35. Показать, что для частиц октета легчайших барионов с J^P = 1/2⁺ выполняется следующее правило: у кварков одинакового аромата спины параллельны.

Волновая функция бариона (системы из трех кварков) может быть записана в следующем виде

где 1, 2, 3 - совокупность всех координат и квантовых чисел кварков, а произведение четырех функций справа - это произведение соответственно цветовой (К - красный, З - зеленый, С - синий), пространственной, спиновой и изоспиновой частей волновой функции бариона. ψ(1, 2, 3) должна быть антисимметрична в целом к перестановке всех квантовых чисел и координат двух тождественных кварков (кварки u и d остаются тождественными, поскольку составляют изоспиновой дублет). При этом цветовая, пространственная, спиновая и изоспиновая функции в отдельности могут быть как симметричными (s), так и антисимметричными (a). ψ(К З С) всегда антисимметрична, так как кварки в барионе разноцветны. Для легчайших барионов орбитальные моменты кварков l = 0 и пространственная функция ψ(r₁ r₂ r₃) - симметрична. В этом случае (*) переписывается в виде

Отсюда следует, что в супермультиплетах легчайших барионов (например, октете J^P = 1/2⁺ и декуплете J^P = 3/2⁺) допустимы лишь такие кварковые комбинации, у которых спиновая и изоспиновая функции одновременно либо симметричны, либо антисимметричны, то есть спиново-изоспиновая функция либо
ψ_s(s₁ s₂ s₃) ψ_s(I₁ I₂ I₃), либо ψ_a(s₁ s₂ s₃) ψ_a(I₁ I₂ I₃).

Рассмотрим теперь протон (u u d). Запишем (**) в виде

Переставим u-кварки. Изоспиновая функция к таким перестановкам симметрична. Значит должна быть симметрична и спиновая функция. Это означает, что спины u-кварков обязаны быть параллельными. Спин d-кварка антипараллелен спинам u-кварков, чтобы результирующий момент протона (его спин) был равен 1/2. Итак, ψ(s_u s_u s_d) = ψ(↑↑↓). Эту ситуацию можно изобразить и так: p = u↑u↑d↓. Аналогично рассуждая, можно получить n = u↓d↑d↑, Ξ⁰ = u↓s↑s↑,Ξ⁻  = d↓s↑s↑.