6. Обобщенная модель ядра

    Ограничимся рассмотрением предельного варианта этой модели, в котором предполагается:

1. Сильная связь внешних, по отношению к заполненным оболочкам, нуклонов с поверхностью остова, в результате чего возникает устойчивая равновесная деформация ядра. При этом будем считать, что деформированное ядро имеет форму эллипсоида вращения.
2. Выполнение условия адиабатичности (медленности) вращения деформированного ядра по отношению к характерным скоростям внутреннего движения:
   _вращ<< _внутр.
3. Возможность приближенного описания движения нуклонов во внутренней, вращающейся системе координат в рамках одночастичной оболочечной модели путем введения деформированной потенциальной ямы.

    В рассматриваемой модели учитываются два типа ядерных движений: коллективное вращение ядра относительно внешней системы координат (x, y, z), обусловленное его деформацией, и одночастичное движение нуклонов относительно внутренней, вращающейся системы координат (1, 2, 3) в деформированной потенциальной яме.

Полный момент количества движения ядра складывается из коллективного вращательного момента ядра и внутреннего момента нуклонов ':

Моменты 'и прецессируют вокруг направления полного момента количества движения . Так как аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро может вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси симметрии 3, то из этого вытекает (см. рис. 6.1), что вектор перпендикулярен оси 3 и проекции полного и внутреннего угловых моментов на ось симметрии должны быть равны между собой:

    Раньше мы говорили (см. раздел 4), что момент количества движения в квантовой механике характеризуют двумя квантовыми числами: величиной J и проекцией M на некоторую фиксированную ось квантования z. Более точно фиксировать направление углового момента в пространстве нельзя. Однако, если физическая система обладает аксиальной симметрией, ее угловой момент может иметь определенные проекции (M, K) одновременно и на неподвижную ось z и на вращающуюся ось симметрии 3. Появление нового квантового числа K обусловлено дополнительной ротоционной симметрией системы.
    Итак, состояние движения аксиально-симметричного ядра (|JMK>) можно характеризовать набором квантовых чисел , J, M, K, где - квантовые числа, определяющие, наряду с K, внутреннее состояние нуклонной системы (это может быть, например, перечень одночастичных уровней деформированного потенциала, занимаемых нуклонами в рассматриваемом состоянии). Энергетические уровни ядра (2J + 1) раз вырождены по квантовому числу M, так как энергия ядра не зависит от ориентации спина относительно внешней системы координат. Проекция K полного углового момента на ось симметрии создается за счет внутреннего движения нуклонов (см. (6.2)), поэтому энергия ядра, вообще говоря, зависит от квантового числа K. Однако, в таком ядре будут вырождены состояния, отличающиеся только знаком K, так как выбор положительного направления оси 3 физически не определен: аксиально-симметричное эллипсоидальное ядро обладает плоскостью симметрии перпендикулярной к оси 3. На самом деле, из двух вырожденных (± K)-состояний нужно построить одно истинное ядерное состояние, являющиеся их линейной комбинацией, которое остается инвариантным при отражениях в плоскости симметрии и поворотах на вокруг оси перпендикулярной к оси 3. Поэтому мы будем считать, что волновая функция ядра характеризуется K > 0. Ниже мы покажем, что каждое внутреннее состояние с определенным значением K  > 0 может стать основой для возникновения серии вращательных уровней.
    Полную энергию деформированного ядра можно представить в виде суммы энергии коллективного вращения относительно внешней системы координат и энергии движения нуклонов относительно внутренней системы координат:

E = (2)/(2) + Eодн = ( - ')2/(2) + Eодн = = Eвращ + Eвнутр + Eвзаим ,

(6.3)

где

Eвращ = (2 - J23)/(2)

(6.4)

- собственно вращательная энергия (этот член зависит только от угловых, коллективных переменных, характеризующих ориентацию ядра относительно внешней системы координат);

(6.5)

- внутренняя энергия ядра (она зависит только от переменных, характеризующих движение нуклонов во внутренней системе координат);

Eвзаим = -2(J1J'1 + J2J'2)/(2)

(6.6)

- член, который описывает взаимодействие внутренних и вращательных степеней свободы (так называемое взаимодействие Кориолиса).
В квантовой механике величине (6.3) ставится в соответствие оператор энергии, называемый также гамильтонианом; при этом угловые моменты и ' рассматриваются как операторы (см. определение оператора проекции момента количества движения в разделе 5).
    Оператор Е_взаим, вообще говоря, смешивает различные внутренние состояния ядра друг с другом. Действительно, входящие в Е_взаим операторы проекций угловых моментов J₁, J'₁,... меняют проекцию K угловых моментов и ' на ось симметрии 3 (см. 6.2) на величину K = ± 1. Поэтому силы Кориолиса могут смешивать внутренние нуклонные состояния, у которых значения К отличаются на 1. Мера энергетического воздействия сил (6.6) на внутреннее движение нуклонов определятся величиной ~ ²/(2) ~ ²ω_вращ. Характерная энергия перехода для смешиваемых состояний равна |E_одн(К) - Е_одн(К ± 1)|. Из этого следует, что взаимодействием внутреннего и вращательного движения нуклонов можно пренебречь тогда и только тогда, когда выполняется условие адиабатичности ω_вращ<< ω_внутр = |E_одн(К) - Е_одн(К ± 1)|. Это условие, как правило, выполняется для четно-четных ядер, но нередко нарушается для деформированных ядер с нечетным значением массового числа А, свойства которых, как и сферических нечетных ядер, определяются одночастичным состоянием нечетного неспаренного нуклона (см. об этом ниже). Как видно из рис. 6.5, в деформированном потенциале энергетическое расстояние между уровнями с K = 1 может быть очень мало (~ω_вращ), в результате чего при описании нечетных ядер часто возникает необходимость учета взаимодействия вращательных и внутренних степеней свободы ядра. Дальнейшее рассмотрение этой проблемы выходит за рамки данного обзора, поэтому мы будем предполагать, что условие адиабатичности выполняется (см. допущение 2).
    В этом случае проквантованная энергия деформированного сфероидального ядра может быть найдена как среднее от оператора энергии (6.3) по состоянию движения нуклонов |JMK>. Так как при адиабатическом вращении внутреннее состояние ядра не меняется, то при усреднении получим следующий результат:

E = {2[J(J + 1) - K2]/(2A ) + K,1/2A(J)}+ Eвнутр ,

(6.7)

где A(J) = (E_взаим)_{ср. при К=1/2} - поправка к вращательной энергии, возникающая в состояниях с К = 1/2 из-за действия сил Кориолиса, _K,1/2 - символ Кронекера.
    Происхождение поправки A(J) легко понять. Действительно, силы Кориолиса, как отмечалось выше, меняют проекцию K угловых моментов и ' на ось симметрии ядра на величину K = ± 1. Поэтому при действии оператора Е_взаим на состояние |JMK> будут рождаться состояния |JMK+1> и |JM|K-1|> (напомним, что каждое истинное ядерное состояние представляет суперпозицию ± К компонент, вследствие чего характеризуется модулем квантового числа К). Если ни одно из этих состояний не идентично исходному состоянию, то среднее от оператора Е_взаим по состоянию |JMK> будет равно 0. Это имеет место при К > 3/2. При К = 1/2 состояние |JMK> = | JM|K-1|>, поэтому A(J) = (E_взаим)_{ср. при К=1/2} 0. Поправка A(J) должна быть линейной функцией J, так как оператор E_взаим зависит от проекций углового момента линейным образом. Ее конкретное значение зависит от структуры внутренней волновой функции состояния |JMK=1/2>.
    Из формулы (6.7) видно, что каждое внутреннее состояние, характеризуемое энергией Е_внутр и проекцией J'₃ = K внутреннего момента количества движения на ось симметрии ядра, может стать основой для возникновения серии вращательных уровней, которые обычно называют вращательной полосой. Если K > 0 угловые моменты вращательных состояний могут принимать значения J = K, K + 1, K + 2,... При K = 0 возможны только четные значения угловых моментов вращательных состояний: J = 0, 2, 4, 6,... (доказательство этого результата полностью аналогично доказательству, проведенному в разделе 5.2 для аксиально-симметричного ротатора). На рисунках 6.2 и 6.3 показаны экспериментальные примеры вращательных полос, базирующихся на разных внутренних состояниях нечетного и четно-четного ядер.

    Займемся далее проблемой описания внутреннего движения нуклонов во вращающейся системе координат (1, 2, 3). В соответствии с допущением 3) внутреннее движение можно приближено свести к одночастичному движению нуклонов в аксиально-симметричном деформированном потенциале. В качестве такового будем использовать деформированный потенциал Нильссона (1955 г.):

(6.8)

где x₁, x₂ и x₃ - координаты нуклона во внутренней системе координат.
    Первый член в выражении (6.8) является потенциалом деформированного трехмерного гармонического осциллятора (ср. с (4.4)), частоты колебаний которого в направлении оси симметрии (₃) и в направлении перпендикулярном к ней () не совпадают между собой. К нему добавляется обычный спин-орбитальный член и член, который учитывает реальную радиальную зависимость оболочечного потенциала, опуская вниз одночастичные уровни энергии с большим орбитальным моментом l (D < 0).
    Частота одночастичных колебаний в первом приближении обратно пропорциональна размеру ядра в том направлении, в котором происходят колебания (см. упражнение 6.1). Пусть деформированное ядро имеет полуось a = R₀(1 + 2ε/3) вдоль оси симметрии эллипсоида и полуось b = R₀(1 - /3) в направлении перпендикулярном ей, где ε- параметр деформации (см. упражнение 3.5). Тогда, пренебрегая членами порядка ε², будем иметь
ω₃ 1/a = 1/[R₀(1 + 2ε/3)] R₀^-1(1 - 2ε/3) и 1/b = 1/[R₀(1 - ε/3)] R₀^-1(1 + ε/3). Следовательно, мы можем определить частоты ₃ и с помощью соотношений

3 = ω(1 - 2 /3) , = ω(1 + /3) ,

(6.9)

где ω - частота колебаний сферического гармонического осциллятора.
При малых значениях выполняется соотношение ₃₂ = ³, что соответствует сохранению объема ядра. Параметр был определен ранее (см. (4.5)). Параметры C и D подбираются так, чтобы при = 0 наилучшим образом воспроизводилась последовательность уровней сферического оболочечного потенциала (см. рис. (4.2)). Это дает следующие значения:

С -0.1ω D -0.02ω.

(6.10)

Рисунки 6.4 и 6.5 показывают как меняется энергетический спектр одночастичных состояний в потенциале Нильссона в зависимости от величины параметра деформации . При = 0 картина уровней такая же как в сферическом оболочечном потенциале. Возникновение аксиально-симметричной деформации снимает, с точностью до знака, вырождение по квантовому числу m K. В результате каждая nlj орбита расщепляется на (2j + 1)/2 двукратно вырожденных энергетических уровня в соответствии со значениями K = j, j - 1,...1/2 > 0. На каждом таком уровне могут находиться не более двух нуклонов одного сорта, отличающихся знаком (± K) проекции углового момента на ось симметрии 3.

    При движении нуклона в сфероидально деформированном потенциале строго сохраняются только две физические величины - проекция K углового момента нуклона на ось симметрии и четность . К ним можно добавить приближенно сохраняющуюся величину N - полное число квантов колебаний. В самом деле, действие деформации на одночастичное движение нуклона характеризуется энергией ( - ₃) = . С другой стороны, из-за сохранения четности, N может меняться самое малое на две единицы
( = (-1)^N в трехмерном осцилляторе - см. раздел 4.2), что предполагает переход между уровнями осциллятора, разделенными энергией 2>> . Следовательно, с хорошей точностью можно пренебречь несохранением квантового числа N.
    При малых деформациях одночастичные состояния можно характеризовать сферическими квантовыми числами l и j. С возрастанием состояния с различными l и j (но с одинаковыми K и четностью) начинают взаимодействовать друг с другом, поэтому задача описания одночастичных состояний сильно усложняется. Она снова упрощается, когда деформация становится большой ( > 0.3). В этом случае одночастичные волновые функции в потенциале (6.8) приблизительно совпадают с одночастичными волновыми функциями анизотропного осцилляторного потенциала (первый член в (6.8)), так как при больших члены C и D² можно трактовать как возмущения к деформированному осцилляторному потенциалу и заменить на их средние значения по соответствующему одночастичному состоянию.

При усреднении спин-орбитального взаимодействия получаем

C()ср = 2C,

(6.11)

Из этого выражения видно, что при больших деформациях будут энергетически разделяться одночастичные уровни с > 0, K = - 1/2 > 0, в которых проекции орбитального и спинового моментов нуклона на ось симметрии имеют разные знаки и уровни с > 0, K = + 1/2 > 0, в которых эти проекции имеют одинаковые знаки
    На рисунках 6.4 и 6.5 асимптотические квантовые числа N, n₃, , K показаны в квадратных скобках. Как видно из рисунков, для уровней с фиксированным значением N при больших положительных деформациях (вытянутое ядро) четко прослеживается тенденция уменьшения величины энергии уровня с ростом числа продольных квантов n₃, что находится в согласии с тем фактом, что в вытянутом ядре ₃ < (см. (6.9)). Влияние спин-орбитального взаимодействия при больших деформациях иллюстрируют пары орбит [1 0 1 3/2], [1 0 1 1/2]; [2 1 1 3/2], [2 1 1 1/2]; [2 0 2 5/2], [2 0 2 3/2] на рис. 6.4, а также орбиты [4 1 3 7/2], [4 1 3 5/2]; [4 1 1 3/2], [4 1 1 1/2]; [4 0 4 9/2], [4 0 4 7/2];... на рис. 6.5.
    Ранее отмечалось (см. раздел 4.3), что одночастичная оболочечная модель не может быть использована для описания основных и низколежащих возбужденных состояний ядер, имеющих устойчивую деформацию. Обобщенная модель снимает это ограничение. Согласно этой модели в основном состоянии сфероидального ядра нуклоны заполняют все низшие уровни энергии деформированного потенциала.
    Если ядро четно-четное, то на каждой заполненной нейтронной (протонной) орбите будут находиться по два нейтрона (протона) с разными знаками проекции углового момента на ось симметрии. В результате основное состояние четно-четного ядра будет иметь положительную четность и нулевую проекцию внутреннего углового момента на ось симметрии ядра:

Из этого вытекает, что спин J этого состояния также должен равняться нулю, так как оно служит основой для вращательной полосы с K = 0 и J = 0, 2, 4, 6,...
    Спин и четность основного состояния ядра с нечетным A будут определяться значениями квантовых чисел  одночастичного уровня, на котором находится последний непарный нуклон. На основном состоянии нечетного ядра базируется вращательная полоса с фиксированным K0 и J = K, K+1, K+2...
    Невращательные возбужденные состояния деформированных ядер образуются при переходе нуклонов с заполненных на незаполненные орбиты, расположенные выше уровня Ферми (последнего уровня, заполненного в основном состоянии).
    Приведем пример использования обобщенной модели для описания спина и четности основных состояний легких деформированных ядер. Рассмотрим нечетные ядра, приведенные в первом столбце таблицы 6.1. Согласно одночастичной оболочечной модели со сферическим потенциалом все они должны иметь в основном состоянии спин-четность J^π = (5/2)⁺, так как заполняется орбита 1d_5/2 (см. схему уровней на рис. 4.2). Однако, это противоречит экспериментальным данным, как видно из сравнения столбцов 4 и 5 таблицы 6.1.

Таблица 6.1

    Наблюдаемое несоответствие теории и эксперимента объясняется тем, что при заполнении оболочки 8 < N, Z < 20 возникает вытянутая сфероидальная деформация ядерной поверхности с ε δ 0.1 (см. рис. 5.4). В результате спин J основного состояния ядра с нечетным A определяется значением квантового числа K орбиты деформированного потенциала, на которую попадает непарный нуклон при данной деформации. Ядро ¹⁹F имеет четное число нейтронов и нечетное число протонов (см. столбцы 2 и 3 таблицы). Нечетный непарный протон размещается на орбите [2 2 0 1/2] c K^π = (1/2)⁺ (см. рис. 6.4), поэтому основное состояние этого ядра согласно обобщенной модели имеет J^π = (1/2)⁺ (см. последний столбец таблицы). В ядрах ²¹Ne, ²¹Na, ²³Na и ²³Mg непарная частица (нейтрон или протон) попадает на орбиту [2 1 1 3/2], поэтому эти ядра имеют в основном состоянии J^π = (3/2)⁺. Наконец, ядра ²⁵Mg и ²⁵Al имеют по пять частиц нечетной нуклонной компоненты в оболочке 8 < N, Z < 20. Четыре из них заполняют орбиты [2 2 0 1/2] и [2 1 1 3/2], а пятая, непарная располагается на орбите [2 0 2 5/2], вследствие чего спин-четность основных состояний ядер ²⁵Mg и ²⁵Al равняется (5/2)⁺.
    Мы рассмотрели простейший вариант обобщенной модели, который отличается от одночостичной оболочечной модели главным образом введением статической деформации среднего ядерного поля, приводящей к возникновению вращательных степеней свободы ядра. В более совершенных вариантах обобщенной модели учитываются также коллективные степени свободы, связанные с вибрациями ядерной поверхности около равновесной деформированной формы. Характерным примером таких вибраций может служить уровень энергии 821.19 КэВ ядра ¹⁶⁸Er (см. рис. 6.3), на котором основывается вращательная полоса K^π = 2⁺. Подобные состояния обнаружены почти у всех четно-четных деформированных ядер. Все они интенсивно распадаются в результате квадрупольных электромагнитных переходов на уровни основной вращательной полосы K^π = 0⁺ и интерпретируются как коллективные возбуждения ядра, обусловленные поперечными квадрупольными колебаниями ядерной поверхности относительно аксиально-симметричной равновесной формы. Более совершенные варианты обобщенной модели рассматривают также взаимодействие между разными вращательными полосами, вызываемое силами Кориолиса, о важности учета которого для нечетных ядер говорилось выше. Наконец, как и оболочечная модель, обобщенная модель может быть усовершенствована путем учета смешивания различных нуклонных конфигураций остаточными силами.

Упражнение 6.1

Рассмотрим гармонические колебания нуклонов в произвольном направлении x с потенциальной энергией . В центре ядра (x = 0) потенциальная энергия нуклона равна 0, а кинетическая энергия имеет максимальное значение. По мере перемещения нуклона от центра к переферии его кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет, пока, наконец, в некоторой точке x_пов он не остановится и не начнет снова двигаться к центру. Размер ядра D_x в направлении x определяется значением 2(x_пов)_f, где (x_пов)_f - координата точки поворота нуклона, имеющего наибольшую энергию, т.е. находящегося на уровне Ферми. Величина (x_пов)_f может быть найдена из соотношения

где E_f - максимальная кинетическая энергия нуклона. Согласно модели ферми-газа энергия Ферми E_f приблизительно не зависит от массового числа A (см. (2.6)). Поэтому из приведенного выше соотношения вытекает, что

Упражнение 6.2

Пронумеруем энергии вращательных уровней в порядке их возрастания: Е₁ < Е₂ < Е₃ < ..., начиная с уровня, лежащего в основании полосы. Тогда из формулы (6.5) получим

(Е3 - Е1)/(Е2 - Е1) =	{	10/3 > 3	для полосы с K = 0, J = 0, 2, 4,...
		2 + 1/(К + 1) < 3	для полос с K 0, J = К, К+1, К+2,...

Применяя это соотношение к вращательным уровням ядра ¹⁶⁸Er (см. рис. 6.3) получим, что (Е₃ - Е₁)/(Е₂ - Е₁) = 3.3; 2.327; 2.196 и 2.256 для первой, второй, третьей и четвертой вращательных полос, соответственно. Отсюда вытекает, что первая вращательная полоса, базирующаяся на основном состоянии, отвечает значению К = 0, вторая - К = 2.06, третья - К = 4.09 и четвертая - К = 2.9. Это находится в хорошем согласии с экспериментальными значениями К, приведенными на рисунке под каждой полосой.

Упражнение 6.3

Как видно из рис. 5.4, перечисленные ядра имеют деформацию   0.25. Сверяясь с рис. 6.5, мы найдем, что при такой деформации нечетный непарный протон в основных состояниях ядер с Z = 65, 67, 69 и 71 должен располагаться на орбитах [4 1 1 3/2], [5 2 3 7/2], [4 1 1 1/2] и [4 0 4 7/2]. Следовательно, спин и четность основных состояний рассматриваемых ядер равны (3/2)⁺, (7/2)^-, (1/2)⁺ и (7/2)⁺, соответственно.