Статистики. Принцип Паули

    В отличие от частиц в классической физике, квантовые частицы не просто одинаковы, но и неразличимы - тождественны. Одна из причин состоит в том, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновых функций, позволяющих вычислить лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. Если волновые функции нескольких тождественных частиц перекрываются, то невозможно определить, какая из частиц находится в данной точке. Т.к. физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, состояние не изменится при изменении знака волновой функции при перестановке двух тождественных частиц.
    Принцип тождественности частиц требует, чтобы при перестановке двух тождественных частиц волновая функция либо изменяла знак (антисимметричное состояние), либо не меняла знака (симметричное состояние).
    Рассмотрим статистику для двух частиц a и b, находящихся в двух различных состояниях ψ₁ и ψ₂-

ψ₁(a), ψ₁(b), ψ₂(a), ψ₂(b).

Из этих функций можно построить две несимметризованные функции

ψ₁(a,b) = ψ₁(a)ψ₁(b),
ψ₂(a,b) = ψ₂(a)ψ₂(b).

Состояния ψ₁(a,b) и ψ₂(a,b) соответствуют одной и той же энергии. Из функций ψ₁(a,b) и ψ₂(a,b) можно построить две симметризованные комбинации, отвечающих той же энергии. Симметричную комбинацию

_сим = ψ₁(a)ψ₁(b) + ψ₂(a)ψ₂(b)

и антисимметричную комбинацию

_{антисим} = ψ₁(a)ψ₁(b) - ψ₂(a)ψ₂(b).

Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином - бозоны (пионы, фотоны, альфа-частицы, ...). (На связь между симметрией волновой функции и спином впервые указал Паули). Бозоны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. В одном квантовом состоянии может одновременно находиться неограниченное количество тождественных бозонов.
Антисимметричными волновыми функциями описываются частицы с полуцелым спином - фермионы (протоны, нейтроны, электроны, нейтрино, ...). Фермионы починяются статистике Ферми - Дирака. Для фермионов справедлив принцип Паули - Два тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Если a ≡ b и ψ₁ = ψ₂, то при перестановке местами a и b антисимметричная функция

ψ_{антисим} = 0.

Принцип Паули определяет строение электронных оболочек атомов, заполнение нуклонных состояний в ядрах и т.д.