Некоторые положения квантовой механики применительно к проблеме описания ядерных оболочек

    Основу оболочечной модели ядра (МО) (Nuclear Shell Model = SM) составляет гипотеза о том, что взаимодействие между собой нуклонов ядра приводит к созданию среднего самосогласованного поля, в котором и движутся нуклоны. Поскольку ядерные силы - силы короткодействующие, зависимость потенциала этого самосогласованного поля от расстояния до центра ядра должна быть подобной зависимости от радиуса плотности распределения ядерной материи. Кроме того, потенциал должен быть потенциалом притяжения. Этим условиям удовлетворяет т.н. потенциал Вудса-Саксона

    Модель оболочек основана на предположении, что теоретическое описание ядра в основном и возбужденных состояниях может быть получено путем решения нерелятивистского уравнения Шредингера (у.Ш):

где _i (1,2,...A) - волновая функция ядра как системы нуклонов, E_i - энергии ядерных состояний.  - полный ядерный гамильтониан.
    Поскольку система нуклонов должна подчиняться принципу Паули, волновая функция системы нуклонов должна также быть антисимметричной относительно перестановки координат нуклонов.
    Приближенное решение уравнения (д.2) может быть получено в рамках одночастичной модели оболочек. В этой простейшей модели полная волновая функция ядра как системы А нуклонов является произведением одночастичных волновых функций, которые являются решением у.Ш. для отдельного нуклона в среднем самосогласованном поле:

    Простейшее модельное описание состояний нуклона в самосогласованном потенциале получено не с потенциалом (д.1), а с более простыми потенциалами, в первую очередь с потенциалом сферически симметричного трехмерного гармонического осциллятора:

Ход решения у.Ш. с таким потенциалом приведен в учебниках по квантовой механике (см. например, Давыдов А.С. Квантовая механика). В квантовой механике доказывается, что для всех сферически симметричных потенциалов зависимость волновой функции от угловых переменных имеет вид:

где  Y_lm(,) - сферические функции. Указанные для сферической функции индексы отражают тот факт, что сферические функции (а соответственно и полная волновая функция частицы (д.5)) являются собственными функциями операторов квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента на выделенную ось: 

Вид радиальной функции R(r) и значения энергий частиц определяются радиальной зависимостью потенциала. Для потенциала (д.4)

Здесь n- число узлов радиальной функции при r > 0, F(-n, l+3/2, )- полином степени n по  = (r/b)².
   Спектр энергий (д.7) - эквидистантный - т.е. между состояниями с разными значениями квантового числа одинаковые разности энергий, равные . Эквидистантность уровней энергии - общая закономерность решений задач с потенциалом осциллятора. Подчеркнем, что энергии, полученные в результате решения у.Ш. со сферически симметричным потенциалом (например, потенциалом (д.4)) не зависят от собственных значений проекций m орбитального момента на ось z. Одному значению энергии E_nl соответствует 2l + 1 разных (по проекции момента) волновых функций (т.е. имеет место вырождение по проекции момента).
    Часто вместо явного вида волновых функций частицы указывают только значения квантовых чисел, соответствующих этим функциям, пользуясь системой обозначений, введенной Дираком:

    Однако полученные нами волновые функции, являющиеся решениями у.Ш. для 3-х мерного гармонического осциллятора, не могут считаться функциями, описывающими состояния нуклона в ядре, поскольку в этим функциях не учтен спин нуклонов. Функции, являющиеся собственными функциями оператора квадрата спина и его проекции на ось, называются спинорами. Для фермионов со спином 1/2

    Волновая функция нуклона в потенциале 3-х мерного осциллятора является произведением функции (д.5) для осциллятора и спинора (д.9).
    Однако теоретическое описание свойств более тяжелых ядер с потенциалом в виде (д.4) оказалось невозможным. В частности, в этой слишком примитивной модели невозможно объяснить особую устойчивость ядра ¹²С. В предыдущих расчетах не было учтено спин-орбитальное взаимодействие, играющее очень важную роль в ядерных силах.