потенциал [4], Московский потенциал [5] и особенно Аргоннский потенциал [6]. Но в то же время оказываются очень полезными и удобными для расчетов, особенно легких ядер, более простые, хотя и менее совершенные потенциалы , в частности потенциал Рейда [7] и другие [8-10], см. обзор [83].
    Реалистические потенциалы NN-взаимодействия, претендующие на описание широкого круга явлений (начиная от нуклон-нуклонного рассеяния и кончая свойствами связанных нуклонных систем) оказываются весьма сложными. Так Аргоннский потенциал v₁₈ содержит 18 операторов, учитывающих спиновую и изоспиновую зависимость ядерных сил, их нецентральный и спин-орбитальный характер, зависимость от орбитального момента. Он включает различные электромагнитные поправки вплоть до радиационных
    и связанных со структурой нуклонов , а также учитывает нарушение зарядовой независимости ядерных сил. Общее число параметров достигает 40. Он позволяет практически с точностью эксперимента описать np- и рр-рассеяние до энергий 350 МэВ и дать надежную информацию о nn-взаимодействии, а кроме того получить правильную энергию связи дейтрона, его размеры, величину магнитного и квадрупольного момента, электрический и магнитный формфакторы [6].
    Однако возникают трудности уже при расчете трехчастичных ядер ³Н и ³Не, а также реакций p²H и n²H, которые не удается устранить без введения трехчастичных сил NNN , существование которых естественно с точки зрения мезонной теории как сил, связанных с двухпионным обменом между тремя нуклонами [12].
    При добавлении к Аргоннскому NN- потенциалу трехчастичных NNN- сил оказывается возможным не только достичь хорошего согласия с экспериментальными значениями энергий трех и четырехчастичных ядер ³Н, ³Не и ⁴Не, но и более тяжелых ядер с массовыми числами 5,6,7 и 8. При этом помимо энергий связи достаточно хорошо согласуются с экспериментом и другие характеристики этих ядер, в частности их размеры, магнитные и квадрупольные моменты [15].
    Квантовомеханический расчет систем, содержащих три и более частиц потребовал создания мощных вычислительных методов, среди которых кроме старого вариационного метода следует отметить метод гиперсферических функций, метод Фаддеева, метод Монте-Карло, метод функций Грина без и в комбинации с методом Монте-Карло [83]. Расчет таких систем потребовал проведения огромных по объему вычислений.
    Однако трудности вычислений катастрофически возрастают по мере увеличения числа частиц, а также при усложнении структуры NN- потенциала, и при этом все труднее становится гарантировать достаточно высокую точность расчета. Поэтому едва ли можно рассчитывать, что в ближайшем будущем точные методы расчета с реалистическими потенциалами удастся реализовать для систем с числом нуклонов более двух десятков. Надежда остается лишь на использование приближенных методов. По аналогии с атомными системами для расчета сложных ядер используется метод Хартри-Фока или различные его модификации, хотя условия применимости этого метода для ядер гораздо хуже, чем в случае атомов, в частности это касается существования в ядре некоторого среднего поля .
    При расчете ядер возникают не только технические трудности, связанными, например с расходимостями в диаграммах более высокого порядка или вычислительными проблемами, но, самое главное, не удалось ни для каких реалистических или просто достаточно мягких нуклон-нуклонных потенциалов обеспечить насыщение ядерных сил в ядрах, т.е получить правильные значения энергий связи ядер при росте объемов ядер пропорционально массовому числу А (см.например [13-14] ) Сказанное относится и к теории ядерной материи ([25]).
    Правда проблему насыщения ядерных сил удается решить при использовании некоторых эффективных потенциалов, однако их связь с реалистическими нуклон-нуклонными потенциалами далеко не очевидна. Среди них очень удобными оказались потенциалы Скирма [13,14], зависящие от плотности нуклонов и содержащие короткодействующие δ-образные члены , которые при выборе нескольких параметров потенциала описывают с хорошей точностью размеры ядер, а также позволяют с удовлетворительной точностью рассчитать одночастичные энергии нейтронов и протонов и находить полные энергии связи по крайней мере для магических ядер.

2. Ядерные модели

    В связи с остающейся неопределенностью в выборе потенциала взаимодействия нуклонов и трудностями в расчете энергий связи ядерных систем многих частиц, особенно тяжелых и сверхтяжелых ядер, широкое распространение получили ядерные модели, которые отражают важнейшие особенности ядерных сил и связанные с ними свойства ядер.
    По поводу выбора моделей ядер можно выделить две на первый взгляд противоречивые точки зрения, в пользу каждой из которых приводятся достаточно весомые аргументы.
    Одна из этих моделей – жидкокапельная - предполагает, что благодаря сильному взаимодействию нуклоны участвуют в коллективном движении, что естественным образом объясняет почему объемы и ( в значительной степени энергии ядер) растут пропорционально числу частиц. Другая модель- независимых частиц- считает, что несмотря на сильное взаимодействие между нуклонами в ядре возникает самосогласованное поле, в котором нуклоны движутся как квазинезависимые частицы.
    Существует, наконец, гибридная (обобщенная) модель, в которой предполагается, что ядро можно рассматривать как жидкокапельный остов, относительно которого движутся сравнительно слабо с ним связанные внешние нуклоны.
    В жидкокапельной модели при нахождении потенциальной энергии оказывается возможным исходить из классической теории и рассуждать следующим образом. Предполагая, что ядро сферически-симметрично и имеет радиус R, значительно превосходящий по размерам радиус действия ядерных сил r₀, можно подсчитать среднюю энергию взаимодействия выделенного нуклона со всеми остальными нуклонами как произведение средней энергии взаимодействия между двумя нуклонами v на число нуклонов в сфере радиуса r₀, т.е как , где . Отсюда, умножая на А/2, находим энергию взаимодействия нуклонов или, поскольку радиусы ядер растут по закону R = r₀A^1/3, то

где C₁ = v/2(R_о/r_о)³.
    Будем называть эту энергию объемной и подсчитаем неучтенную при этом энергию нуклонов в поверхностном слое толщиной δ = r₀. Если в среднем для каждого из нуклонов поверхностного слоя за поверхность ядра выходит часть сферы радиуса R₀ равная ν, то недостающая часть энергии взаимодействия нуклонов ( поверхностная энергия) равна

(2)

    Отметим, что квантовомеханический расчет при использовании статистической модели (используются плоские волны для одночастичных волновых функций) приводит к аналогичному результату [11]. Однако при расчете кинетической энергии в рамках квантовой механики необходимо учитывать, что нуклоны являются фермионами и на них распространяется принцип Паули, в соответствии с которым нуклоны не могут находиться все на одном и том же низшем энергетическом уровне, а поэтому будут заполняться уровни с все более высокой энергией, на каждом уровне по два протона ( с противоположной ориентацией спина) и по два нейтрона. При этом в основном состоянии ядра будут заполняться все нижние уровни. Кинетическая энергия ядра представляет собой сумму:

где Р_k- импульс нуклона k.
    В статистическом приближении одночастичных волновые функции нуклонов записываются в виде плоских волн, обращающихся в нуль на границе и вне ядра. Для простоты рассуждений заменим сферическое ядро радиуса R на равновеликий куб со стороной а: 4πR³/3 = a³ .Тогда волновую функцию нуклона внутри ядра можно записать в виде ψ(x,y,z) = A sink_xx ^. sink_yy ^. sink_zz , причем из требования обращения ψ(x,y,z) в нуль на границе ядра (т.е. при
ψ(0,y,z) = ψ(x,0,z) = ψ(x,y,0) = ψ(a,y,z) и т.д.) k_x, k_y и k_z должны удовлетворять условиям: k_xа = πn_x , k_ya = πn_{y ,} k_zа = πn_{z ,} где n_x ,n_y и n_z - целые числа. Собственными значениями операторов p_x, р_у и p_z являются p_x = πn_x /a, p_y = πn_y /a и p_z = πn_z /a, а полная кинетическая энергия ядра

При суммировании по n_x , n_y и n_z пробегаются все точки решетки (с параметром 1) в пространстве переменных n_x , n_y и n_z, так что можно записать

Переходя вместо суммирования к интегрированию, получим при выборе сферических координат n, θ, φ вместо n_x, n_y и n_z

Или, если пренебречь различием масс нейтрона и протона, то:

.

При этом

Отсюда n(Z) = (3/8π)^1/3Z^1/3 и n(N) = (3/8)^1/3N^1/3 .
А следовательно

T = 4π³² /5ma²(3/8)^5/3 (Z^5/3 + N^5/3),

Или, поскольку a = r₀(4πA/3)^1/3 , то

T = 9/80(3/2π)^1/3π²/mr₀^2/3 (Z^5/3 + N^5/3 )/A^2/3

Вместо Z и N удобно вести A = Z + N и I = N - Z. Учитывая далее, что для реальных ядер I/A<< 1, можно записать:

(Z^5/3 + N^5/3 )/A^2/3 A/2^2/3( 1 + 5/9^.(A - 2Z)²/A²).

А следовательно

где С_k константа.
Учтем еще кулоновскую энергию ядра

(для сферически –симметричного ядра с равномерным распределением заряда е C₃ = 3/5е²).
    При учете объемной энергии (1), поверхностной энергии (2), а также кулоновской энергии (4) и энергии симметрии, пропорциональной в (3) (A-2Z)²/A ( в нее дает вклад также энергия, связанная с пионным обменом [16]), выражение для полной энергии связи ядра В можно записать в виде суммы :

B(A,Z) = C1A - C2A 2/3 – C3Z2/A1/3 - C4(A-2Z)2/A.

(5)

    Эту формулу получили Бете и Вейцзекер еще в 1932 году и теперь она носит их имя, см.[11]. Как показывает анализ экспериментальных данных, при прочих равных условиях энергии связи четно-четных ядер (Z - четное, N - четное) больше, чем нечетных ядер( А - нечетное), а последних больше, чем нечетно-нечетных ядер ( Z - нечетное, N - нечетное).Чтобы учесть этот эффект спаривания в формулу Бете-Вейцзекера добавляют еще поправку на четность Р(А). При оптимальном выборе поправки на четность в виде

(6)

где δ = 5.55 МэВ и параметров

C1 = 15,75 MеВ, С2 = 17,8 МэВ, С3 = 0,71 МэВ, С4 = 23,7 МэВ

(7)

формула (5) описывает энергии всех известных ядер (за исключением самых легких) со среднеквадратичным отклонением 2,7 МэВ при максимальном отклонении около 10 МэВ.
    При этом полная энергия ядра

E(Z,N) = (Zmp + Nmn)c2 – B(Z,N).

(8)

При А = cоnst энергия Е достигает минимума при Z = Z^*, которое определяется из условия E/Z = 0. Отсюда

(9)

где Δм = (m_n - m_p)c². E(A,Z) можно представить в виде:

E(A,Z) = E(A,Z*) + k(Z – Z*)2 ,

(10)

где откуда видно, что изобарное сечение ядерной энергетической поверхности представляет собой квадратичную параболу.

Рис.1. Энергии изобаров с A четным.

    Как следует из (9) и (10), в случае нечетных ядер (А – нечетное) , наиболее стабильным является изобар с Z наиболее близким к Z^*. В случае четных А изобарная парабола ядер с четными Z лежит ниже, чем для нечетных Z (согласно (6) на величину 2/А^1/2). Реально превращение одного изобара в другой возможно путем β-распада (β^-, β⁺ или же электронного захвата).Условием энергетической возможности β^--распада ядра (А, Z) является
E(A,Z) - E(A,Z+1) > m_ec² (m_e – масса электрона), а возможности электронного захвата
E(A,Z) + m_ec² > E(A,Z-1). Отсюда в соответствии со значениями коэффициента k и величины лишь в немногих случаях нечетно-нечетные ядра оказываются стабильными (экспериментально-это ядра ²H, ⁶Li, ¹⁰B, ¹⁴N, а также редкие изотопы ⁴⁰K, ⁵⁰V, ¹³⁸La, ¹⁷⁰Lu, ¹⁸⁰Ta).В то же время известны случаи, когда стабильными как относительно β^--распада, так и электронного захвата оказываются два или даже три четно-четных изобара ( например¹²⁴Sn, ¹²⁴Te, ¹²⁴Xe), а некоторые нечетно-нечетные изобары способны испытывать два различных типа распада (см.схему распада на рис.1)

3. Глобальные массовые формулы с оболочечными поправками

    В связи с тем, что расхождения формулы Бете-Вейцзекера с экспериментом довольно значительны, делались многочисленные попытки подправить формулу, основываясь на общих представлениях о структуре ядра и свойствах ядерных сил, учитывая, например, отсутствие у ядра строго очерченной границы. Однако такого рода попытки не привели к существенному улучшению результатов (по поводу массовых формул опубликованных до 1970 года см. например, обзоры [16, 84]). Как выяснилось в дальнейшем, главная причина состояла в том, что не учитывалось заполнение в ядре оболочек протонов и нейтронов, что проявляется в значительном повышении энергии связи тех ядер, которые содержат число нейтронов и протонов равное 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Эти числа получили название магических.
    Модель ядерных оболочек была предложена в 1949 году М.Гепперт-Майер и Г.Иенсеном, которые показали, что магические числа нуклонов и связанные с этим свойства ядер получают объяснение, если считать, что в ядре создается некоторое среднее поле с короткодействующим потенциалом, в котором движутся нуклоны и притом существует сильное спин-орбитальное взаимодействие.
(Отметим, что идея о заполнении в ядре оболочек нейтронов и протонов была высказана еще в 1932 году Эльзассером [16] и Гугенгеймером [17] на основе анализа энергий связи и распространенности элементов, и были указаны практически все принятые в настоящее время магические числа. Более того, было показано, что они получаются при расчете положения уровней нуклонов в потенциальной яме, например, прямоугольной формы. Однако это относилось к числам 2, 8, 20. Появление магических чисел 28, 50, 82 и 126 удалось объяснить Гепперт-Майер при учете спин-орбитального взаимодействия.)
   Как показывает анализ экспериментальных данных (см.[17]), ядерные периодичности проявляются во многих свойствах ядер, начиная с энергий связи и кончая сечениями ядерных реакций и запретами в , и -переходах.

Рис.2. Разность между экспериментальными энергиями связи В и вычисленными по формуле Бете-Вейцзекера. Точки, соответствующие одному и тому же Z, соединены линиями. Во избежание загромождения рисунка были выбраны ядра лишь для одного (чч) типа четности, и по той же причине линии проводились не везде

Рис.3. Разность между линией бета-стабильности Бете-Вейцзекера Z*БВ и "экспериментальной" Z* (найденной из экспериментальных данных)

    В качестве примера на рис.2 показывается как скачкообразно меняется разность В между экспериментальными и вычисленными (по гладкой формуле Бете-Вейцзекера) энергиями связи В в зависимости от числа нейтронов. Аналогичные скачки В наблюдаются при пересечении магических чисел протонов. Кроме того, как видно на рис.3, кривая Z^*, построенная на основе экспериментальных энергий -распада, не является (как это следует из формулы Бете-Вейцзекера) гладкой функцией А, а представляет собой отрезки прямых, испытывающих разрывы при пересечении магических чисел протонов, а также и нейтронов.
    Поскольку выяснилось, что оболочечные эффекты существенны для энергий связи ядер, возникла идея построения такой массовой формулы глобального типа (т.е способного описать всю систему ядер), как, например, формула Бете-Вейцзекера, но которая в отличие от последней учитывала бы эффекты заполнения оболочек.
    Учет эффект заполнения оболочек во многих работах производился путем введения оболочечных поправок в жидкокапельную часть формулы для энергий связи ядер, в качестве которой бралась формула Бете-Вейцзекера.
    Майерс и Святецкий [20] рассчитывали оболочечную поправку как разность энергии уровней оболочечной модели и жидкокапельной (статистической) модели. Согласно статистической модели (модели Ферми-газа) при Z = N = A/2 энергия нуклона на верхнем из заполненных уровней (энергия Ферми, см.(3)) равна T_F = (9/8)^2/32/(2m_nr₀²), если R =  r₀A^1/3 , а максимальная энергия нейтрона T_N = T_F(2N/A)^2/3 и максимальная энергия протона T_Z = T_F (2Z/A)^2/3 .При этом энергия нейтрона на n-ом уровне была бы t_n = T_N(n/N)^2/3, а энергия протона на n-ом уровне была бы t_p = T_Z (n/Z)^2/3. Отсюда полная кинетическая энергия всех нуклонов

а разность кинетической энергии нуклонов в оболочечной модели и в жидкокапельной (однородной) модели , что можно рассматривать как оболочечную поправку, равна [20]:

где С – подгоночная константа. q(n)dn можно записать в виде суммы по оболочкам q_i и, если в качестве q_i выбрать среднее значение энергии нуклона в промежутке между магическими числами M_i и M_i-1, то [19] :

при M_i-1 < N < M_i.

   В качестве жидкокапельной части формулы для масс Майерс [23] предлагает так называемую капельковую (droplet) модель, которая улучшает формулу Бете-Вейцзекера тем, что во-первых учитывает отсутствие у ядра строго ограниченной поверхности, а именно постепенное спадание плотности нуклонов в поверхностном слое. Во-вторых учитывается сжимаемость ядра. В связи с этим в формуле для масс Майерса появляются поправочные члены пропорциональные А^1/3, (A-2Z)²/A^2/3 и (A-2Z)⁴/A. Кроме того вводятся поправочные члены в кулоновскую энергию, а коэффициенты в поверхностной и кулоновской энергии становятся зависящими от параметров формы ядра. Однако несмотря на введение связанных с этим дополнительных параметров и включения оболочечной поправки, отклонения от экспериментальных масс остаются на достаточно высоком уровне ( максимальные отклонения ~5 МэВ, а для тяжелых ядер- отклонения систематического характера порядка 4 МэВ и более).
    Заполнение одночастичных уровней (j,m) приводит к появлению квадрупольного момента, который в случае одной частицы в сферически-симметричной потенциальной яме равен 1 - 3m²/j(j + 1). Он положителен при |m| < j(j + 1)/3^1/2 и это приводит к некоторому уменьшении энергии ядра. Однако квадрупольная деформация вызывает увеличение жидкокапельной части энергии (пропорционально квадрату параметра деформации ). Но оболочечная часть энергии может уменьшаться (пропорционально ) и в итоге при достаточно большом числе нейтронов и протонов ядру может оказаться энергетически выгодно деформироваться. Это действительно экспериментально наблюдается вдали от заполненных оболочек (например в области лантанидов и актинидов). Порядок заполнения уровней существенно меняется в зависимости от величины деформации ядра. Нильсоном [22] был проведен расчет энергии уровней для случая аксиально-симметричной потенциальной ямы:

U(r) = (_x x² + _y y² + _zz² )/2 + C (LS) + D L² ,

где _x² = _y² = _z²(1 + 2/3²), L и S -операторы орбитального и спинового моментов, соответственно, С и D -константы.

Рис.4. Схема уровней Нильсона.

    Схема низших уровней для случая нильсоновского потенциала в зависимости от параметра деформации показана на рис.4. Как видно из рис.4, при увеличении деформации обычные магические числа становятся все менее четко выраженными, а пучки уровней между магическими числами оказываются все более размытыми.
    В связи с этим важным становится понятие плотности уровней. Струтинский [21] предложил описывать плотность уровней, исходя из схемы Нильсона, при помощи непрерывной функции

,

(11)

где γ – интервал усреднения, E_ν(β) – энергия нуклонного уровня ν при деформации . Как показывается в работе [21],при усреднении по достаточно широкому интервалу энергий γ1( в единицах ) плотность g_γ(E) соответствует равномерному (однородному) распределению уровней , что можно сопоставить с плотностью уровней жидкокапельной модели. При малых же γ ~ A^-1/3 функция g_γ(E) передает специфику распределения Нильсона [21]. Оболочечная поправка вычисляется как сумма интегралов

для протонов и аналогичного интеграла для нейтронов. При этом g(,E) вычисляется по формуле (11) при γ = 0,2, а G(,E) - при γ = 0,7 [21] . Как показывают расчеты, оболочечная поправка достигает наибольших значений при магических числах нуклонов и она минимальна в промежутке между этими числами, а это означает, что вблизи магических чисел ядра должны быть сферически-симметричными, а в областях между ними – быть деформированными.
    Для нахождения равновесной деформации следует находить экстремум суммы оболочечной поправки и поверхностной энергии, последняя в простейшем варианте аксиальной деформации записывается в виде [21]:

E₀{2/5(1-x)² – 0,0038(1+2x)³ + ……},

где – параметр деформации и х = (Z²/A) /( Z²/A)_кр - критическая энергия деления.   Зная как меняется энергия при деформации, можно рассчитать порог деления и вероятность спонтанного деления тяжелых ядер. При использовании в качестве макроскопической (жидкокапельной) части энергии ядра- капельковой модели Майерса [23] , а в качестве оболочечной поправки (микроскопической энергии) - варианта Майерса-Святецкого [20] или же Струтинского [21] оказывается кроме того возможным улучшить описание масс ядер.
    Так в работе [24] при вычислении макроскопической части энергии в соответствии с капельковой моделью [23] и микроскопической части в виде оболочечной поправки Майерса-Святецкого удалось при введении 50 параметров достичь достаточно хорошего описания масс с среднеквадратичной ошибкой 0,67 МэВ при максимальном отклонении ~1,5 МэВ.
    Примерно такой же результат (0,7 МэВ) был достигнут Зигером и Говардом [25], которые при вычислении оболочечной поправки предпочли использовать метод Струтинского [21]. При этом параметры потенциалов оболочечной модели брались различными для различных областей и они не считались одинаковыми для нейтронов и для протонов. Формула для масс в [25] содержит модифицированный член энергии симметрии (N-Z)²/A(1+2B_sA^-1/3) с параметром B_s, зависящим от формы ядра, а кулоновская энергия кроме прямого члена включает также обменный и спин-орбитальный член, аналогично работе [26] .
    Микро-макро (ММ) подход был использован также в работе Мёллера и Никса [27].
    Макроскопическая часть энергии вычислялась на основе жидкокапельной [20] и капельковой [23] модели, а микроскопическая (оболочечная) часть - в соответствии с методом усреднения Струтинского [21]. Заметим по поводу вклада различных членов в полную энергию, что в области самых тяжелых ядер вариация первого члена оказывалась в пределах ~200 МэВ, а второго лишь ~12 МэВ. Именно оболочечная поправка обеспечивает существование сверхтяжелых элементов.
    Cпецифика предлагаемой в [27] формулы для масс в том, что объемная энергия включает поправку на симметрию, а обобщенно-поверхностная энергия записывается ( для правильного вычисления порога деления) в виде интеграла с потенциалами юкавского и экспоненциального типа. Кроме того, формула содержит постоянный член, вигнеровскую энергию и энергию зарядовой асимметрии. Несмотря на включение в рассмотрение эффекта собственной структуры нуклонов и учет энергии связи атомных электронов точность формулы не очень высока (σ = 0,835 МэВ, а максимальное отклонение ~2,5 МэВ). Однако благодаря присутствию в различных членах формулы параметров, зависящих от формы ядра, она позволяет находить равновесную форму ядра и оценивать в частности вероятность спонтанного деления сверхтяжелых элементов.
    Аналогичный подход был использован Смолянчуком и Собичевским [29] в теоретическом анализе проблемы сверхтяжелых элементов с той разницей, что в членах. содержащих зависимость от формы ядра. учитывались более высокие порядки мультипольности вплоть до восьмого.       Проблеме сверхтяжелых элементов был посвящен ряд выполненных недавно теоретических работ [30-35]. Наилучшие результаты в смысле согласия с последними экспериментальными измерениями энергий -распада Q_a элементов с Z > 100 были, как отмечалось в [56], получены в работах [31-35] При этом чаще всего использовался ММ-подход. Заметим однако, что говоря о предсказательной силе этих работ, следует иметь в виду, что параметризация формул производилась в них уже после опубликования части новых экспериментальных результатов по сверхтяжелым элементам. Для самых тяжелых элементов с Z > 104 наиболее близкие к эксперименту результаты содержатся  в статье Барана и др. [31]. Формула для масс в этой работе включает Люблинско-Страсбургский вариант макроскопической части и имеет вид:

M(Z,N,def) = ZM_p + NM_n – C₁Z ^2,39 – b_v (1 – k_vI²)A +
+ b_s(1 – k_sI2)A^2/3B_s + b_k(1 – k_kI²)A^1/3B_k + 3/5e²Z²/A ^1/3,

с параметрами b_v, b_s b_k, k_v ,k_s ,k_k ,B_s B_k C1. который необычен тем, что содержит член с Z в положительной дробной степени.
    С другой стороны, делались попытки прийти к массовым формулам исходя из теории ядерной материи [37-44] или же на основе использования эффективных ядерных потенциалов [32-36]. В частности эффективные потенциалы Скирма использовались в работах [32-34], причем в [33] рассматривались не только сферически симметричные ядра, но и учитывались деформации аксиального типа. Однако точность результатов расчетов для масс ядер обычно оказывается ниже, чем в методе макро-макроскопическом.
    Все обсуждавшиеся выше работы и предлагавшиеся в них массовые формулы были ориентировались на глобальное описание всей системы ядер посредством гладких функций ядерных переменных (A,Z и т.д) с прицелом на прогнозирование свойств ядер в далеких областях ( вблизи и за границей нуклонной стабильности, а также сверхтяжелых ядер). Формулы глобального типа включают также оболочечные поправки и содержат иногда значительное число параметров, но несмотря на это точность их сравнительно невелика (порядка 1 МэВ), и возникает вопрос о том насколько оптимально они и особенно их макроскопическая (жидкокапельная) часть отражают требования эксперимента.
    В связи с этим в работе Колесникова и Вымятнина [45] решалась обратная задача нахождения оптимальной массовой формулы, исходя из требования чтобы структура и параметры формулы обеспечивали наименьшее среднеквадратичное отклонение от эксперимента и чтобы это достигалось при минимальном числе параметров n, т.е. чтобы были минимальными как , так и показатель качества формулы Q = (n + 1). В результате отбора среди достаточно широкого класса рассмотренных функций (включая и те, которые использовались в опубликованных массовых формулах) в качестве оптимального варианта для энергии связи была предложена формула (в МэВ) [45]:

где S(Z,N)- простейшая (двухпараметрическая) оболочечная поправка, а Р(А) поправка на четность (см.( 6)) Оптимальная формула (12) при  9 свободных параметрах обеспечивает среднеквадратичное отклонение от экспериментальных значений = 1,07 МэВ при максимальном отклонении ~2,5 МэВ (согласно таблицам [66]).  При этом она дает лучшее (по сравнению с другими формулами глобального типа ) описание изобаров, удаленных от линии бета-стабильности и хода линии Z*(A), а член кулоновской энергии согласован с размерами ядер из экспериментов по рассеянию электронов. Вместо обычного члена пропорционального А^2/3 (отождествляемого обычно с “поверхностной” энергией) формула содержит член пропорциональный А^1/3 (присутствующий, кстати, под названием члена “кривизны “ во многих массовых формулах , например в [23- 25] ,[27] ). Точность расчетов B(A,Z) может быть увеличена при введении большего числа параметров, однако качество формулы ухудшается (возрастает Q). Это может означать, что класс функций использовавшихся в [45] не был достаточно полным, либо что следует использовать другой (не глобальный) подход для описания масс ядер.

4. Локальное описание энергий связи ядер

    Другой путь построения массовых формул основывается на локальном описании ядерной энергетической поверхности. Отметим прежде всего разностные соотношения, которые связывают массы нескольких (обычно шести) соседних ядер с числами нейтронов и протонов Z, Z+1, N, N+1. Они были первоначально предложены Гарвеем и Келсоном [46] и в дальнейшем уточнялись в работах других авторов ( например в [47] ). Использование разностных соотношений позволяет рассчитывать массы неизвестных, но близких к известным, ядер с высокой точностью порядка 0,1 – 0,3 МэВ. Однако приходится вводить большое число параметров. Например в работе [31] для вычисления масс 1241 ядер с точностью 0,2 МэВ потребовалось ввести 535 параметров. Недостатком является также то, что при пересечении магических чисел точность существенно снижается, а это означает, что предсказательная сила таких формул для сколько-нибудь далеких экстраполяций невелика.
    Другой вариант локального описания ядерной энергетической поверхности основывается на идее ядерных оболочек. Согласно многочастичной модели ядерных оболочек взаимодействие между нуклонами не сводится целиком к созданию некоторого среднего поля в ядре. Кроме него следует учитывать еще дополнительное (остаточное) взаимодействие, которое проявляется в частности в виде спинового взаимодействия и в эффекте четности. Как показали де Шалит, Талми и Тибергер [48,49], в пределах заполнения одной и той же нейтронной (под)оболочки энергия связи нейтрона (B_n) и аналогично ( в пределах заполнения протонной (под)оболочки) энергия связи протона (В_р) меняются линейным образом в зависимости от числа нейтронов и протонов, а полная энергия связи является квадратичной функцией Z и N. К аналогичному заключению приводит анализ экспериментальных данных по энергиям связи ядер в работах [50-54] . Причем выяснилось, что это справедливо не только для сферических ядер (как это предполагалось де Шалитом и др.) , но и для областей деформированных ядер.
    Путем простого разбиения системы ядер на области между магическими числами можно (как показал Леви [51] ) описать энергии связи квадратичными функциями Z и N по крайней мере не хуже, чем с помощью глобальных массовых формул [24-34]. Более серьезный с теоретической точки зрения подход, основанный на работах [48,49] , был использован Зельдесом [54.55]. Он также разбивал систему ядер на области между магическими числами 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, но энергия взаимодействия в каждой из таких областей включала не только квадратичное по Z и N парное взаимодействие нуклонов и кулоновское взаимодействие, но и так называемое деформационное взаимодействие, содержащее симметричные полиномы по Z и N степени более высокой, чем второй.
    Это позволило значительно улучшить описание энергий связи ядер, хотя привело к увеличению числа параметров. Так для описания 1280 ядер с = 0,278 МэВ потребовалось ввести 178 параметров. Все же неучет подоболочек привел к довольно существенным отклонениям вблизи Z = 40 ( ~1,5 МэВ), вблизи N =50 ( ~0,6 МэВ) и в области тяжелых ядер (>0,8 МэВ ). Кроме того, возникают трудности при желании согласовать значения параметров формулы в разных областях из условия непрерывности энергетической поверхности на границах.
    В связи с этим кажется очевидной необходимость учета эффекта подоболочек. Однако в то время, когда главные магические числа установлены надежно и в теоретическом и в экспериментальном отношении, вопрос о субмагических числах оказывается весьма запутанным. Фактически нет надежно установленных общепризнанных субмагических чисел (хотя в литературе отмечались нерегулярности некоторых свойств ядер при числах нуклонов 40, 56,64 и других). Причины относительно небольших нарушений регулярностей могут быть различны, Например, как отмечали Гепперт-Майер и Иенсен [17] причиной нарушения нормального порядка заполнения соседних уровней может быть различие в величине их угловых моментов и как следствие в энергиях спаривания. Другой причиной является деформация ядра. Колесников [52,53] совместил проблему учета эффекта подоболочек с одновременным отысканием субмагических чисел на основе разбиения области ядер между соседними магическими числами на такие части, чтобы в пределах каждой из них энергии связи нуклонов (B_n и B_p) можно было описать линейными функциями Z и N, и при условии, что полная энергия связи является непрерывной функцией всюду, в том числе и на границах областей. Учет подоболочек позволил снизить среднеквадратичное отклонение от экспериментальных значений энергий связи до = 0,1 МэВ [52,53], т.е до уровня ошибок эксперимента. Разбиение системы ядер на более мелкие (субмагические) области между  главными магическими числами приводит к увеличению числа междумагических областей и, соответственно, к в ведению большего числа параметров, но при этом значения последних в разных областях удается согласовывать из условий непрерывности энергетической поверхности на границах областей и тем самым уменьшить число свободных параметров.
    Например в области самых тяжелых ядер ( Z>82, N>126) при описания ~800 ядер с = 0,1 МэВ благодаря учету условий непрерывности энергии на границах число параметров уменьшилось более, чем на одну треть (стало 136 вместо 226).
    В соответствии с этим энергию связи протона - энергию присоединения протона к ядру (Z,N) - в пределах одной и той же междумагической области можно записать в виде:

(13)

где индекс i определяет четность ядра по числу протонов: i = 2 означает Z - четное, а i =1 - Z - нечетное, a_i и b_i - константы общие для ядер с различными индексами j, определяющими четность по числу нейтронов. При этом , где _pp - энергия спаривания протонов, а , где Δ_pn - энергия pn –взаимодействия.
    Аналогично энергия связи (присоединения) нейтрона записывается как:

(14)

где c_i и d_i-константы, _, где δ_nn- энергия спаривания нейтронов, а ,  Z_k и N_l -наименьшие из (суб)магических чисел протонов и соответственно нейтронов, ограничивающих область {k,l}.
    В (13) и (14) учитывается различие между ядрами всех четырех типов четности: чч, чн, нч и нн. В конечном итоге при таком описании энергий связи ядер энергетическая поверхность для каждого типа четности разбивается на связанные между собой сравнительно небольшие куски , т.е. становится как бы мозаичной поверхностью.

5. Линия бета – стабильности и энергии связи ядер

    Еще одна возможность описания энергий связи ядер в областях между главными магическими числами, основывается на зависимости энергий бета-распада ядер от их удаленности от линии бета-стабильности. Из формулы Бете-Вейцзекера следует, что изобарные сечения энергетической поверхности представляют собой параболы (см (9),(10)), а линия бета-стабильности, выходя из начала координат при больших А все более отклоняется в сторону нейтронно-избыточных ядер. Однако реальная кривая бета-стабильности представляет собой отрезки прямых (см.рис.3) с разрывами в местах пересечения магических чисел нейтронов и протонов. Линейная зависимость Z* от A вытекает также из многочастичной модели ядерных оболочек де Шалита и др. [48,49]. Экспериментально наиболее значительные разрывы линии бета-стабильности (ΔZ*0,5-0,7) происходят при пересечении магических чисел N, Z = 20, N = 28, 50, Z = 50, N и Z = 82, N = 126). Значительно слабее проявляются субмагические числа. В промежутке между главными магическими числами значения Z* для минимума энергии изобаров с достаточно хорошей точностью ложатся на линейно усредненную (прямую) линию Z*(А). Для области самых тяжелых ядер (Z>82, N>136) Z* выражается формулой (см.[52,53])

Рис.5. Зависимость энергий бета распада от Z - Z*. D = 0.75 для А неч. и D = 1.9  для А чет.

    Как было показано в [51-53], в каждой из междумагических областей (т.е между главными магическими числами) энергии бета-плюс и бета-минус распада с хорошей точностью оказываются линейной функцией Z – Z^*(A) . Это демонстрируется на рис.5 для области Z>82, N>126, где построена зависимость величины + D от Z – Z*(A), в целях удобства выбраны ядра с четными Z; D – поправка на четность, равная 1,9 МэВ для ядер с четными N (и Z) и 0,75 MэB для ядер с нечетными N (и четными Z). Учитывая, что для изобара с нечетным Z энергия бета-минус распада - равняется со знаком минус энергии бета-плюс распада изобара с четным зарядом Z+1, а (A,Z) = -(A,Z+1), график на рис 5 охватывает все без исключения ядра области Z>82, N>126 как с четными, так и с нечетными значениями Z и N. В соответствии со сказанным [52,53]

= +k(Z*(A) – Z) - D ,

(16)

где k и D - константы для области, заключенной между главными магическими числами. Кроме области Z>82, N>126, как показывается в [53], аналогичные линейные зависимости (15) и (16) справедливы и для других областей, выделяемых главными магическими числами.
    Используя формулы (15) и (16), можно оценить энергию бета-распада любого (даже пока недоступного для экспериментального изучения ) ядра рассматриваемой субмагической области, зная лишь его заряд Z и массовое число А. При этом точность расчета для области Z>82, N>126, как показывает сопоставление с ~200 экспериментальными значениями таблицы [66] составляет от = 0,3 МэВ для нечетных А и до 0,4 МэВ для А четных при максимальных отклонениях порядка 0,6 МэВ, т.е выше, чем при использовании массовых формул глобального типа [23-45]. И это достигается при использовании минимального числа параметров (четырех в формуле (16) и еще двух в формуле (15) для кривой бета-стабильности). К сожалению для сверхтяжелых ядер провести аналогичное сопоставление в настоящее время невозможно ввиду отсутствия экспериментальных данных.
    Знание энергий бета распада и плюс к этому энергии альфа-распада для одного лишь изобара (A,Z) позволяет подсчитать энергии альфа-распада других ядер с тем же массовым числом А, в том числе и достаточно удаленных от линии бета-стабильности. Это особенно важно для области самых тяжелых ядер, где альфа-распад является главным источником информации об энергиях ядер. В области Z > 82 линия бета-стабильности отклоняется от линии N = Z вдоль которой происходит альфа-распад так, что ядро, образующееся после вылета альфа-частицы, приближается к линии бета-стабильности. Для линии бета-стабильности области Z > 82 (cм (15)) Z^*/A = 0,356, тогда как при альфа-распаде Z/A = 0,5 . В результате ядро (A-4, Z-2) по сравнению с ядром (A,Z) оказывается ближе к линии бета стабильности на величину (0,5 - 0,356)^.4 = 0,576, а ее энергия бета-распада становится на 0.576^.k = 0.576^.1.13 = 0,65 МэВ меньше по сравнению с ядра (A,Z). Отсюда из энергетического (,) цикла, включающего ядра (A,Z), (A,Z+1), (A-4,Z-2), (A-4,Z-1) следует, что энергия альфа-распада Q_a ядра (A,Z+1) должна быть на 0,65 МэВ больше, чем изобара (A,Z). Таким образом, при переходе от изобара (A,Z) к изобару (A,Z+1) энергия альфа распада возрастает на 0,65 МэВ. При Z>82, N>126 это в среднем очень неплохо оправдывается для всех ядер (независимо от четности). Средне-квадратичное отклонение вычисленных Q_a для 200 ядер рассматриваемой области составляет лишь 0,15 МэВ ( а максимальное около 0,4 МэВ) несмотря на то, что пересекаются субмагические числа N =152 для нейтронов и Z = 100 для протонов.

Для завершения общей картины изменения энергий альфа-распада ядер в области тяжелых элементов на основе экспериментальных данных по энергиям альфа распада было рассчитано значение энергии альфа-распада для фиктивных ядер, лежащих на линии бета-стабильности, Q^*_a. Результаты представлены на рис.6. Как видно из рис. 6, общая стабильность ядер по отношению к альфа-распаду после свинца быстро возрастает (Q^*_a падает) до А235 (область урана), после чего Q^*_a постепенно начинает расти. При этом можно выделить 5 областей примерно линейного изменения Q^*_a:

Рис. 6. Альфа – стабильность тяжелых элементов

Расчет Q_a по формуле

позволяет оследовательно находить энергии альфа-распада при известном Q^*_a с точностью = 0,2 МэВ для всех ядер с Z>82, N>126.

Вместо (22) можно также записать:

6. Тяжелые ядра, сверхтяжелые элементы

    В последние годы был достигнут значительный прогресс в изучении сверхтяжелых ядер; были синтезированы изотопы элементов с порядковыми номерами от Z = 110 до Z = 118 [56 -65]. При этом особую роль сыграли эксперименты проведенные в ОИЯИ в Дубне, где в качестве бомбардирующей частицы использовался изотоп ⁴⁸Са, содержащий большой избыток нейтронов [56-62], Это позволило синтезировать нуклиды более близкие к линии бета-стабильности и поэтому более долгоживущие и распадающиеся с меньшей энергией. Трудности, однако в том, что цепочка альфа распада образующихся в результате облучения ядер не заканчивается на известных ядрах и поэтому идентификация образующихся продуктов реакции, особенно их массового числа не однозначна. В связи с этим, а также для понимания свойств сверхтяжелых ядер, находящихся на границе существования элементов необходимо сопоставление результатов экспериментальных измерений с теоретическими моделями.
    Ориентацию могла бы дать систематика энергий - и -распада, учитывающая новые данные по трансфермиевым элементам. Однако опубликованные до настоящего времени работы [88-91] основывались на довольно старых экспериментальных данных почти двадцатилетней давности и поэтому оказываются мало полезными.
    Что касается теоретических работ, то следует признать,  что их выводы далеко не однозначны. Прежде всего это зависит от того какая выбрана теоретическая модель ядра (для области трансфермиевых ядер наиболее приемлемыми считаются макро-микро модель, метод Скирма-Хартри-Фока и модель релятивистского среднего поля). Но даже в рамках одной и той же модели результаты зависят от выбора параметров и от включения тех или иных поправочных членов. Соответственно повышенная стабильность прогнозируется при ( и вблизи) различных магических числах протонов и нейтронов.

Рис.7. Сравнение результатов расчетов Qa работы [29] с экспериментом [56-66].

    Так Мёллер [72] и некоторые другие теоретики [73,74] пришли к заключению, что кроме общеизвестных магических чисел ( Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82 и N = 126) должно проявляться как магическое еще число Z = 114 в области трансфермиевых элементов, а вблизи Z = 114 и N = 184 должен существовать остров относительно стабильных ядер ( некоторые экзальтированные популяризаторы поспешили пофантазировать по поводу новых якобы стабильных сверхтяжелых ядер и о связанных с ними новых источниках энергии). Однако на деле в работах других авторов [75-79] магичность Z = 114 отвергается и вместо этого магическими числами протонов объявляются Z = 126 или 124.
    С другой стороны в работах [80],[81] утверждается, что магическими являются числа N = 162 и Z = 108. Однако с этим не согласны авторы работы [82]. Расходятся мнения теоретиков и относительно того должны ли ядра с числами Z = 114, N = 184 и с числами Z = 108, N = 162 быть cферически-симметричными или же они могут быть деформированными.
    Что касается экспериментальной проверки теоретических предсказаний о магичности числа протонов Z = 114, то в экспериментально достигнутой области с числами нейтронов от 170 до 176 выделенности изотопов 114 элемента (в смысле их большей стабильности ) по сравнению с изотопами других элементов визуально не наблюдается .

Рис. 8. Сравнение расчетов Qa по "оптимальной" формуле (см. [45]) с экспериментом [56-66] для ядер с четным Z > 100.

Рис. 9. Сравнение расчетов Qa по "оптимальной" формуле (см. [45]) с экспериментом [56-66] для ядер с нечетным Z > 100.

    Сказанное иллюстрируется на 7, 8 и 9. На рис 7, 8 и 9 кроме экспериментальных значений энергий альфа-распада Q_a трансфермиевых ядер, нанесенных точками, показаны в виде кривых линий результаты теоретических расчетов. На рис.7 приводятся результаты расчетов по макро-микро модели работы [29], для элементов с четными Z, найденные с учетом мультипольности деформаций до восьмого порядка.
    На рис. 8 и 9 представлены результаты расчетов Q_a по оптимальной формуле [45] для, соответственно, четных и нечетных элементов. Отметим, что в [29] параметризация производилась с учетом экспериментов, выполненных 5-10 лет назад, тогда как в [45] параметры не корректировались с момента опубликования работы.
    Общий характер описания трансфермиевых ядер ( с Z > 100) в [29] и [45] примерно одинаков - среднеквадратичное отклонение 0,3 МэВ, однако в [29] для ядер с N > 170 ход зависимости кривой Q_a(N) отличается от экспериментальной тогда как в [45] достигается полное соответствие, если учесть существование подоболочки N = 170.
     Следует констатировать, что массовые формулы в ряде опубликованных в последние годы работ [30-35] дают также достаточно хорошее описание энергий Q_a для ядер трансфермиевой области (0,3-0,5 МэВ), а в работе [30] расхождение в Q_a для цепочки самых тяжелых ядер ²⁹⁴118 ²⁹⁰116 ²⁸⁶114 оказывается в пределах экспериментальных ошибок ( правда для всей области трансфермиевых ядер 0,5 МэВ, т.е хуже, чем, например, в [29]).
    Выше в разделе 5.был описан простой метод вычисления энергий альфа-распада ядер с Z>82, основанный на использовании зависимости энергии альфа-распада Q_a ядра (А,Z) от расстояния от линии бета-стабильности Z-Z^*, которая выражается формулами (22,23).Необходимые для расчета Q_a(A,Z) значения Z^* находятся по формуле (15), а Q_a^* -из рис.6 или по формулам (17-21). Для всех ядер с Z>82, N>126 точность расчета энергий альфа распада оказывается 0,2 МэВ, т.е. по крайней мере не хуже, чем для массовых формул глобального типа. Это иллюстрируется в табл. 1, где сопоставляются результаты расчета Q_a по формулам (22,23) с экспериментальными данными, содержащимися в таблицах изотопов [66]. Кроме того, в табл. 2 приводятся результаты расчетов Q_a для ядер с Z > 104 расхождения которых с недавними экспериментами [56-64] остается в пределах тех же 0,2 МэВ.
    Что касается магичности числа Z = 108, то как видно из рис.7, 8 и 9, существенного эффекта повышения стабильности при этом числе протонов не происходит. О том, наcколько значителен эффект оболочки N = 162, в настоящее время судить трудно ввиду отсутствия надежных экспериментальных данных. Правда в работе Дворжака и др.[67] с помощью радиохимического метода был выделен продукт, распадающийся путем испускания альфа частиц с довольно большим временем жизни и сравнительно малой энергией распада, который был отождествлен с ядром ²⁷⁰Hs с числом нейтронов N = 162 (соответствующее значение Q_a на рис. 7 и 8 помечено крестиком). Однако результаты этой работы расходятся с выводами других авторов [68-71].
    Таким образом можно констатировать, что пока нет серьезных оснований утверждать о существовании в области тяжелых и сверхтяжелых ядер новых магических чисел и связанного с ними повышения стабильности ядер кроме установленных ранее подоболочек N = 152 и Z =100. Что касается магического числа Z =114, то, конечно, нельзя полностью исключить (хотя это не представляется весьма вероятным), что эффект оболочки Z =114 вблизи центра острова стабильности (т.е.вблизи N = 184) мог бы оказаться значительным, Однако эта область пока что недоступна для экспериментального изучения.
    Для нахождения субмагических чисел и связанных с ними эффектов заполнения подоболочек логичным представляется метод описаный в разделе 4. Как было показано в [52,53] (см. выше - раздел 4), можно выделить области системы ядер, внутри которых энергии связи нейтронов B_n и энергии связи протонов B_p меняются линейным образом в зависимости от числа нейтронов N и числа протонов Z, а всю систему ядер разбить на междумагические области, внутри которых справедливы формулы (13) и (14). (Суб)магическим числом можно назвать границу между двумя областями регулярного (линейного) изменения B_n и B_p, а под эффектом заполнения нейтронной (протонной) оболочки– понимать разность энергий B_n ( B_p) при переходе из одной области в другую. Субмагические числа заранее не задаются, а находятся в результате согласования с экспериментальными данными линейных формул (11) и (12) для B_n и B_p при разбиения системы ядер на области, см раздел 4, а также [53,83].

Рис.10. Приведенные (на линию бета-стабильности) энергии связи нейтронов.

    Как видно из формул (11) и (12), B_n и B_p являются функциями Z и N. Чтобы получить представление о том, как меняется B_n в зависимости от числа нейтронов и каков эффект заполнения различных нейтронных (под)оболочек оказывается удобным произвести приведение энергий связи нейтронов на линию бета-стабильности. Для этого при каждом фиксированном значении N находилось B_n^* B_n(N,Z*(N)), где (согласно (15)) Z^*(N) = 0,5528Z + 14,1. Зависимость B_n^* от N для ядер всех четырех типов четности представлена на рис.10 для ядер с N > 126. Каждая из точек на рис.10 соответствует среднему значению приведенных на линию бета-стабильности значений B_n^* для ядер одной и той четности с одним и тем же N.
    Как видно из рис.10, B_n* испытывает скачки не только при общеизвестном магическом числе N = 126 (падение на 2 МэВ) и при субмагическом числе N = 152 (падение на 0,4 МэВ для ядер всех типов четности ), но и при N = 132, 136, 140, 144, 158, 162, 170.Характер этих подоболочек оказывается различным. Дело в том, что величина и даже знак оболочечного эффекта оказывается различным для ядер различного типа четности. Так при переходе через N = 132 B_n^* понижается на 0,2 МэВ для ядер с нечетными N, но на столько же повышается для ядер с четными N . Средняя же по всем типам четности энергия С (линия С на рис 10) разрыва не испытывает. Рис. 10 позволяет проследить, что происходит при пересечении других перечисленных выше субмагических чисел. Существенно, что средняя энергия С либо не испытывает разрыва, либо меняется на ~0,1 МэВ в сторону убывания (при N = 162), или возрастания (при N = 158 и N = 170).
    Общая тенденция изменения энергий B_n^*такова: после заполнения оболочки N =126 энергии связи нейтронов растут до N =140, так, что средняя энергия С достигает 6 МэВ, после чего она уменьшается примерно на 1 МэВ у самых тяжелых ядер.

Рис.11. Приведенные (на линию бета-стабильности) энергии связи протонов.

    Аналогичным образом были найдены энергии протонов, приведенных на линию бета-стабильности B_p^* B_p(Z, N*(Z)) при учете (следующей из (15)) формулы N^*(Z) = 1,809N – 25,6. Зависимость B_p^* от Z представлена на рис.11. По сравнению с нейтронами энергии связи протонов испытывают более резкие колебания при изменении числа протонов Как видно из рис.11, энергии связи протонов B_p^* испытывают разрыв кроме главного магического числа Z = 82 (уменьшение B_p^* на 1.6 МэВ) при Z = 100, а также при субмагических числах 88, 92, 104, 110. Как и в случае нейтронов пересечение протонных субмагических чисел приводит к различным по величине и знаку оболочечным эффектам. Среднее значение энергии С не меняется при пересечении числа Z = 104, но понижается на 0,25 МэВ при пересечении чисел Z = 100 и 92 и на 0,15 МэВ при Z = 88 и на столько же повышается при Z = 110.
    На рис.11 прослеживается общая тенденция изменения B_p* после заполнения протонной оболочки Z = 82 -это рост до урана (Z = 92) и постепенное спадание с оболочечными колебаниями в области самых тяжелых элементов. При этом среднее значение энергии меняется от 5 МэВ в области урана до 4 МэВ для самых тяжелых элементов и вместе с этим уменьшается энергия спаривания протонов,

Рис.12. Энергии спаривания nn, pp и np Z > 82, N > 126.

Рис. 13. Bn как функция Z и N.

    Как следует из рис.10 и 11, в области самых тяжелых элементов помимо общего уменьшения энергий связи происходит ослабление связи внешних нуклонов между собой, что проявляется в уменьшении энергии спаривания нейтронов и энергии спаривания протонов, а также нейтрон-протонного взаимодействия. Это демонстрируется в явном виде на рис.12.
    Для ядер, лежащих на линии бета-стабильности энергия спаривания нейтронов _nn определялась как разность энергии четно(Z)-нечетного(N) ядра B_n*(N) и полусуммы
    (B_n^*(N-1) + B_n^*(N+1))/2 для четно-четных ядер ; аналогично энергия спаривания протонов _pp находилась как разность энергии нечетно-четного ядра B_р^*(Z) и полусуммы ( B_p^*(Z-1) + B_p^*(Z+1))/2 для четно-четных ядер. Наконец, энергия np-взаимодействия _np находилась как разность B_n^*(N) четно-нечетного ядра и B_n^*(N) четно-четного ядра.
    Рис.10,11 и 12 не дают, однако, полного представления о том, как меняются энергии связи нуклонов B_n и B_p (и все то, что с ними связано) в зависимости от соотношения между числами нейтронов и протонов. С учетом этого в дополнение к рис. 10,11 и 12 в целях наглядности приводится ( в соответствии с формулами (13) и (14)) рис.13, на котором представлена пространственная картина энергий связи нейтронов B_n как функции числа нейтронов N и протонов Z, Отметим некоторые общие закономерности , проявляющиеся при анализе энергий связи ядер области Z>82 , N>126 , в том числе на рис.13 Энергетическая поверхность B(Z,N) непрерывна всюду, в том числе и на границах областей. Энергия связи нейтронов B_n (Z,N), меняющаяся линейно в каждой из междумагических областей, испытывает разрыв только при пересечении границы нейтронной (под)оболочки _, тогда как при пересечении протонной (под)оболочки может измениться лишь наклон B_n /Z.
    Наоборот B_р(Z,N) испытывает разрыв только на границе протонной (под)оболочки, а на границе нейтронной (под)оболочки может лишь измениться наклон B_р /N. В пределах междумагической области B_n растет при увеличении Z и медленно убывает при увеличении N; аналогично B_р растет при увеличении N и убывает при увеличении Z. При этом изменение B_р происходит значительно быстрее, чем B_n.
    Численные значения B_р и B_n приведены в табл. 3, а значения определяющих их параметров, (см.формулы (13) и (14)) - в табл 4. Значения n₀^нч n₀^нн, а также р₀^чн и р₀^нн в табл.1 не приводятся, но они находятся как разности В*_n для нечетно-четных и четно-четных ядер и, соответственно четно-четных и нечетно-нечетных ядер на рис. 10 и как разности В*_р для четно-нечетных и четно-четных и соответственно нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер на рис.11.
    Анализ оболочечных эффектов, результаты которого представлены на рис 10-13 зависят от входных экспериментальных данных- главным образом от энергий альфа- распада Q_a и изменение последних могло бы привести к корректировке результатов этого анализа. Это в особенности относится к области Z > 110, N > 160, где иногда заключения делались на основании одной единственной энергии альфа-распада. Что касается области Z < 110, N < 160, где результаты экспериментальных измерений за последние годы практически стабилизировались, то результаты анализа, приведенные на рис. 10 и 11 практически совпадают с теми, которые были получены в [85-87] двадцать и более лет назад.
    Настоящая работа представляет собой обзор различных подходов к проблеме энергий связи ядер с оценкой их достоинств и недостатков. Работа содержит достаточно большой объем информации о работах различных авторов. Дополнительную информацию можно получить, ознакомившись с оригинальными работами, многие из которых процитированы в списке литературы настоящего обзора, а также в материалах конференций по массам ядер, в частности конференций AF а МС (публикации в ADNDT № 13 и 17 и др.) и конференциям по ядерной спектроскопии и структуре ядра, проводящимся в России. Таблицы настоящей работы содержат результаты собственных оценок автора, относящиеся к проблеме сверхтяжелых элементов (СТЭ).
    Автор глубоко благодарен Б.С.Ишханову, по предложению которого была подготовлена настоящая работа, а также Ю.Ц.Оганесяну и В.К.Утенкову за самую свежую информацию об экспериментальных работах, проводимых в ЛЯР ОИЯИ по проблеме СТЭ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  

1. N.Ishii,S.Aoki,T.Hatsidi, Nucl.Th./0611096.
2. M.M.Nagels,J.A.Rijken,J.J.de Swart, Phys.Rev.D,17,768(1978).
3. S.Machleidt,K.Hollande,C.Elsla,Phys.Rep.149,1(1987).
4. M.Lacomb et al.Phys.Rev.C21,861(1980).
5. V.G.Neudachin,N.P.Yudin et al.Phys.rEv.C43,2499(1991).
6. R.B.Wiringa,V.Stoks,R.Schiavilla,Phys.Rev.C51,38(1995).
7. R.V.Reid, Ann. Phys.50,411(1968).
8. H.Eikemeier,H.Hackenbroich.Nucl.Phys/A169,407(1971).
9. D.R.Thomson,M.Lemere,Y.C.Tang,Nucl.Phys.A286,53(1977).
10. Н.Н.Колесников,В.И.Тарасов,ЯФ,35,609(1982).
11. Г.Бете,Ф.Бечер, Физика ядра,ДНТВУ, 1938.
12. J.Carlson,V.R.Pandharipande,R.B.Wiringa,Nucl.Phys.A401,59(1983).
13. D.Vautherin,D.M.Brink,Phys.Rev.C5,629(1976).
14. M.Beiner et al.Nucl.Phys.A238,29(1975).
15. C.S.Pieper,R.B.Wiringa,Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.51,53(2001).
16. В.А.Кравцов, Массы атомов и энергии связи ядер.Атомиздат.1974.
17. М.Гепперт-Майер, И.Иенсен Элементарная теория ядерных оболочек,ИИЛ, М-1958.
18. W.Elsasser, J.Phys.rad.5,549(1933); Compt.Rend.199,1213(1934).
19. K.Guggenheimer, J.Phys.rad. 2,253(1934).
20. W.D.Myers,W.Swiatecki, Nucl.Phys.81,1(1966).
21. В.М.Струтинский ,ЯФ, 3,614(1966).
22. S.G.Nilsson.Kgl.Danske Vid.Selsk.Mat.Fys.Medd.29,N16,1(1955).
23. W.D.Myers, ADNDT,17,412(1976); W.D.Myers,W.J/Swiatecki, Ann.Phys.55,395(1969).
24. H.v.Groot,E.R.Hilf,K.Takahashi,ADNDT,17,418(1976).
25. P.A.Seeger,W.M.Howard, Nucl.Phys.A238,491(1975).
26. J.Janecke, Nucl.Phys.A182,49(1978).
27. P.Moller, J.R.Nix, Nucl.Phys.A361,49(1978)
28. M.Brack et al. Rev.Mod.Phys.44,320(1972).
29. R.Smolenczuk, Phys.Rev.C56.812(1997); R.Smolenczuk, A.Sobicziewsky, Phys.Rev.C36,812(1997).
30. I.Muntian et al.Phys.At.Nucl.66,1015(2003).
31. A.Baran et al.Phys.Rev.C72,044310(2005).
32. S.Gorely et al.Phys.Rev.C66,034313(2002).
33. S.Typel,B.A.Brown,Phys.Rev.C67,034313(2003).
34. S.Cwiok et al.Phys.Rev.Lett.83,1108(1999).
35. V.Render, Phys.Rev.C61,031302®(2002).
36. D.Vautherin,D.M.BrikePhys.Rev.C5,626(1979).
37. K.T.Davies et al.Phys.Rev.177,1519(1969).
38. A.K.Herman et al.Phys.Rev.147,710(1966).
39. R.J.Mc.Carty,K.Dover, Phys.Rev.C1,1644(1970).
40. K.A Brueckner,J.L.Gammel,H.WeitznerPhys.Rev.110,431(1958).
41. K Hollinder et al.Nucl.Phys.A194,161(1972).
42. M.Yamada. Progr.Theor.Phys.32,512.(1979).
43. V.Bauer,ADNDT,17,462((1976).
44. M.Beiner,B.J.Lombard,D.Mos, ADNDT,17,450(1976).
45. Н.Н.Колесников,В.М.Вымятнин. ЯФ.31,79 (1980).
46. G.T.Garvey,I.Ktlson, Phys.Rev.Lett.17,197(1966).
47. E.Comey,I.Kelson, ADNDT,17,463(1976).
48. I.Talmi,A.de Shalit, Phys.Rev.108.378(1958).
49. I.Talmi,R.Thiberger,Phys.Rev.103,118(1956).
50. A.B.Levy, Phys,Rev.106,1265(1957).
51. Н.Н,Колесников, ЖЭТФ, 30,889(1956).
52. Н.Н.Колесников, Вестник МГУ, № 6,76(1966).
53. Н.Н.Колесников, Изв.АН СССР,сер.физ.,49,2144(1985).
54. N.Zeldes. Shell model interpretation of nuclear masses. The Racah institute of physics, Jerusalem,1992.
55. S.Liran,N.Zeldes, ADNDT,17,431(1976).
56. Yu.Ts.Oganessian et al.Phys.Rev.C74,044602(2006).
57. Yu.Ts.Oganessian et al.Phys.Rev.C69,054607(2004); Препринт ОИЯИ Е7-2004-160.
58. Yu.Ts.Ogantssian et al.Phys.Rev.C62,041604®(2000)
59. Yu.Ts.Oganessian et al.Phts.Rev.C63,0113301®,(2001).
60. S.Hofmann,G.Munzenberg,Rev.Mod.Phys.72,733(2000).
61. S.Hofmann et al.Zs.Phys.A354,229(1996).
62. Yu.A.Lazarev et al. Phys.Rev.C54,620(1996).
63. A.Ghiorso et al.Phys.Rev.C51,R2298(1995).
64. G.Munzenberg et al.Zs.Phys.A217,235(1984).
65. P.A.Vilk et al. Phys.Rev.Lett.85,2697(2000).
66. Tables of isotopes.8-th.ed.,R.B.Firestone et al. New York,1996.
67. J.Dvorak et al Phys.Rev.Lett.97,942501(2006).
68. S.Hofmann et al.Eur.Phys.J.A14,147(2002).
69. Yu.A.Lazarevet al.Phys.Rev.Lett.73,624(1996).
70. A.Ghiorso et al.Phys.Lett.B82,95(1976).
71. A.Turleret al.Phys.Rev.C57,1648(1998).
72. P.Moller,J.Nix,J.Phys.G20,1681(1994).
73. W.D.Myers,,W.Swiatecki,Nucl.Phys.A601,141(1996).
74. A.Sobicziewsky,Acta Phys.Pol.B29,2191(1998).
75. J.B.Moss,Phys.Rev.C17,813(1978).
76. F.Petrovich et al.Phys.Rev.Lett.37,558(1976).
77. S.Cwiok et al Nucl.Phys.A611,211(1996).
78. K.Rutz et al.Phys.Rev.C56,238(1997).
79. A.Kruppa et al.Nucl,Phys.C61,034313(2000).
80. Z.Patyk et al.Nucl.Phys.A502,591(1989).
81. M.Bender et al. Rev.Vod.Phys.75,21(2002).
82. P.Moller et al.Nucl.Phys.A469,1(1987).
83. J.Carlson, R.Schiavilla. Rev.Mod.Phys.70,743(1998).
84. V.I.Goldansky.Nucl.Phys.A133,438(1969).
85. Н.Н.Колесников, А.Г.Демин. СообщениеОИЯИ,Р6-9420(1975).
86. Н.Н.Колесников, А.Г.Демин.ВИНИТИ, №7309-887(1987).
87. Н.Н.Колесников, ВИНИТИ. №4867-80(1980).
88. V.E.Viola, A.Swart, J.Grober. ADNDT,13,35.(1976).
89. A.HWapstra, G.Audi, Nucl.Phys.A432,55.(1985).
90. K.Takahashi, H.v.Groot. AMFC.5,250(1976).
91. R.A.Glass, G.Thompson, G.T.Seaborg. J.Inorg. Nucl.Chem. 1,3(1955).