К.Козловская

Описание появления масс нейтрино в рамках стандартной модели. Осцилляции заряженных лептонов, как следствие осцилляций нейтрино

1.1 Стандартная Модель

    Стандартная модель - теория со спонтанным нарушением калибровочной симметрии, успешно описывающая слабые взаимодействия. Она была предложена Глешоу, Вайнбергом и Саламом.
    Эта модель содержит, в частности, объяснения возникновения массы элементарных частиц в рамках механизма спонтанного нарушения симметрии, предложенного Хиггсом.

1.2 Механизм Хиггса для стандартной модели

    Механизм появления ненулевых масс у частиц обобщает теорему Голдстоуна, в которой говорится, что спонтанное нарушение глобальной симметрии приводит к появлению безмассовой, безспиновой частицы – голдстоуновского бозона, на случай нарушения локальной симметрии.
    Фактически, мы делаем предположение, что Вселенная заполнена некоторым полем со спином 0, называемым хиггсовым полем, которое является дуплетом в SU(2)-пространстве и переносит ненулевой U(1) гиперзаряд, а также является синглетом в цветном пространстве. Это предположение аналогично предположению, что Вселенная заполнена электромагнитным полем, источниками которого являются электрически заряженные частицы. Но в случае хиггсова поля мы не задаем вопроса на данном уровне рассмотрения о его источниках. Калибровочные бозоны и фермионы могут взаимодействовать с хиггсовым полем и вследствие этого в его присутствии оказываются частицами с ненулевыми массами.
    Хиггсово поле, пронизывающее все пространство, является SU(2) дуплетом (Элементы группы SU(n) представляются унитарными матрицами типа n x n):

.

Здесь ⁺ - заряженное поле, ⁰- нейтральное. Каждое из полей в правой части комплексное:

⁺ = (₁ + i₂),
⁰ = (₃ + i₄).

Лагранжиан для такого поля в стандартной модели имеет вид:

Здесь первое слагаемое называют “членом кинетической энергии”, второе “массовым членом”, последнее слагаемое описывает самодействие поля интенсивности .
    Лагранжиан L инвариантен относительно калибровочного преобразования

Это так называемое глобальное калибровочное преобразование, так как оно задается во всем пространстве-времени (α – некоторое число, τ – матрицы Паули).
    Чтобы установить характер спектра возбуждений, нужно начать с нахождения минимум потенциала, который дает классическое основное состояние системы. Затем следует разложить поле в окрестности значения, обеспечивающего минимум потенциала, и найти искомые возбужденные состояния. В этом заключается обычная процедура теории возмущений. В теории поля условились основное состояние называть “вакуумом”, а возбуждения – “частицами”. Массы частиц определяются формой Лагранжиана в окрестности классического минимума или минимумов.
    При выполнении всех указанных преобразований над лагранжианом (1), получим дополнительные члены вида

(g₂)² и Z_μZ + A_μA,

соответствующие появлению W и Z бозонов с массами соответственно

M_W = νg₂/2 и M_Z = ν.

1.3 Массы фермионов

    Затем, после объединения хиггсовых полей в SU(2) дуплет можно построить SU(2)-инвариантное взаимодействие фермионов с хиггсовыми полями. В лагранжиан нужно включить теперь следующий член взаимодействия лептонов и хиггсовых бозонов:

где .

Проведя над лагранжианом (2) операции аналогичные сделанным в разделе 2, приведем его к виду:

где H – поле электрически нейтральной физической хиггсовой частицы.
    Первый член в выражении (3) имеет вид, ожидаемый для массы фермиона. Т.е. для массы электрона получаем значение

m_e=g_eν/.

    Второй член в Лагранжиане (3) свидетельствует о том, что в теории имеются вершины типа электрон – хиггсов бозон, с которым ассоциируется константа g_e/=m_e/ν. Она определяет вероятность, с которой электрон (или позитрон) испускает хиггсов бозон, или с которой хиггсов бозон распадается на пару e⁺e^-.

1.4 Массовый член для нейтрино

    В рассмотренной теории “массового члена” для нейтрино не появляется. Формально это связано с тем, что предполагается отсутствие состояния правого нейтрино ν_R, так что член, подобный (2), который мог бы привести к “массовому члену” ν_RR построить нельзя. Заметим, что по этой причине нейтрино не взаимодействует с хиггсовым бозоном Н.
    Если бы мы все же захотели обобщить (2) так, чтобы у нейтрино получилась масса, нам пришлось бы ввести новое фермионное поле ν_R., обладающее нулевым зарядом относительно SU(2)×U(1), что привело бы к появлению у ν_e, массы.
    При этом в новом лагранжиане появляется член, отвечающий за лептонное смешивание аналогичный матрице Кабибо-Кабояши-Москавы для кварков. Лептонное число для каждого сорта теперь не сохраняется, зато сохраняется суммарное лептонное число всех типов лептонов, аналогичное барионному числу для всех сортов кварков. При этом возникают новые возможности для эффектов СР-нарушения (одновременного нарушения зарядовой С и пространственной Р четности ). Т.е., такое предположение приводит к возможности переходов между лептонами разных поколений. Та же ситуация имеется с кварками, где, если не накладывать требования на сохранение кварковых ароматов, взаимодействие Хиггса будет перемешивать различные ароматы.

2.1 Осцилляции заряженных лептонов

    На сегодняшний день нет точных экспериментальных данных, указывающих на осцилляции заряженных лептонов. Однако возможность экспериментального поиска таких осцилляций была рассмотрена Видомом и Сриваставой.
    Теоретическое обоснование их предположения коротко можно описать следующим образом:
    Рассматривался двойной распад

π^- μ^- + _μ,
μ^- e^- + _e + ν_μ

В системе где π^- покоится имеем:

P_total|π^-> = 0,
H_total|π^-> = c²|π^->.

Волновая функция записывается как

ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν) = < r_μ,t_μ;r_ν,t_ν|π >,

т.е. законы сохранения переписываются в виде:  

-i(_μ+ _ν)ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν) = 0,
i{(∂/∂t_μ) + (∂/∂t_ν)}ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν) = M_πc²ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν).

И имеем решение в виде:

ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν) = exp{-i(M_πc²/)(t_μ+ t_ν)}ψ(r_μ,-r_ν;t_μ,-t_ν).

И теперь, если мы предполагаем, что ψ(r_μ,t_μ;r_ν,t_ν) осциллирует относительно (r_ν,t_ν) то должны наблюдаться также осцилляции в (r_ν,t_ν).

Источники:

1. Курс лекций Э.Э.Бооса “Физика стандартной модели”
2. Курс лекций О.И.Василенко “Релятивистская квантовая теория”
3. Консультации у А.И. Студеникина
4. Г.Кейн “Современная физика элементарных частиц”
5. М.Пескин, Д.Шредер “Введение в квантовую теорию поля”
6. E.Sassaroli, Y.N.Srivastava, and A.Widom, “Charged Lepton Oscillations”, hep-ph/9509261.
7. A.Widom and Y. N. Srivastava, “Charged Lepton Oscillations and (g-2) measurements”, hep-ph/9612290 13 Dec 1996.