3. Модели атомных ядер

    Свойства атомных ядер (кратко охарактеризованные в предыдущих разделах) оказалось невозможным интерпретировать в рамках единого теоретического подхода. Эта трудность связана, в первую очередь, с тем фактом, что в ядре действуют сильные взаимодействия, для которых до сих пор не существует последовательной теории, способной количественно воспроизвести свойства систем, связанных этими силами. Напомним, что для систем, связанных электромагнитными взаимодействиями, такая теория − квантовая электродинамика − существует. Поэтому свойства ядер оказывается возможным объяснить только в рамках моделей ядра. Рассмотрим несколько наиболее важных моделей ядра.

3.1. Модель заряженной жидкой капли.

    Экспериментально установленное распределение удельных энергий связи ядер по значениям чисел нуклонов в ядре А имеет следующие характерные черты:

1. В широкой области ядер удельная энергия связи очень слабо зависит от А;
2. Для ядер с малыми А удельная энергия имеет “спад”.
3. Для тяжелых ядер средняя удельная энергия связи меньше, чем для средних, причем с ростом А наблюдается снижение ее величины .
4. Для ядер с Z = N удельная энергия выше, чем для других ядер с тем же значением А.
5. Четно-четные ( по Z и N) ядра имеют в среднем большие значения , чем нечетно-четные, а нечетно-нечетные - меньшие.

    Первая из перечисленных (и главная ) особенность распределения удельных энергий связи ядер - следствие насыщения ядерных сил. Вторая связана с тем, что связи нуклонов, находящихся на поверхности ядра, с другими нуклонами ядра не полностью насыщены. Чем больший процент нуклонов находится на поверхности ядра, тем больше “убыль” энергии насыщения. (Этими особенностями ядерные силы оказываются подобны силам, действующим между молекулами жидкости). Третья особенность распределения объясняется тем, что протоны ядер участвуют не только в сильном (ядерном), но и в электромагнитном взаимодействии. Чем больше протонов, тем выше энергия кулоновского отталкивания. Четвертая и пятая особенности распределения - следствия оболочечной структуры ядра и симметрий, связанных с реализацией в ядре принципа Паули. Учет всех перечисленных свойств приводит к полуэмпирической формуле Вайцзеккера, или модели заряженной жидкой капли:

Коэффициенты в (3.1) подбираются из условий наилучшего совпадения кривой модельного распределения с экспериментальными данными. Поскольку такая процедура может быть проведена по-разному, существует несколько наборов коэфициентов формулы Вайцзеккера. Часто используются в (3.1) следующие:

a₁ = 15.6 МэВ, a₂ = 17.2 МэВ, a₃ = 0.72 МэВ, a₄ = 23.6 МэВ
δ = 0 (A-odd), δ = 34 МэВ(Z - even, N - even), δ = - 34 МэВ(Z - odd, N - odd)

Из экспериментальных значений масс Е = 92.2 МэВ;
Из ф-лы Вайцзеккера Е = 93.2 МэВ.

При делении изменяются поверхностная и кулоновская энергии, причем их изменения имеют разные знаки:

ΔE_surf = a₂·A^2/3(1-2^1/3) -0.25·a₂·A^2/3
ΔE_coulomb = a₃·Z²(1 - 2^-2/3)/A^1/3  0.37·a₃·Z² / A^1/3

Для тяжелого ядра с A = 240, Z = 92
ΔE_s -170 МэВ, ΔE_c 360 МэВ

В итоге “выигрыш” в энергии при делении тяжелого ядра составляет около 190 МэВ. Эта энергия расходуется, главным образом, на кинетические энергии ядер-продуктов.

Для данного ядра объемная энергия составляет около 950 МэВ,
поверхностная -272 Мэв,
кулоновская -133 МэВ,
энергия симметрии - 14 МэВ,
энергия спаривания -2 Мэв.
Следовательно энергия связи ядра равна 529 МэВ.

Спонтанный распад ядра возникает в случае, если кулоновское расталкивание протонов ядра начинает преобладать над стягивающими ядро ядерными силами. Оценка ядерных параметров, при которых наступает такая ситуация, может быть проведена из рассмотрения изменений в поверхностной и кулоновской энергиях при деформации ядра. Если деформация приводит к более выгодному энергетически состоянию, ядро будет спонтанно деформироваться вплоть до деления на два фрагмента. Количественно такая оценка может быть проведена следующим образом: при деформации ядро - не меняя своего объема - превращается в эллипсоид с осями

a = R(1 + ε), b = R(1 - ε/2)
V = 4πR³/3 = 4πab²/3

При деформации не меняется первый член ф-лы Вайцзеккера (3.1) , второй (поверхностная энергия) по абсолютной величине возрастает, а третий (кулоновская энергии) − уменьшается:

    Таким образом, деформация изменяет полную энергию ядра на величину ( далее учетен знак второго и третьего членов в (3.1))

Если величина изменения энергии (3.3) положительна, энергия связи ядра (3.1) будет расти, т.е. деформация будет энергетически выгодна и спонтанное деление возможно. Следовательно, барьер деления будет исчезать, когда значения (3.3) становятся больше нуля, что наступает при значениях

Следует подчеркнуть приближенный характер полученного результата как следствия классического подхода к квантовой системе - ядру.

3.2. Модель оболочек

    Модель оболочек является в настоящее время наиболее развитой и успешной из ядерных моделей. С ее помощью удается понять, почему для некоторых ядер удельные энергии связи и, особенно, энергии отделения нуклонов превышают те же величины для ядер с близкими значениями Z и А. Ядра, для которых этот эффект проявляется особенно ярко - т.е. ядра, значительно более устойчивые, чем их “соседи”, - называются магическими ядрами. У этих ядер числа протонов Z либо числа нейтронов N = А- Z равны одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 - т.н. магическим числам. Ядра, у которых и число протонов и число нейтронов - магические числа, называются дважды магическими и обладают особой устойчивостью. Однако и ряд других ядер, например, среди легких ядер , ядра ¹²С, ²⁸Si также имеют значительно большие, чем соседние ядра, значения энергий отделения нуклонов. Приведем для иллюстрации значения удельных энергий связи и энергий отделения протона и нейтрона от некоторых ядер с А = 12, 13 и 16:

    Из таблицы видно, что хотя удельная энергия связи ядра ¹²С меньше, чем у дважды магического ядра ¹⁶О, энергии отделения протонов и нейтронов для первого выше. Этот факт и аналогичные ему являются следствием оболочечной структуры ядра. Очень важным достижением ядерной модели оболочек также является теоретическое объяснение значений спинов и четностей основного и возбужденных состояний ядер.
    Оболочечная модель ядра представляет собой приложение квантовой механики к системе нуклонов - ядру. Поскольку основы квантовой механики в весеннем семестре 3 курса только начинают изучаться студентами, далее дано изложение некоторых положений квантовой механики применительно к проблеме описания ядерных оболочек.
    Основу оболочечной модели ядра (МО) /Nuclear Shell Model=SM/ составляет гипотеза о том, что взаимодействие между собой нуклонов ядра приводит к созданию среднего самосогласованного поля, в котором и движутся нуклоны. Поскольку ядерные силы - силы короткодействующие, зависимость потенциала этого самосогласованного поля от расстояния до центра ядра должна быть подобной зависимости от радиуса плотности распределения ядерной материи. Кроме того, потенциал должен быть потенциалом притяжения. Этим условиям удовлетворяет т.н. потенциал Вудса-Саксона

    Модель оболочек основана на предположении, что теоретическое описание ядра в основном и возбужденных состояниях может быть получено путем решения нерелятивистского уравнения Шредингера (у.Ш):

где ψ_i (1,2,...A) − волновая функция ядра как системы нуклонов, E_i − энергии ядерных состояний.  − полный
ядерный гамильтониан. Поскольку система нуклонов должна подчиняться принципу Паули, волновая функция системы нуклонов должна также быть антисимметричной относительно перестановки координат нуклонов.
    Приближенное решение уравнения (3.6) может быть получено в рамках одночастичной модели оболочек. В этой простейшей модели полная волновая функция ядра как системы А нуклонов является произведением одночастичных волновых функций, которые являются решением у.Ш. для отдельного нуклона в среднем самосогласованном поле:

Простейшее модельное описание состояний нуклона в самосогласованном потенциале получено не с потенциалом (3.5), а с более простыми потенциалами, в первую очередь с потенциалом сферически симметричного трехмерного гармонического осциллятора:

Ход решения у.Ш. с таким потенциалом приведен в учебниках по квантовой механике (см. например, Давыдов А.С. Квантовая механика). В квантовой механике доказывается, что для всех сферически симметричных потенциалов зависимость волновой функции от угловых переменных имеет вид:

где  Y_lm(θ,φ) - сферические функции. Указанные для сферической функции индексы отражают тот факт, что сферические функции ( а соответственно и полная волновая функция частицы (3.9) ) являются собственными функциями операторов квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента на выделенную ось: 

Вид радиальной функции R(r) и значения энергий частиц определяются радиальной зависимостью потенциала. Для потенциала (8.4)

Здесь n- число узлов радиальной функции при r > 0, F(-n, l+3/2, )- полином степени n по δ  = (r/b)².
   Спектр энергий (3.11) - эквидистантный - т.е. между состояниями с разными значениями квантового числа одинаковые разности энергий, равные . Эквидистантность уровней энергии - общая закономерность решений задач с потенциалом осциллятора. Подчеркнем, что энергии, полученные в результате решения у.Ш. со сферически симметричным потенциалом (например, потенциалом (3.8)) не зависят от собственных значений проекций m орбитального момента на ось z. Одному значению энергии E_nl соответствует 2l + 1 разных (по проекции момента) волновых функций (т.е. имеет место вырождение по проекции момента).
    Часто вместо явного вида волновых функций частицы указывают только значения квантовых чисел, соответствующих этим функциям, пользуясь системой обозначений, введенной Дираком:

Однако полученные нами волновые функции, являющиеся решениями у.Ш. для 3-х мерного гармонического осциллятора, не могут считаться функциями, описывающими состояния нуклона в ядре, поскольку в этим функциях не учтен спин нуклонов. Функции, являющиеся собственными функциями оператора квадрата спина и его проекции на ось, называются спинорами. Для фермионов со спином 1/2

Волновая функция нуклона в потенциале 3-х мерного осциллятора является произведением функции (3.9) для осциллятора и спинора (3.13). Однако теоретическое описание свойств более тяжелых ядер, чем ⁴He с потенциалом в виде (3.8) оказалось невозможным. В частности, в этой слишком примитивной модели невозможно объяснить особую устойчивость ядра ¹²С. В предыдущих расчетах не было учтено спин-орбитальное взаимодействие, играющее очень важную роль в ядерных силах.
    Модель ядерных оболочек основана на решении уравнения Шредингера для нуклона в потенциале

Для того, чтобы понять роль спин-орбитального члена в потенциале (3.14), рассмотрим, какие значения может принимать полный момент нуклона j.

Таким образом, полный момент нуклона может принимать два значения. Решения у.Ш. для энергий нуклона в потенциале (3.14) имеют следующий вид:

Двум значениям момента нуклона j = l + 1/2 и j = l -1/2 соответствуют разные вклады в энергию состояния от спин-орбитального взаимодействия.
    Прежде, чем рассчитать вклад от спин-орбитального взаимодействия в одночастичную энергию, выясним, какие квантовые числа характеризуют состояния нуклона в потенциале (3.14). Квантовые числа, характеризующие состояния любой квантовой системы - т.н.хорошие квантовые числа - соответствуют собственным значениям операторов тех физических величин, которые сохраняются в данном потенциале. В квантовой механике доказывается, что для сохранения физической величины необходимо, чтобы ее оператор коммутировал с гамильтонианом данной квантовой системы. Для гамильтониана без спин-орбитального члена хорошими квантовыми числами являются следующие:

E, P (parity), l, s, m_l, m_s

Полный момент нуклона и проекция полного момента j_z = l_z + s_z тоже сохраняются. Но для гамильтониана  со спин-орбительным взаимодействием ситуация меняется - проекции орбитального и спинового моментов нуклонов не сохраняются! ( Операторы проекций орбитального и спинового моментов не коммутируют с гамильтонианом) Однако проекция полного момента на выделенную ось сохраняется. Хорошими квантовыми числами в этом случае гамильтониана с потенциалом (3.14) являются:

E, P, l, s, j, m_j

    Полученные нами выше волновые функции нуклонов представляют собой полную систему функций. Поэтому волновые функции, являющиеся решениями у.Ш. в потенциале со спин-орбитальным взаимодействием, можно разложить по этой системе функций:

Суммирование в (3.17) происходит по всем возможным значениям проекций орбитального и спинового моментов нуклона. Поскольку  m_j = m_l + m_s а проекций спина нуклона всего две, в сумму входят не более двух членов. Коэфициенты разложения (3.17) называются коэфициентами Клебша-Гордона. Сумма их квадратов равна 1.

Низшее по энергии состояние энергии в (3.16) соответствует значениям квантовых чисел Λ = 0, n = 0, l = 0. Вклад спин-орбитального члена равен нулю, поскольку равен нулю орбитальный момент l.

E₀₀ = 3/2

По сложившейся в европейской физике традиции, ядерная конфигурация с данными n и l обозначается как (n+1)l_j, причем вместо цифровых значений l используются буквеннные (s,p,d,f,g,h,i …)
    Низшему состоянию нуклона соответствует конфигурация 1s. В этом энергетическом состоянии может находиться не более 4 нуклонов - 2 протона с противоположными значениями проекции спина на ось и 2 нейтрона в таких же состояниях. Таким образом, модель оболочек дала объяснение первому из магических чисел и существованию особо устойчивого дважды магического ядра гелия.

Задача 3.6.  Доказать, что вклад E в энергию нуклона , который вносит спин-орбитальный член в потенциале (3.14) имеет вид, приведенный в (3.16). Найти разность энергий состояний нуклона с одинаковыми l и s , но разными j .

Для расчета вида вклада спин-орбитального члена необходимо найти величину матричного элемента

Здесь оператор спин-орбитального взаимодействия выражен через собственные операторы волновой функции нуклона.
Вклад спин-орбитального взаимодействия в энергию нуклона в потенциальной яме (3.14) равен

Этот вклад в энергию нуклона расщепляет энергию уровня с данными l и s на два уровня с j = l + 1/2 и j = l - 1/2. Сравнение теоретического результата и экспериментальных данных (см. далее ) показало, что в ядре величина а в (3.14) отрицательна, поэтому

Т.е. уровни с больщим значением полного момента нуклона сдвигаются вниз относительно энергии
E = (2n + l + 3/2), а уровни с меньшим значением j (но теми же l ,s) сдвигаются вверх по энергии. (См. схему в “Субатомной физике”, стр29). Разность энергий уровней с одинаковыми l и s ,но разными j :

Полученных выше результатов достаточно, чтобы разобраться в заполнении оболочек для большинства ядер с A < 41.

Рассмотрим заполнение энергетических уровней для оболочки Λ =1.Состояние с Λ = 2n + l = 1 может иметь только l = 1. Это - в принятой системе обозначений - 1p_j конфигурация. Полный момент нуклона с l = 1 принимает значения 3/2 и 1/2. Низшей по энергии является конфигурация 1p_3/2. В этом состоянии может находиться столько нейтронов, сколько имеется различных значений проекции полного момента 3/2, т.е. 4. На этом же уровне (или подоболочке) может находиться 4 протона. Таким образом, заполненная подоболочка 1p_3/2 содержит 8 нуклонов. Ядро, у которого заполнена оболочка с Λ = 0 и подоболочка 1p_3/2, имеет восновном состоянии 12 нуклонов - 6 протонов и 6 нейтронов, т.е. это ядро ¹²С. Конфигурация основного состояния этого ядра часто обозначается как |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸
   Заполнение следующей подоболочки 1p_1/2 происходит по тем же правилам. Поскольку число состояний равно удвоенному числу проекций полного момента нуклона, на подоболочку 1p_1/2 можно поместить не более 4 нуклонов. Таким образом, полностью заполненная оболочка с Λ= 1 имеет две подоболочки с 8 и 4 нуклонами, т.е. заполненная оболочка имеет 12 нуклонов, что соответствует дважды магическому ядру ¹⁶О. Конфигурация его основного состояния может быть изображена как 1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ | 1p_1/2>⁴

Задача 3.8. Провести заполнение оболочки с  = 2. Указать, каким ядрам соответствуют полностью заполненнные подоболочки для = 2.

Для Λ = 2 = 2n + l существуют следующие возможности: n = 0, l = 2 (1d - конфигурации) и n = 1, l = 0 (2s - конфигурация ). В первом случае величине полного момента j = l + 1/2 = 5/2 соответствует низшая по энергии подоболочка 1d_5/2. В этой подоболочке может находиться не более 2(2 j + 1) = 12 нуклонов. Соответствующее ядро имеет 14 протонов и 14 нейтронов - это ²⁸Si. Следующей по энергии является 2s_1/2 подоболочка с 4 нуклонами. Ядру, в котором, помимо оболочек с Λ = 0 и Λ = 1, заполнены две подоболочки 1d_5/2 и 2s_1/2, соответствует ядро ³²S. Наконец, при заполнении последней подоболочки с j = l-1/2=3/2 , т.е. 1d _3/2, оболочка с  Λ = 2 оказывается замкнутой. Этой конфигурации соответствует дважды магическое ядро ⁴⁰Са. Конфигурация его основного состояния |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸| 1p_1/2>⁴ | 1d_5/2>¹_{n .}