Электромагнитные моменты нуклонов и ядер

    Ядро как система зарядов и токов обладает статическими электрическими и магнитными мультипольными моментами. Эти моменты определяют энергию взаимодействия Wэл ядра с внешним электромагнитным полем. Какова роль различных моментов, хорошо видно из следующего соотношения:

(1)

где φ₀ и ₀(E1, E2, E3) – потенциал и напряжённость внешнего электрического поля, ₀ − напряжённость внешнего магнитного поля, − вектор электрического дипольного момента ядра, − вектор его магнитного дипольного момента, Q_ij − тензор ядерного электрического квадрупольного момента и так далее. Индекс «0» означает, что рассматриваемые величины вычисляются в начале координат (в центре масс системы, в нашем случае – ядра). Остальные члены энергии взаимодействия в выражении (1) дают пренебрежимо малый вклад во взаимодействие ядра с внешним полем.
    Начнём с электрического дипольного момента. В основном состоянии ядра он равен нулю (с точностью до малых членов, связанных со слабыми взаимодействиями в ядрах). Равенство нулю компонент этого момента D_i(i ≡ x, y, z) является следствием четности квадрата волновой функции ψ₀ основного состояния ядра:

Квадрат волновой функции основного состояния ядра является четной функцией координат, z – нечетная функция. Интеграл по трехмерному пространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен 0. Квадрат ψ-функции имеет положительную четность в случае, если сама ψ- функция имеет определенную четность (+ или −). Это справедливо для вкладов в ψ-функцию от сильных и электромагнитных взаимодействий, сохраняющих четность. Малые добавки в ψ-функцию от слабых (не сохраняющих четность) взаимодействий могут дать небольшие отклонения от нуля дипольных моментов ядер и частиц. Роль этих вкладов представляет большой интерес для современной физики, что, в частности, выражается в непрекращающихся попытках обнаружить отклонение от нуля электрического дипольного момента нейтрона.
    Нижайшим по мультипольности ядерным электрическим моментом, который может быть отличен от нуля для основных состояний ядер, является тензор электрического квадрупольного момента Q_ij(i, j ≡ x, y, z). Поскольку ядро – квантовомеханическая система, его электрический квадрупольный момент достаточно задать в виде одной из диагональных компонент этого тензора. Условились в качестве такой компоненты брать zz-компоненту Q_zz, а в качестве величины Q квадрупольного момента ядра использовать значение (1/e)Q_zz, где е – величина элементарного электрического заряда:

Q = (1/e)Qzz = (1/e)∫(3z2 − 2)ρ()dv = (1/e)∫2(3cos2 θ − 1)ρ()dv

(3)

В этом выражении ρ() − плотность электрического заряда ядра:

∫ρ()dv = Ze∫|ψ0|2dv = Ze/

(4)

    Выражение (3) содержит также запись Q в сферических координатах.
    Величина электрического квадрупольного момента, очевидно, зависит от выбора системы координат. В дальнейшем мы будем использовать так называемую собственную (или внутреннюю) систему координат. Эта система жёстко связана с ядром, перемещаясь и поворачиваясь вместе с ним. Начало собственной системы координат совпадает с центром распределения заряда и массы ядра, а ось z направлена вдоль его внутренней оси симметрии (если таковая существует). Для электрического квадрупольного момента в собственной системе координат будем использовать обозначение Q₀.
    Поскольку среднее значение физической величины а в квантовой механике, по определению,
<a> = ∫|ψ|²dv, то внутренний квадрупольный момент, с точностью до констант, есть разность среднего значения величины 2z² и среднего значения суммы квадратов x² и y². Поэтому для сферических ядер Q = 0, для вытянутых вдоль внутренней оси симметрии ядер Q > 0, а для сплюснутых вдоль этой оси ядер Q < 0.
    При обсуждении ядерных магнитных моментов обычно ограничиваются магнитным дипольным моментом. В классической записи вектор магнитного момента частицы, имеющей спин и участвующей в орбитальном движении с моментом , выглядит следующим образом (Гауссова система единиц):

(5)

где е и m − заряд и масса частицы (величина eћ/(2mc)называется магнетоном), а g_s и g_l − её так называемые спиновый и орбитальный гиромагнитные факторы. Гиромагнитные факторы электрона в магнетонах Бора μ_B и нуклонов в ядерных магнетонах μ_N приведены в табл. 1.
    Очевидно, вектор магнитного момента ядра _яд можно представить в виде суммы векторов магнитных моментов нуклонов, входящих в его состав. Магнитные моменты ядер принято указывать в ядерных магнетонах.

Таблица 1

Значения и следующие:

    Величины магнитных моментов частиц и атомных ядер зависят от выбора системы координат (аналогичная ситуация имеет место и для электрического квадрупольного момента). Принято величину магнитного момента определять в собственной (внутренней) системе координат квантового объекта в состоянии с максимальной проекцией спина J на ось z. Учитывая, что магнитный дипольный момент является оператором в пространстве волновых функций ψ объекта, это определение можно записать в следующей форме:

μm=J = ∫z|ψm=J|2dv,

(7)

где для частицы (электрона, позитрона, нуклона) и ядра имеем соответственно

	(8а)
	(8б)

    Рассчитаем значения магнитных моментов электрона, протона и нейтрона в системах координат, связанных с каждой из частиц.
    В системе координат, связанной с частицей, орбитальное движение отсутствует. Значение магнитного момента определяется как диагональный матричный элемент оператора (8а) в состоянии с максимальным значением проекции момента на ось z. Действие оператора проекции спина дает:

(9)

    Таким образом, для всех указанных частиц значение магнитного дипольного момента в магнетонах равно половине гиромагнитного отношения g_s. Так для протона имеем μ_p ≈ 2.79μ_N, для нейтрона μ_n ≈ -1.91μ_N. Положительный знак магнитного момента означает, что векторы спина и магнитного моментов частицы сонаправлены. Отрицательный знак магнитного момента указывает на то, что эти векторы направлены противоположно. «Аномальность» магнитных моментов нуклонов (отличие гиромагнитного фактора протона в ядерных магнетонах от 2 и неравенство его нулю для нейтрона) вызвана сложной структурой (неточечностью) нуклона, который состоит из кварков.
    Вводят также понятие ядерного гиромагнитного фактора g_яд. Он определяется из условия пропорциональности магнитного момента ядра (в ядерных магнетонах) спину ядра J:

    Одним из методов измерения величин ядерного спина и магнитного момента ядра является исследование сверхтонкого расщепления линий атома.
    Определиv число линий сверхтонкого расщепления, возникающего за счет взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным полем, созданным электронной оболочкой атома.
    Полный момент системы «электронная оболочка – ядро» складывается из момента электронной оболочки I и спина ядра J. Поскольку величина магнитного поля, создаваемого электронами в области ядра, пропорциональна I, а магнитный момент ядра связан с J (10), потенциал взаимодействия является функцией скалярного произведения этих векторов:

= + . Vint = - = const·μN(·).

(11)

    Этот потенциал взаимодействия, входящий в полный гамильтониан атома, ответственен за тот экспериментальный факт, что состояния с разными значениями скалярного произведения векторов и имеют разные сдвиги в энергиях атомных уровней. Поскольку величина сдвига зависит от ядерного магнетона μ_N, она мала по сравнению с величиной тонкого расщепления атомных уровней, которое вызвано взаимодействием магнитного момента электронной оболочки с внешним магнитным полем. Поэтому расщепление атомных уровней, возникающее благодаря взаимодействию магнитного момента ядра с магнитным полем атома, называется сверхтонким. Число состояний сверхтонкого расщепления равно числу разных значений скалярного произведения векторов и . Определим эту величину через квадраты квантовых векторов , и :

2 = 2 + 2· + 2, · = (2 − 2 − 2)/2.

(12)

С учётом того, что волновая функция атома представляет собой произведение волновых функций ядра и электронной оболочки (ψ_a = ψ_N·ψ_e), а собственными значениями квадратов квантовых векторов , и являются соответственно F(F++1), I(I++1) и J(J++1), получаем

<ψa|·|ψa> = [F(F++1) − I(I++1) − J(J++1)]/2.

(13)

    Таким образом, число уровней сверхтонкого расщепления равно числу разных значений, которое может принимать квантовое число F:

В итоге получаем, что число разных значений F равно 2K + 1, где K − наименьшая из величин J и I.