1.5 SU(2) как группа спина

    Ассоциируя q^α со спиновыми функциями объекта со спином 1/2, причем и являются базисными спинорами с проекциями спина +1/2 и -1/2, соответственно, (это барионы спина 1/2 и кварки, как мы увидим позже), мы можем образовать симметричный тензор с тремя компонентами

и мы ввели 1/, чтобы нормировать эту компоненту на 1.
    Ассоциируя опять со спиновыми функциями объекта со спином 1/2, запишем единственную компоненту синглета в виде

и мы ввели 1/ для нормировки на единицу.
    Для примера образуем произведение спинора q^α и ему сопряженного спинора q_β с базисными спинорами в виде строк (1 0) и (0 1). Разложение в сумму НП достигается здесь вычитанием шпура (напомним, что матрицы Паули бесшпуровые)

где - бесшпуровый тензор размерности d_V =(n² - 1), соответствующий векторному представлению группы SU(2) и имеющий для n = 2 размерность 3; I - единичная матрица, соответствующая единичному представлению. Группа SU(2) так мала, что оба ее НП Т^{αβ} и соответствуют одному и тому же НП размерности 3, тогда как НП соответствует скалярному НП как и . Для n 2 это не так, как будет видно дальше.

    Еще один пример разложения произведения двух НП дается произведением

или через размерности НП:

При n = 2 антисимметричный тензор 3-го ранга тождественно равен нулю. Таким образом у нас остается тензор смешанной симметрии T^[ik]j размерности 2 при n = 2, т.е., описывающий состояние спина 1/2. Его можно свернуть с абсолютно антисимметричным тензором

e_ikT^[ik]qj ,

и - это как раз НП, соответствующее одному из двух способов образовать состояние спина 1/2 из трех состояний спина 1/2 (когда два из этих состояний антисимметричны). Состояние спина 1/2 с проекцией s_z = +1/2 есть

(Здесь q¹ =|> и q² |>.)

    Последний пример - разложение произведения симметричного тензора T^{ij} и спинора q^k

или через размерности НП:

Симметричный тензор 3-го ранга размерности 4 описывает состояние со спином s = 3/2, (2s + 1) = 4. А тензор смешанной симметрии описывает состояние со спином 1/2, составленного из трех состояний спина 1/2:

e_jkT^{ij}q^k,

и это как раз НП, соответствующее второму способу образовать состояние спина 1/2 из трех состояний спина 1/2 (когда два из этих состояний симметричны). Состояние спина 1/2 с проекцией s_z = +1/2 есть