Частица массы m находится в
одномерной потенциальной яме бесконечной
глубины (рис. 1). Потенциальная энергия U
удовлетворяет следующим граничным условиям
U(x) = {
x < 0, x > L
0 0 < x <
L
(1)
При таких граничных условиях частица находится
внутри потенциальной ямы 0 < x <
L и не может выйти за ее пределы, т.е.
(x) = 0
x < 0, x > L
(2)
Условие нормировки
(3)
Используя станционарное уравнение Шредингера
для случая U = 0, получим
(4)
или
,
(5)
где
a2 = 2mE/2.
(6)
Уравнение (5) описывает положение частицы
внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение
(x) = Ae+iax
+ Be-iax,
(7)
представляющее собой суперпозицию двух волн,
распространяющихся в противоположных
направления вдоль оси x.
Постоянные A и B находятся из граничных
условий (2)
A + B = 0 при x = 0 т.е. B = -A.
(8)
Следовательно
(x)
= A(e+iax
- e-iax) = 2iA sin ax.
(9)
Условие ψ(L)
= 0 дает
2ia sin aL = 0.
(10)
Отсюда
aL = n,
Следовательно и a = n/L,
где n = 1, 2, 3,...
(11)
Подставляя полученное значение a в соотношение
(6), получим соотношение для энергии частицы в
бесконечной прямоугольной яме
En = 2a2/2m = n222/2mL2,
где n = 1, 2, 3,...
(12)
Волновые функции (9) имеют вид
n(x)
= 2iA sin(nx/L). n*(x) = -2iA sin(nx/L).
(13)
Константу A можно получить из условия
Нормированные волновые функции и собственные
значения энергии для различных состояний
приведены в табл. 1.
Таблица 1.
n
Собственные функции
Плотности вероятности *
Собственные значения энергии
1
i(2/L)1/2sin(x/L)
(2/L)sin2(x/L)
22/2mL2
2
i(2/L)1/2sin(2x/L)
(2/L)sin2(2x/L)
422/2mL2
3
i(2/L)1/2sin(3x/L)
(2/L)sin2(3x/L)
922/2mL2
n
i(2/L)1/2sin(nx/L)
(2/L)sin2(nx/L)
n222/2mL2
На рис. 2 показаны плотности вероятности
обнаружения частицы в различных квантовых
состояниях.
Таким образом, для бесконечной
одномерной потенциальной ямы имеем следующее.
Энергия частицы принимает определенные
дискретные значения. Обычно говорят, что частица
находится в определенных энергетических
состояниях.
Частица может находиться в каком-то одном из
множества энергетических состояний.
Частица не может иметь энергию равную нулю.
Каждому значению энергии En соответствует
собственная волновая функция n, описывающая данное состояние.
Для собственной функции 1(x)
вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2
максимальна. Для состояния 2(x) вероятность обнаружения частицы
в этой точке равна 0.
Рис. 2.
В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия
U имеет вид
U = kx2/2.
(14)
Станционарное уравнение Шредингера для
гармонического осциллятора имеет вид
(15)
Также как и в случае прямоугольной
потенциальной ямы наблюдается дискретный спектр
энергий состояний
En = (n + 1/2)h = (n + 1/2), где n = 0, 1,
2,...,
(16)
где = (k/m)1/2.
Однако в отличие от прямоугольной ямы, спектр
энергий эквидистантный. Каждому энергетическому
состоянию соответствует волновая функция,
описываемая полиномом Эрмита Hn.
n
= Hn(ax)e-a2x2/2,
(17)
(18)
где a2 = 42m/h, ζ= ax.
В табл. 2 приведены собственные значения
энергии En и нормированные собственные
функции гармонического осциллятора n
Таблица 2
n
Собственные значения энергии En
Нормированные собственные
функции n
0
E0 = h/2
0 = e-a2x2/2
1
E0 = 3h/2
1 = 2axe-a2x2/2
2
E0 = 5h/2
2 = (4a2x2 - 2)e-a2x2/2
3
E0 = 7h/2
3 = (8a3x3 - 12ax)e-a2x2/2
n
En = (n + 1/2)h
n = Hn(ax)e-a2x2/2
Рис. 3.
На рис. 3 показана плотность распределения
волновой функции гармонического осциллятора.
Классический осциллятор не может
выйти за пределы значений x, в которых
потенциальная энергия равна энергии En для
данного значения квантового числа n. В квантовом
случае ситуация другая - существует отличная от
нуля вероятность обнаружить частицу за
пределами потенциальной ямы, т.е. частица может
проникать на небольшое расстояние за стенку
барьера.
x < 0, x > L
(x) = 0
x < 0, x > L
,
2.
,
Следовательно и a = n
= (n + 1/2)
, где n = 0, 1,
2,...,
Hn(ax)e-a2x2/2,
e-a2x2/2
2axe-a2x2/2
(4a2x2 - 2)e-a2x2/2
(8a3x3 - 12ax)e-a2x2/2
