Мультипликативные законы сохранения

Пространственная (Р) четность

    Волновая функция частицы или системы частиц является функцией координат. Переход от выбранной системы координат к системе, соответствующей зеркальному отражению всех координатных осей, приводит к преобразованию волновой функции частицы или системы частиц. Оператор пространственного отражения

Если гамильтониан системы коммутирует с оператором пространственного отражения, четность системы является “хорошим квантовым числом”, т.е. сохраняется.
    В таблицах адронов и кварков указывается одновременно спин и четность частицы в форме J^P. Например, для всех кварков J^P(q) = 1/2⁺. Р-четности всех антикварков равны (-1).(В таблицах указывается лишь знак квантового числа р)
    Истинные и аксиальные вектора отличаются по четности:

()(-); ()(-).
()().

(Напомним, что орбитальный момент является векторным произведением двух “истинных” векторов и поэтому он аксиальный вектор.)

В сильных и электромагнитных взаимодействиях Р-четность сохраняется, но слабые взаимодействия нарушают пространственную симметрию и гамильтониан слабых взаимодействий _weak не коммутирует с оператором Р-четности, то есть

    Пространственная четность относится к мультипликативным квантовым характеристикам частиц или систем частиц. Четность системы частиц является произведением собственных четностей частиц и четности, соответствующей их орбитальному движению. Четность орбитального движения частицы с орбитальным моментом l равна P_l = (-1)^l.

   Собственная четность нуклонов – систем (qqq) - равна +1, поскольку орбитальный момент кварков в нуклоне равен 0, и четность системы P(qqq) = P(q)P(q)P(q) = (+1)(+1)(+1) = +1.

Задача 8.2. Определить собственную четность -мезона.

    Все мезоны являются системами из кварка и антикварка. Наиболее легкие из мезонов - -мезоны – это системы (q) с антипараллельными спинами и суммарным спином 0, поскольку орбитальный момент внутреннего движения кварка и антикварка в этих системах равен 0. Собственная четность любого -мезона поэтому равна P() = P(q)P() = (+1)(-1) = -1.

    Р-четность всех f-мезонов равна P(f) = P(q)P()(-1)^l = (+1)(-1)(-1) = +1. Спин этих мезонов является векторной суммой собственных спинов кварка и антикварка и орбитального момента 1: = + + = 0, , . Отметим, что кварк-антикварковые системы с орбитальным моментом l, не равным 0, имеют большую массу покоя, чем системы с l = 0.Например. масса f₂ мезона составляет около 2000 МэВ.

    Для дейтрона J^P = 1⁺. Четность этой системы двух нуклонов равна (+1)(+1)(-1)^L = +1, следовательно, орбитальный момент нуклонов в дейтроне L – четное число. Спин дейтрона равен 1. Сумма собственных спинов двух нуклонов может принимать значения либо S = 0, либо S = 1. = + = . Отсюда для S = 0 получим L = 1, что исключено. Для S = 1 = + = 0, , . Т.к. L – четное число, его возможные значения равны либо 0, либо 2. (Заметим, что в ходе решения этой задачи было доказано, что суммарный спин нуклонов S в дейтроне не может быть 0, в дейтроне S = 1 и спины протона и нейтрона параллельны).

Р-четность и законы сохранения

    Поскольку Р-четность сохраняется в сильных и электромагнитных взимодействиях, мультипликативный закон сохранения Р-четности применяется для того, чтобы определить значения квантовых чисел частиц в реакциях или найти правила отбора.

Задача 8.5. Проанализировать распад ρ π + π, происходящий по каналу сильного взаимодействия. Оценить среднее время жизни векторного ρ-мезона по его ширине Г=151 МэВ . Определить орбитальный момент пары пионов. появляющихся в результате распада.

Среднее время жизни -мезона   Полученное значение величины среднего времени жизни r-мезона доказывает, что распад происходит благодаря сильному взаимодействию.
    Определим орбитальный момент пары пионов из законов сохранения момента количества движения и четности распада ρπ + π:

i = f = Const: = 0 + 0 + l = 1 ПPi = ПPf = Const: (-1) = (-1)(-1)(-1)l l = нечетн.

l = 1.

-мезон имеет такие же спин и Р-четность J^P(η) = 0^-, как и π-мезон. Распад на два π-мезона по каналу сильного взаимодействия запрещен законом сохранения Р-четности, но распад на 3 π-мезона идет:

η 3⁰; P() = -1; P(3π⁰) = -1; P(2π⁰) = (-1)(-1) = +1.

поэтому с вероятностью около32% происходит распад η 3π⁰, а с вероятностью около 24 % - распад π⁰ + π⁺ + π^-.

C-четность

    Операция зарядовой четности (С-четности) превращает частицу в античастицу

Для истинно нейтральных частиц и систем волновая функция может быть собственной функцией оператора С-четности (истинно нейтральными называются те частицы, которые неотличимы от своей античастицы). Такие частицы имеют определенное значение собственного значения оператора С, т.е. имеют определенную С-четность. Например, положительную (+) С-четность имеют нейтральные мезоны π и η. Отрицательной С-четностью обладает γ-квант.
    С-четность сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях.
    Закон сохранения С-четности в электромагнитных взаимодействиях приводит к ряду “запретов” на распады частиц по каналу электромагнитных взаимодействий, например, к запрету распада нейтрального пиона на 3 -кванта.

|> = λ_с|>; |γ> = -|γ>; λ_с(γ) = -1.
π⁰γ + γ; λ_с(π⁰) = +1. C(π⁰) = +1; C(3γ) = C(γ)C(γ)C(γ) = -1
поэтому π⁰ не распадается на 3!

    Для систем частица-античастица λ_с = (-1)^l+s.
Система электрон-позитрон может быть либо в состоянии с S = 1 (ортопозитроний) либо в состоянии S = 0 (парапозитроний). Распады этих систем по электромагнитным взаимодействиям происходят по разному

(e⁺ + e^-)_S=13γ, (λ_с = -1);   (e⁺ + e^-)_S=02γ, (λ_с = +1). ( См. диаграммы Фейнмана этих распадов в семинаре 3).

Спиральность

    Несохранение Р- и С-четностей в слабых распадах можно показать, исследуя спиральность продуктов распада.
    Спиральность равна величине проекции спина частицы на ее импульс, деленной на их модули

    Для ультрарелятивистских фермионов с нулевой массой спиральности частицы и античастицы противоположны по знаку. Для ультрарелятивистских фермионов спиральность равна -1, а для таких же антифермионов она равна +1. Чем ближе частица к пределу m = 0, тем более строго должно выполняться правило (8.4). m()0 h() +1, h() -1. Распад π^– → e^– + _e имеет вероятность, примерно в 10⁴ раза меньшую, чем распад π^– → μ^– + _μ. Этот факт является следствием “правила спиральности”.
    Рассмотрим эти распады с точки зрения спиральностей возникающих лептонов в системе координат пиона (на схеме показаны направления импульсов и спинов продуктов распада пиона):

    Если спиральность антинейтрино “правильная”, т.е. h() = +1, то для вылетающего в противоположном направлении мюона или электрона (т.е. "частицы") она равна (+1) - т.е. “неправильная”. Для релятивистского электрона это приводит к подавлению вероятности этого распада по сравнению с мюонным распадом, поскольку мюон имеет примерно в 200 раз большую массу и, соответственно, правило спиральности для него может нарушаться. Р-отражение меняет направление "истинного" вектора импульса, но не меняет направление аксиального вектора момента s.
    Р-преобразование картин распадов пионов приводит к неправильным спиральностям антинейтрино – что означает отсутствие симметрии по Р-четности в этих распадах. Рассмотрим распад отрицательного пиона как задачу.

Задача 8.8. На примере распада π– → μ– + μ доказать, что Р-четность не сохраняется.

    Рассмотрим схему распада пиона. Спиральность мюонного антинейтрино положительна, что соответствует схеме, в которой для антинейтрино вектора импульса и спина параллельны. В результате операции пространственного отражения (Р-преобразование) меняются направления векторов импульсов частиц, но не меняются направления векторов спинов J, что и показано на следующей схеме:

Таким образом, Р-преобразование привело в неправильной спиральности антинейтрино h = -1, или, иными словами, к схеме запрещенного правилом спиральности процесса. Это является доказательством того, что Р-четность в слабых распадах не сохраняется!
    Точно так же С-преобразование для указанных распадов (переход от положительных частиц к отрицательным без изменения направления векторов) дает для нейтрино положительную – т.е. неправильную спиральность. Процесс распада не имеет С-инвариантности, С- четность не сохраняется. Докажем это утверждение, используя схему распада π^– → μ^– + _μ:

    В результате С-преобразования частицы превратились в античастицы, причем направления векторов импульсов и спинов не изменилось. Спиральность нейтрино оказалась равной +1, что противоречит правилу (8.4). Это означает, что С- четность в слабых взаимодействиях не сохраняется.
    Но СР-четность в распаде π^– → μ^– + _μ сохраняется! Докажем это:

т.е. в результате последовательных Р и С отражений возникает “правильная” картина!
    Правило (8.4) запрещает распад нейтрального пиона на нейтрино и антинейтрино, который возможен по всем другим законам сохранения. Но распад нейтрального пиона на две ультрарелятивистские частицы неизбежно приводит к нарушению правила спиральностей для одной из них.

СР - четность

    Итогом исследований распадов заряженных пионов было утверждение, что в рассмотренных слабых распадах не сохраняются ни Р-, ни С-четность, но сохраняется СР (или, что то же самое, РС) четность. Однако исследование распадов нейтральных К-мезонов, а в последние годы – и нейтральных В-мезонов, показало, что и эта четность не сохраняется, хотя степень нарушения очень мала. Рассмотрим СР-четности систем двух и трех пионов и нейтральных К-мезонов.

Нейтральные каоны не имеют определенной СР-четности, но суммы и разности их волновых функций имеют определенную СР-четность (8.6). Если СР сохраняется, распады частицы, волновая функция которой есть разность волновых функций нейтральных каона и антикаона (частица ) должны происходить на 3 пиона, а частицы (волновая функция которой составлена как сумма волновых функций каона и антикаона ) – на 2 пиона. Такие процессы, действительно, наблюдались. Причем первый распад идет много быстрее второго распада ( ).
    Замечательной особенностью этих распадов является то, что из нейтрального К-мезона, в результате распада короткоживущей компоненты , возникает суперпозиция нейтрального каона и антикаона, т.е. возникают осцилляции. Этот эффект экспериментально подтверждается!
    Если бы долгоживущий каон был бы тождественен суперпозиции и распадался только на 3 пиона, проблемы нарушения СР четности не существовало бы. Но с малой вероятностью (меньше одного процента) идет распада этого долгоживущего каона на 2 пиона, что и является нарушением СР четности.

= 2π; = 3π (?)
Г( 2π)/Г( all) (2.03+0.04) ^.10^-3. (!!!)

Нарушение СР-симметрии проявляется также в полулептонных распадах нейтральных К-мезонов, а именно в том факте, что распады ^- + e⁺ + _e примерно на 0.3% вероятнее распадов ⁺ + e^- + _e.

CPT-теорема

    Релятивистская теория поля доказывает, что картина мира, полученная путем последовательного отражения пространственных осей (Р-отражение), заменой частиц на античастицы (С-отражение) и отражением оси времени (Т-отражение) приводит к картине, идентичной исходному состоянию. Иными словами, любой гамильтониан коммутирует с произведением операторов СРТ. Простейшая проверка этого утверждения - равенство масс и времен жизни частиц и античастиц.
    Нарушение (хотя и слабое) СР инвариантности указывает поэтому на соответствующее ему слабое нарушение Т- инвариантности уравнений движения.
    В настоящее время ведутся эксперименты по поиску прямых подтверждений нарушения Т-инвариантности.

Объединение взаимодействий

1.Объединение электромагнитного и слабого взаимодействий.

    Эксперименты показало, что “константы” взаимодействий меняются с энергией взаимодействия. При малых энергиях взаимодействия их соотношение дано в Таблице 1 (Семинар 1). Приведенная там константа слабого взаимодействия на 4 порядка меньше константы электромагнитного взаимодействия. Столь большое различие является следствием того факта, что электромагнитные взаимодействия реализуются обменом безмассовым фотоном, а промежуточные бозоны имеют большую массу. Отделение от величины константы множителя, связанного с массой обменного бозона, приводит для переопределенной константы слабого взаимодействия к величине

При росте энергий взаимодействия происходит сближение этих “констант” Таким образом, ЭСМ (электрослабая модель) получает еще одно подтверждение.

2. Великое объединение.

    Экспериментальные данные указывают также на то, что “константа” сильного взаимодействия падает с увеличением энергии взаимодействия. Экстраполяция зависимости обратных “константам” взаимодействия величин от энергии привела специалистов по физике частиц к выводу о том, что при энергиях около 10¹⁶ ГэВ должно наступить “Великое Объединение” (GU=Grand Unification). В точке Великого объединения обратные величины для всех трех констант должны быть около 40. Возникает более симметричный мир, который, как предполагается, существовал в “первые три минуты” после Большого Взрыва (Big Bang). В момент Big Bang возникла система частиц, нагретая до температур, соответствующих энергиям выше 10¹⁶ ГэВ. При разлете и охлаждении эта система испытала два фазовых перехода: 1) отделение сильного взаимодействия от электрослабого и 2) при более низких энергиях около 100 ГэВ электромагнитное взаимодействие отделилось от слабого. Во время этих фазовых переходов частицы приобрели массы, а степень симметрии взаимодействий понизилась. Оба фазовых перехода происходили с понижением степени симметрии – происходило спонтанное нарушение симметрии. Современная теория предсказывает существование бозона Хиггса H (H=Higgs), ответственного за нарушение симметрий и создание различных масс частиц. Поиск H-бозона является главной задачей ускорителя LHC (Large Hadron Collider) в CERN.
    Одним из предсказаний теории GU является нестабильность протона (нарушение закона сохранения барионного заряда). Протон должен распадаться по каналу p⁰ + e⁺; 10³² лет. Современные эксперименты указывают на то, что если протон и нестабилен, его среднее время жизни больше предсказанного. Вопрос открыт!
    При энергиях взаимодействия еще на три порядка выше, чем 10¹⁶ ГэВ, современная теория предсказывает возникновение суперсимметрии – объединения трех фундаментальных взаимодействий с гравитационным.
    Подтверждение или опровержение этих теорий будет получено при дальнейшем изучении природы Вселенной.