Волновая функция

    Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция psi(x,y,z,t).
    Физический смысл волновой функции. Величина |psi(x,y,z,t)|2dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).
    Волновая функция системы невзаимодействующих частиц psi(r1,r2,...rn,t) связана с одночастичными волновыми функциями psii(ri,t) соотношением

psi(r1,r2,...rn,t) = psi1(r1,t)·psi2(r2,t)·...psin(rn,t).

Свободное движение частицы

    Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид

 psi(r,t) = Aexp[i(kr - omegat)] = Aexp[i(pr - Et)/splank.gif (65 bytes)] .

    Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции

A = (2pi1.gif (61 bytes)splank.gif (65 bytes))-3/2.

Т.е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.

Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Если область пространства, в которой может находится частица ограничена, возникает дискретный спектр энергий. Рассмотрим это на примере одномерной прямоугольной ямы c бесконечными стенками

Частица всегда находится в области 0 < x < a. Вне ее psi = 0. Запишем уравнение Шредингера для одномерного случая

(1)

Его решение

psi = Asin kx + Bcos kx,

(2)

где k = (2mE/splank.gif (65 bytes)2)1/2. Из граничных условий и условий непрерывности имеем

Asin ka = 0.

(3)

Из (3) получим

ka = npi1.gif (61 bytes), n = 1, 2, ...,

(4)

т.е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояний принимает дискретные значения

En = p2/2m = splank.gif (65 bytes)k2/2m = splank.gif (65 bytes)2pi1.gif (61 bytes)2n2/(2ma2).

(5)

Энергии состояний растут квадратично от n.

Рис. 1
Рис. 1

Каждому значению энергии соответствует волновая функция, которую с учетом условия нормировки

(6)

можно записать в виде

psin = (2/a)1/2sin (npix/a)

(7)

(см. рис.1). В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < splank.gif (65 bytes)2pi1.gif (61 bytes)2/(2ma2).

Частица в потенциале гармонического осциллятора

    Потенциал гармонического осциллятора (так же, как и в предыдушем примере рассмотрим одномерный случай)

psin = kx2/2 = momega0x2/2.

(8)

где omega0= (k/m)1/2 - собственная частота колебаний гармоничекого осциллятора. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала можно записать в виде

psin = hn(x)e-b(x),

(9)

где hn(x) - полиномы степени n, b(x) = (km)1/2x2/2splank. Спектр значений энергий имеет вид

En = omega0(n + 1/2),     n = 0, 1, ...

(10)

    Энергетический спектр гармонического осциллятора эквидистантный - уровни находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.


Ядерная физика в Интернете
Содержание

Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru

18.03.10