Динамика цепной реакции деления
|
| dN/dt = N(k – 1)/T, | (1) |
откуда
,
где N0 – начальное число нейтронов и
τ0 = T/(k –1).
Величина T лежит в пределах 10-4 – 10-5 с для медленных
реакций и 10-7 – 10-8 с для быстрых. Отсюда видно, что
даже в самом благоприятном для управления случае (T = 10-4 c)
количество нейтронов возрастет в 100 раз при k –1 = 10-4 за 4.6 с, а
при k –1 = 10-3 за 0.46 с. Но увеличение интенсивности реакции в 100
раз ведет к перегреву установки и выходу ее из строя. Для быстрых реакций
перегрев развивается значительно быстрее и поэтому еще более опасен.
Посмотрим теперь, что дает учет запаздывающих нейтронов. Для
простоты будем считать, что среднее время жизни Тз
нейтронно-активного осколка по отношению к вылету запаздывающего нейтрона
одинаково для всех осколков. Полный коэффициент размножения k можно представить
в виде суммы
| k = kмгн + kз | (2) |
коэффициентов размножения соответственно на мгновенных и запаздывающих
нейтронах. Если доля запаздывающих нейтронов равна 
, то
| kмгн = (1 - )k, kз
= k. |
(3) |
Уравнение (1) теперь заменится системой
 , |
(4) |
где через С обозначено число осколков, способных к испусканию
запаздывающих нейтронов. Первое из уравнений (4) отражает тот факт, что число
нейтронов изменяется за счет испускания мгновенных нейтронов (kмгн
мгновенных нейтронов на один поглощенный) и за счет распада нейтронно-активных
осколков. Смысл второго уравнения состоит в том, что изменение числа
нейтронно-активных ядер обусловлено рождением в среднем kз ядер при
захвате одного нейтрона и распадом этих ядер.
Исследование системы (4) начнем с критического режима, в
котором по определению
k = 1, т. е. kмгн = 1–β, kз = β. В этом случае система
имеет стационарное решение dN/dt = dC/dt = 0, для которого
| Cкр = NкрTзβ/T. | (5) |
Доля запаздывающих нейтронов в ядерных горючих колеблется от 0.2 до 0.7%. Среднее время жизни запаздывающих нейтронов составляет приблизительно 10 с (на самом деле имеется несколько разных нейтронно-активных осколков с временами жизни от долей секунды до минуты; это усложнение делает расчет более громоздким, но не меняет качественных выводов). Отсюда следует, что во всех реальных случаях
Tзβ >>T,
так что
| Cкр >> Nкр | (6) |
Этот результат может показаться парадоксальным: в активной зоне при
протекании стационарной цепной реакции нейтронно-активных ядер как минимум на
два порядка больше, чем нейтронов. Но этот вывод становится понятным из
неравенства (6), согласно которому нейтронно-активные ядра рождаются в сотни раз
реже, чем нейтроны, но зато живут в десятки тысяч, а то и в сотни миллионов раз
дольше. Уже отсюда видно, что роль запаздывающих нейтронов в кинетике цепной
реакции не может быть незначительной.
Рассмотрим теперь режим, отличный от критического. В этом
случае решение можно искать в виде
| N = N0exp(t/τ), C = C0exp(t/τ), | (7) |
При подстановке этих выражений в систему (4) для 
получается
квадратное уравнение, решение которого имеет вид
 . |
(8) |
В подкритическом режиме (k < 1) оба корня отрицательны, что соответствует отрицательным показателям экспонент в (7), т.е. гашению реакции. В надкритическом режиме (k > 1) один из корней (8) положителен и обеспечивает нарастание реакции. При k – 1 << 1 с учетом (6) этот положительный корень с хорошей точностью равен
| τ = Tзβ/(k –1) = τ0Tзβ/T. | (9) |
Из (9) видно, что при небольшой степени надкритичности скорость нарастания
интенсивности цепной реакции вообще не зависит от времени жизни одного поколения
нейтронов и определяется только запаздывающими нейтронами. Поскольку величина Тзβ
имеет порядок 5.10-2
с, то ясно, что наличие запаздывающих нейтронов по крайней мере на два порядка
снижает скорость нарастания интенсивности. Например, при k – 1 = 10-3
за 0.5 с число нейтронов увеличится уже не в сто раз (см. выше), а лишь на 10%.
Таким образом, наличие запаздывающих нейтронов решающим
образом упрощает проблему регулирования скорости протекания цепной реакции,
причем не только на медленных, но и на быстрых нейтронах.
