2.1 Восьмеричный путь. Массовые формулы в  SU(3)

    Вернемся к барионам 1/2⁺ и мезонам 0^-. Как мы помним, их набралось как раз по 8 штук: 8 барионов -  изодублеты нуклона (протон и нейтрон) и каскадных гиперонов Ξ, изотриплет Σ-гиперонов и изосинглет Λ, и 8 мезонов - изотриплет π, два изодублета странных K-мезонов и изосинглет η. Попробуем написать   барионы B(1/2⁺) в виде 8-вектора действительных полей B = (B₁,..., B₈) = (, N₄, N₅, B₆, B₇, B₈), где = (B₁,B₂,B₃) = (Σ₁,Σ₂,Σ₃).Тогда базисный вектор представления размерности 8 запишется в матричной форме следующим образом: 

В левом верхнем углу мы сразу видим предыдущее выражение (16) из теории изотопической группы SU(2). Аналогичным образом псевдоскалярные мезоны запишутся в виде 3×3 матрицы как

Итак, классификация оказалась удачной: вместо 16 отдельно взятых частиц у нас теперь всего два унитарных мультиплета. Каковы ее следствия? Важнейшим явилось получение массовыхе формул, i.e., впервые удалось связать между собой массы различных элементарных частиц с одинаковым  спином.

2.1.1 Массовые формулы для октета псевдоскалярных мезонов

    Массовый член в лагранжиане для псевдоскалярного мезона, описываемого волновой функцией Р , имеет вид, квадратичный по массе (с тем, чтобы уравнение Лагранжа-Эйлера для полного лагранжиана свободного точечного мезона приводило к уравнению Клейна-Гордона, где масса мезона входит квадратично)

а для октета таких мезонов с вырожденными массами:

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), тогда как =140 МэВ, m_K = 490 МэВ, = 548 МэВ. Гелл-Манн предложил отказаться от принципа, что лагранжиан должен быть скаляром по группе симметрии сильных взаимодействий, в данном случае по группе SU(3), и ввести нарушение симметрии, но таким образом, чтобы сохранялся изотопический спин и странность (или гиперзаряд Y = S + B, где B -барионный заряд, для мезонов равный нулю). Для этого член, нарушающий симметрию, должен иметь нулевые значения изоспина и гиперзаряда. Гелл-Манн предложил простое решение - массовый член должен преобразовываться как компонента 33 октета, выделенного из прямого произведения двух октетов, в которые входят эти мезоны. Сначала в произведении двух октетов, входящих в лагранжиан, надо выделить октет. Естественно свернуть произведение по верхнему и нижнему индексам или и вычесть шпур с тем, чтобы образовать правильные октеты

, (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Компоненты 33 этих октетов M₃³ и N₃³  и послужат искомыми членами, нарушающими симметрию массовой части лагранжиана L_m^P Следует только учесть, что в октете мезонов содержатся и частицы, и античастицы. Поэтому для того, чтобы массы частиц и античастиц оказались одинаковыми, оба нарушающих массовых члена должны входить с одинаковыми коэффициентами. В итоге можно записать массовый член лагранжиана в виде

Собирая коэффициенты при одинаковых билинейных комбинациях псевдоскалярных полей, получим:

откуда немедленно следует соотношение

Согласие получилось впечатляющее, учитывая прозрачность заложенных предположений и простоту формализма.

2.1.2 Массовые формулы для октета барионов J^P = 1/2⁺ 

   Массовый член бариона B с J^P = 1/2⁺ в лагранжиане линеен по массе (с тем, чтобы уравнение Лагранжа-Эйлера для полного лагранжиана свободного точечного бариона приводило к  уравнению Дирака, где масса бариона входит линейно).

Для октета барионов с вырожденными массами соответствующая часть   лагранжиана имеет вид

Но реальные массы вовсе не вырождены: m_N = 940, m_Σ = 1192, m_Λ =1115,  m_Ξ =1320 (в  МэВ).
    Гелл-Манн и здесь предложил ввести нарушение масс, нарушив определенным образом симметрию лагранжиана:

Отметим, что здесь возникает два члена с 33-компонентой, что связано с тем, что, в отличие от случая мезонов, m₁m₂. (В мезонный октет входят частицы и античастицы, а барионы и антибарионы образуют два разных октета.) Тогда для отдельных барионов получим:

Отсюда немедленно следует знаменитая формула Гелл-Манна - Окубо:

(Значения левой и правой частей даны в МэВ.) Согласие с опытом превосходно, что послужило стимулом к дальнейшему применению теории унитарных групп Ли в физике частиц.

2.1.3 Нонет векторных мезонов и массовые формулы

     Массовая формула для векторных мезонов та же, что и для псевдоскалярных мезонов (на унитарное пространство  не влияют спиновые индексы).
    Но векторных мезонов оказалось не 8, а 9, поэтому применим массовую формулу для мезонов, приняв заранее ее справедливость, для определения массы изоскалярного векторного мезона ω₀, входящего в октет:

откуда = 930 МэВ. Но изоскалярного векторного мезона с такой массой нет. Есть ω₀ с массой = 783 МэВ и φ с массой m_φ= 1020 МэВ. Пришлось Окубо ввести нонет векторных мезонов в виде прямой суммы октета и синглета,  который мы, предвосхищая события, запишем в виде

где -суть cos, - угол идеального смешивания октетного и синглетного состояний с I = 0, S = 0.  Подчеркнем еще раз, что введение его было вызвано расхождением массовой формулы для векторных мезонов с экспериментом.
    "В настоящее время (1969 г.) нет серьезных теоретических причин относиться к V₉ (к нонету-В.З.)  как к основной величине, никогда не выделяя из нее ω₀ (у нас φ₀ - В.З.) в виде SpV₉ , так что замечание Окубо нужно рассматривать как забавное, но не очень глубокое наблюдение. (С. Газиорович,"Физика элементарных частиц", М., 1969).
    Мы увидим несколько дальше, что наблюдение Окубо не только забавное, но и чрезвычайно глубокое.

2.1.4 Декуплет барионных резонансов с  J^P = 3/2⁺ и его массовые формулы

    К 1963 году были уже установлены девять барионных резонансов с J^P = 3/2⁺: изоквартет (с I = 3/2) Δ(1232) → N + π; изотриплет Σ*(1385) → Λ + π; изодублет Ξ*(1520) → Ξ + π. А в SU(3) как раз есть представление размерности 10, аналог НП размерности 4 в изопространстве  SU(2) (с I = 3/2), который задается симметричным тензором 3-го ранга (что вкупе с симметричным тензором, описывающем  спиновое состояние с J^P = 3/2⁺ приводит к симметричной волновой функции для частицы с полуцелым спином!!!). Не достает состояния со странностью -3, которое обозначим Ω^-. Вместе с ним декуплет запишется в виде:

Массовая часть лагранжиана для декуплета резонансов , следуя гипотезе Гелл-Манна об октетном характере нарушения унитарной симметрии лагранжиана, запишется просто:

Действительно, из унитарных волновых функций декуплета барионных резонансови соответствующего антидекуплета  , благодаря симметрии по индексам, октет можно построить единственным образом, свернув волновые функции по двум индексам из трех. В результате получим

Такая формула для масс именуется эквидистантной. Она действительно выполняется с неплохой точностью, прочем шаг по массовой шкале составляет примерно 145 МэВ. Но тогда предсказываемое состояние со странностью -3  и массой (1530 + 145) = 1675 МэВ не может быть резонансом, поскольку самое легкое двухчастичное состояние со странностью -3 - это (Ξ(1320)K(490)) с массой 1810 МэВ! А значит, если оно существует, то должно быть частицей, стабильной по сильным взаимодействиям, и раcпадаться по слабому взаимодействию каскадным образом с потерей странности на единицу на каждом шаге.
    Это предсказание целиком покоится на октетном характере нарушения, вводимого в массовый член лагранжиана, описывающего декуплет барионных резонансов .
    Частица Ω^- была найдена в 1964 году, ее масса  (1672.5 + 0,3) Мэв точно совпадала с предсказанием SU(3)!
    Это был триумф унитарной симметрии. В нее поверило большинство физиков.