5. Эксперимент по резонансному рассеянию гамма квантов
(scattering experiment)

5.1 Общая Формула.

    Рассмотрим рассеяние монохроматических γ-квантов образцом толщиной d:

Рис 5.1

Число рассеянных квантов слоем dx на глубине x дается выражением:

N₀σ^Se^-nσ^x ·ndx ,

где N₀ - число упавших на всю мишень квантов, n - число ядер в 1 см³, σ^S - сечение рассеяния, σ - суммарное сечение всех процессов взаимодействия квантов с веществом (как с ядрами так и с электронной оболочной атомов образца).
Число квантов N, рассеянных всем слоем d:

где v = nd - число атомов (ядер) на единицу поперечной площади облучаемой поверхности.
    Пусть теперь на образец падает поток не монохроматических фотонов, а фотонов с энергетическим распределением N₀(Е) (число фотонов с энергией Е в единичном интервале энергий) и рассматривается рассеяние в районе резонанса Е_r с образованием конечного ядра в состоянии Е_i , т.е. процесс 0→Е_r→E_i . Тогда энергии рассеянных фотонов E` = E<sub>r</sub> - E<sub>i</sub> (отдачей ядра пренебрегаем) и для их числа N(E`) при условии, что N₀(E) практически не меняется в области резонанса, имеем

где без учета доплеровского уширения будет иметь брейт-вигнеровскую форму (2.2); N₀(E_r) - число падающих на мишень фотонов с энергией равной энергии резонанса;

α(E,E`) = v[σnucl(E) + σat(E) + σat(E`)].

(5.3)

В формуле (5.3) учтено, что падающие кванты взоимодействуют с ядром и электронной оболочкой, а рассеянные только с электронной оболочкой. σ_nucl(E) включает в себя все процессы взаимодействия фотонов с ядром (т.е. в основном резонансное поглощение их ядром), в том числе  рассеяние на ядре как на целом объекте.
Формулу (5.1) будем называть общей формулой эксперимента по рассеянию.

5.2 Схема эксперимента по рассеянию. Основная формула.

рис. 5.2

    Рассмотрим схему эксперимента. В прямом пучке из-за фона работать нельзя. Детектор помещают под углом (обычно > 90^o) и он вырезает телесный угол Δ и имеет эффективность регистрации γ-квантов с энергией E`, равную ε(E`). Тогда число зарегистрированных им рассеянных квантов будет определяться выражением, которое мы назовем основной формулой эксперимента по рассеянию:

,	(5.4)
где ,

где сечение рассеяния с учетом доплеровского уширения, а

α(E,E`) = v[σDnucl(E) + σat(E) ] + v`σat(E`).

(5.5)

В формуле (5.5) учтено, что толщина мишени в направлении движения γ`-квантов может отличаться от толщины мишени в направлении прямого пучка (эти толщины на рисунке даются соответственно отрезками AB и CB). Для симметричной мишени v = v` и

(E,E`) = v[σDnucl(E) + σat(E) + σat(E`)],

(5.6)

т.е. приходим к формуле (5.3).

5.3 Толщина мишени.

    Для тонкой мишени (Е,Е`) << 1 и в выражении (5.4) под интегралом дробь можно заменить единицей

Следовательно, (см. формулу (2.4)) получаем:

    Здесь учтено то, что площадь под γ-линией не зависит от того, есть доплеровское уширение или нет.
    Рассмотрим вопрос о том, что можно считать тонкой мишенью при отсутствии и наличии доплеровкого уширения. σ_at(E) слабо меняется от Е и обычно в районе максимума резонанса можно записать σ_nucl >>σ_at. При этом условие тонкой мишени (α(Е,Е`)<<1) сводится к условию σ_nucl(E_r)v << 1 или (т.к. v = nd) толщина тонкой мишени определяется условием

    Поскольку обычно σ_nucl(E_r) велико (сотни барн), то в отсутствии доплеровского уширения тонкие мишени слишком тонкие чтобы обеспечить достаточное число рассеянных фотонов.
За счет доплеровского уширения сечение резонансного рассеяния в максимуме "просаживается" по крайней мере в десятки раз и это позволяет считать тонкими во столько же раз более толстые мишени, что существенно увеличивает скорость набора информации.
Критерий тонкой мишени при наличии доплеровского уширения:

5.4 Калибровка установки

    Рассмотрим основную формулу эксперимента по рассеянию (5.4). Ограничимся случаем, когда Г_i = Г₀ и мишень тонкая (критерий (5.9)). Тогда интеграл в (5.4) I(i) = I(0), где

и соотношение (5.4) сводится к виду

т.к. E' = E_r - E₀ = E_r (E₀ = 0 и отдачей ядра пренебрегаем). Для того, чтобы использовать соотношение (5.12) с целью определения Г₀²/Г, нужно знать все пять множителей в правой части перед интегралом I(0) . Все эти множители определяются условиями эксперимента, кроме W(θ). Последний полностью определяется мультипольностью фотона (в дальнейшем ограничимся четно-четными ядрами, для которых спин и четность основного состояния 0⁺).
Из оставшихся четырех множителей (N₀, ε, v, Δ) известны v - число ядер в мишени, а также, с меньшей точностью, ε(E_r) - эффективность регистрации детектором попавшего в него фотона с энергией E_r и ΔΩ- телесный угол, вырезаемый детектором. Наименее известной величиной является число фотонов в пучке
N₀(E_r). Целесообразно сразу определять произведение трех множителей N₀, ε и т.е. функцию

при разных Е. Для этого выбирают ядерные уровни, расположенные при разных Е, для которых хорошо известны ширины (Г₀, Г и Г_i), т.е. интегралы I(0), I(i) и, измеряя для этих уровней (E_r), получают S(E). Так как эта функция гладкая, то знание ее в "опорных" точках позволяет интерполяцией найти ее и во всех промежуточных значениях энергии, при которых требуется ее знание.Подобная процедура нахождения S(Е) по опорным уровням называется калибровкой установки. В качестве калибровочных γ-переходов часто используются переходы в ядрах ¹¹B(E_r = 2.125, 4.445 и 5.021 МэВ), ²⁷Al (E_r = 2.981 , 3.957 и 4.410 МэВ), ²⁰⁸Pb (E_r = 4.842, 5.293 и 5.512 МэВ)и ряд других.
    Прежде, чем идти дальше, рассмотрим вкратце принцип работы основных γ-детекторов - Ge(Li) и HPGe. Первый из них хранится и работает при температуре жидкого азота и использует кристалл германия, легированный литием. Второй может храниться при комнатной температуре (работает он также при температуре жидкого азота) и использует кристалл сверхчистого (High Purity) германия.

5.5 Германиевые детекторы

рис. 5.3

    Эти детекторы в большинстве случаев имеют коаксиальную симметрию. Чувствительный объем детектора достигает 300-400 см³ . Энергетическое разрешение ΔЕ 2 кэВ для : E_γ = 1,3 МэВ.
К сердцевине и внешней стороне прикладывается разность потенциалов несколько кВ и кристалл охлаждается до температуры жидкого азота. Кратко рассмотрим структуру функции отклика германиевого детектора на монохроматическое γ-излучение. Эта функция имеет два разных вида в зависимости от того, какое из нижеследующих неравенств реализуется: E_γ > 2m_ec² =1.02 MэВ или E_γ < 2m_ec². Величины 2m_ec² - порог рождения е⁺е^- - пары. Существуют три главных процесса взаимодействия γ-кванта с веществом:

1. Фотоэффект с функцией отклика рис. 5.4 а
2. Комптон-эффект с функцией отклика рис. 5.4 b
2. Эффект рождения е+е- - пар с функцией отклика рис. 5.4 c

Три этих пика соответствуют трем разным вариантам развития событий при рождении е⁺е^- - пар:

	Позитрон е+ в детекторе быстро тормозится и затем сталкивается с одним из электронов и аннигилирует с образованием двух аннигиляционных фотонов 1 и 2 с энергиями по 0.511 МэВ, причем оба этих фотона поглощаются в детекторе и он выдает сигнал с фиксированной (в пределах энергетического разрешения ΔЕ детектора ) амплитудой, соответствующей энергии Eγ: A= Eγ
	Один из аннигиляционных фотонов выходит из детектора без регистрации (ускальзает- escape). Его энергия вычитается из Eγ и амплитуда А = Eγ - 0.511 МэВ.
	Оба анигиляционных фотона ускользают из области детектора и А = Eγ - 1.022 МэВ.

Пик полного поглощения при рождении пар сливается с фотопиком и полная функция отклика детектора имеет примерно следующий вид

Детектор имеет разную эффективность к трем разным γ-пикам

рис 5.7

5.6 Энергетическое разрешение Ge - детекторов.

Обычно энергетическое разрешение детекторов γ-квантов определяют по γ-линиям радиоактивного источника ⁶⁰Co(E_γ1 = 1.17 МэВ, E_γ2 = 1.33 МэВ). Оценим предельные энергетические разрешения Ge-детектора.
На образование одной пары "электрон-дырка" в германии требуется порядка 3 эВ (в сцинтилляторе около 350 эВ, в ионизационной камере около 35 эВ). Энергетическое разрешение детектора зависит от флуктуаций в числе N пар носителей зарядов. Амплитуда сигнала пропорциональна N. Распределение числа носителей - это распределение Пуассона. Его дисперсия D, как известно, определяется соотношением . Откуда

В соотношении (5.14) в качестве N можно брать данные единственного опыта (а не ).
   Оценим N для германиевого детектора в случае E_γ = 1.2-1.3 МэВ (т.е. для линий ⁶⁰Co).
N(Со) = 1.2·10⁶ эВ/3 эВ = 4·10⁵.

ΔE/E = ΔN/N =  N(Co)^-1/2(4·10⁵)^-1/21.5·10^-3.

Таким образом ΔE_γ = (1.2-1.3 МэВ)·1.5 10^-3 = 2·10^-3 МэВ.
Предельное разрешение Ge - спектрометра по крайне мере в 3 раза выше, чем у лучшей ионизационной камеры и в 10 раз выше, чем у лучшего сцинтилляционного детектора (на практике это различие достигает нескольких десятков).
   Наилучшим энергетическое разрешение Ge - детекторов становится при охлаждении. Обычно используют температуру жидкого азота (77 К). Использование охлаждения делает различие в разрешении между Ge - детекторами и остальными еще более заметным.
Для калибровки Ge - спектрометров по энергии (т.е. для получения зависимости амплитуды сигнала от энергии γ-кванта) используют радиактивные источники и γ-линии ЯРФ для хорошо известных γ-переходов (а также аннигиляционную линию 0,511 МэВ, которая всегда присутствует в спектре если E_γ > 1,022 МэВ).
     Удобными калибровочными образцами, дающими интенсивные -пучки, являются ¹¹B, ²⁷Al, ⁴⁸Ti, ⁵⁶Fe, ²⁰⁸Pb (могут быть взяты естественные изотопы этих элементов). В следующем пункте даны характеристики некоторых используемых для калибровки γ-линий.

5.7 Еще раз о толщине мишени.

Вспомним критерий тонкой симметричной мишени (соотношение (5.10)). При этом не будем пренебрегать атомным сечением σ_at (для удобства рассмотрим чистую ЯРФ).

где σ^D_nucl(E_r) = σ^D(E_r) - максимальная величина доплеровски уширенного ядерного сечения резонансного рассеяния. Будем считать тонкой мишенью такую, для которой правая часть в 10 раз больше левой в выражении (5.15), т.е., обозначая такую толщину d₁₀, можно записать

или, учитывая, что n = ρN_A/A = ρ/M_NA, где ρ - плотность вещества мишени, А - массовое число, N_A - число Авогадро, M_N = 1,67 10^-27 г (масса нуклона), получаем

где σ выражено в см². Если брать сечение в барнах (10^-24 см²), то окончательно имеем

Рассмотрим в качестве примера известные уровни четырех изотопов - ¹¹B, ²⁷Al, ⁴⁸Ti и ²⁰⁸Pb.

Для ¹¹B, ²⁷Al, ⁴⁸Ti доплеровская ширина Δ >> Г и доплеровски уширенное сечения сильно "просаживается", что позволяет использовать довольно толстые мишени (миллиметры), в которых эффектом поглощения можно пренебречь. Для ²⁰⁸Pb Г > Δ и "доплеровские" сечения практически не отличаются от недоплеровских. При этом тонкие мишени имеют толщины порядка 0.1 мм и их использовать неудобно из-за малого выхода. В этом случае предпочитают использовать толстые (миллиметр) мишени и учитывать эффект поглощения численным интегрированием.