Перевод с английского статьи В.И. Загребаева, опубликованной на сайте Nuclear Reactions Video.

Классическая модель

    Несмотря на существенные квантовые свойства ядерной динамики, многие процессы могут быть поняты гораздо лучше и четче при помощи классической модели. Если длина волны де Бройля сталкивающихся частиц мала, то свойства соответствующей волновой функции (как амплитуды, так и сдвига фаз) определяются в основном набором классических траекторий. Применение классической модели (при условии выполнения неравенства kR>>1, где k – волновое число, а R - определяет область взаимодействия сталкивающихся частиц) оправдано при энергиях E_p,n >80 MeV для нуклон-ядерных столкновений, при >20 MeV для -частиц, и при любых энергиях в столкновениях тяжелых ионов.

Рис. 1. Классическая траектория, угол возврата и угол рассеяния.
Функция отклонения (радужное рассеяние (rainbow) и закручивание (orbiting)).

    В упрощенной классической модели упругого рассеяния налетающая частица и мишень рассматриваются как тяжелые точки (без внутренней структуры) взаимодействующие посредством центральной потенциальной силы, определяемой потенциальной энергией V(r), которая является суперпозицией кулоновкого и короткодействующего ядерного взаимодействий: V(r) = V_c(r) + V_N(r). В системе центра масс угол поворота
(b,r) определяется по формуле

,

а функция отклонения

(b) = - (b,r₀),

где b - параметр соударения, r - расстояние между ядрами, и r₀ - расстояние наибольшего сближения (точка поворота):

Кулоновское взаимодействие двух равномерно заряженных сфер

, при r > R_C, и
, при r < R_C,

где . Для ядерного взаимодействия может быть выбран один из следующих потенциалов:
объемный потенциал Вудса-Саксона

,

поверхностный потенциал Вудса-Саксона

,

где ,

приближенный потенциал [1]

VN(r) = 4bФ(),

где = 0.951{1 - 107826[(N - Z)/A]² Мэв Фм,
= C_pC_r/(C_p + C_r), C_i = R_i[1 - (b - R_i)²], = s/b, s = r - (C_p + C_r) и
Ф() = -1.7817 + 0.9270 + 0.14300² - 0.09000³,  < 0,
Ф() = -1.7817 + 0.9270 + 0.01696² - 0.05148³,  0 < < 1.9475,
Ф() = -4.41exp(-/0.7176), > 1.9475.

или симметричный фолдинг-потенциал Гросса и Калиновски [2] –

V_GK(r,R₁,R₂) = (V₁(r - r',R₁)₂(r',R₂)d³r' + (V₂(r - r',R₂)₁(r',R₁)d³r'), который может быть написан в параметрической форме.
    Упругое рассеивание в классической модели записывается как

где b_i- прицельный параметр, сщоответствующий уголу детектирования , т.е. (b_i) = + (см. рис.1б). Вклад каждой траектории уменьшается на фактор вероятности выживания

,

учитывающий потери входного потока, за счет связи с неупругими каналами. Здесь - средняя длина свободного пробега и W(r) < 0 - поглощающий потенциал (мнимая часть оптического потенциала). Если имеется радуга в функции отклонения ( ), то ее вклад в сечение, оценивается квазиклассическим способом [4]:

где A_i - функция Эйри, , и z = + |C|^-1/3( - _R).

    Программа классической модели упругого рассеяния позволяет пользователю получать и обрабатывать в отдельных окнах потенциал взаимодействия, поле классических траекторий, функции рассеяния, вероятности выживания, зависимость точки поворота от прицельного параметра и дифференциальное сечение рассеяния, которое может быть представлено в абсолютной шкале или как отношение к резерфордовскому сечению, в лабораторной системе или системе центра масс. Его можно сравнивать с экспериментальными данными. Вклады различных компонент функции отклонения и радужное рассеяние могут быть легко найдены и показаны. Только сравнение между сечением, рассчитанным в пределах квантовой модели (см. ниже), с классическим сечением, наряду с анализом классической функции рассеяния, может обеспечивать глубокое понимание свойств исследованного углового распределения и динамики упругого рассеияния.

Квазиклассическая Модель

    Квазиклассическая аппроксимация очень часто используется в описании упругого рассеяния ядерной частицы. Имеются две причины для этого. Первая, в рамках квазиклассического приближения, главные квантовые эффекты (интерференция и прозрачность потенциального барьера ) приняты во внимание, и рассчитанный результат - обычно близок к точному. Во-вторых, более очевидные объяснения (траектории) полученных результатов можно достичь в сравнение с прямыми квантовыми вычислениями.
    Сечение упругого рассеяния может быть записано как сумма двух амплитуд рассеяния, для дальнодействующего кулоновского взаимодействия (рассчитанного аналитически)

и короткодействующего ядерного потенциала

Здесь _l = arg Г(l + 1 + i) - кулоновские сдвиги фаз, = k(Z₁Z₂e²/2E - параметр Зоммерфельда, S_l = exp(_l) - парциальные матричные элементы, и _l - парциальные ядерные сдвиги фаз, которые могут быть рассчитаны в числено, решая радиальные уравнения Шредингера (см. ниже Оптическую Модель).
    В квазиклассическом приближении суммарный (кулон + ядро) парциальный сдвиг фазы может быть найден следующим образом

где локальное волновое число, r₀(b) - точка поворота траектории с прицельным параметром b = (l + 1/2)k. В общем случае существует несколько комплексных решений уравнения (1) для точек поворота. Мнимая часть r₀(b) возрастает из-за возможности надбарьерного отражения налетающей волны и возрастания мнимой части оптического потенциала. В результате чего приходится использовать не очень простой подход комплексной траектории для правильного описания упругого рассеяния в квазиклассическом приближении [5].Однако, во многих случаях, для Вуд-Саксоновских типов оптических потенциалов комплексные точки поворота могут быть представлены в параметрическом виде [6] , тогда сечения можно легко вычислить.
    Во многих случаях в упругом канале также необходимы радиальные парциальные волновые функции или 3-х мерная искажённая волна. Они могут быть получены из уравнения Шредингера или расчитаны в квазиклассическом приближении [7]. В частности, для кулоновского рассеяния (подбарьерные энергии) все эти величины могу быть получены в явном виде [7]:
Кулоновские сдвиги фаз

угол поворота

,

точка поворота:

,

кулоновские парциальные волны:

Окончательно, кулоновская искажённая волна в 3-х мерном пространстве, разделенная кулоновской каустической поверхностью _c(r) = arccos(1 - /kr), на классически запрещенную область < _c(r) и область, где две траектории с прицельными параметрами проходят через каждую точку (r,), может быть записана как

где ,
S₁ = k( + )/2 - k + 2ln(/2) + /²,
,
,
= r(1 - cos ), = r(1 - cos ), _c = (r,_c), = 4/k, .

Оптическая модель

В квантовомеханической оптической модели упругого рассеяния (ОМ) относительное движение частицы описывается с помощью одночастичного уравнения Шредингера:

,

(8)

где E = ²k²/2 – энергия относительного движения, – приведенная масса, V_OM эффективный неэрмитовый оператор, который называется оптическим потенциалом (ОП). Предполагается, что влияние всех каналов реакции на упругий канал может быть учтено соответствующим выбором ОП. На практике обычно используется феноменологический ОП с простой радиальной зависимостью:

VOM(r) = Vc(r) + VN(r) + iW(r) + [Vso(r) + iWso(r)](·).

(9)

Здесь кулоновское и ядерное взаимодействие Vc + V_N такое же, как и в классической модели. Мнимая часть ОП может иметь поверхностную или объемную компоненты, либо их суперпозицию. Спин-орбитальное взаимодействие V_so + iW_so может быть включено в случае, если рассеимая частица имеет не равный 0 спин.
    Волновая функция относительного движения имеет граничное условие на бесконечности:

,

(10)

где f() - это амплитуда рассеяния (при рассеянии заряженных частиц эта формула может быть немного модифицирована с учетом искажений плоской и сферической волн на больших расстояниях дальнодействующим кулоновским взаимодействием). Чтобы найти амплитуду рассеяния, полная волновая функция представляется в виде разложения по парциальным волнам:

= (2l + 1)ill(r)Pl(cos )

(11)

и одномерные радиальные уравнения Шрёдингера численно интегрируются от 0 до некоторого достаточно большого r = R_max, где V_N(r) и W(r) можно пренебречь и остается только кулоновское взаимодействие.
    На таких больших расстояниях численное решение плавно переходит в известное асимптотическое поведение парциальных волн:

l(r) [(Fl + iGl) + Sl(Fl - iGl)],

(12)

где F_l и G_l -это действительная и мнимая части парциальной кулоновской волновой функции.Имея найденные таким образом S-матричные элементы, можно рассчитать амплитуду рассеяния с помощью (5) и дифференциальное сечение упругого рассеяния с помощью (6).
    Для более глубокого понимания механизма упругого рассеяния (природу интеренференционной структуры, радужные эффекты и т.д.) классическая и квазиклассическая модели могут использоваться совместно с рассчётами по ОМ.
    С оптической моделью также может быть сделано так называемое “near-far” разбиение амплитуды рассеяния, которое даёт во многих случаях лучшее понимание некоторых спецефических особенностей углового расспределения [9,10]. Такое разбиение идентично преобразованию формулы (5) , основанному на представлении полиномов Лагранжа в виде:

Pl(cos ) = () + ()

(13)

с асимптотикой

()[(2l + 1)sin ]^-1/2exp{i[+(l + 1/2) /4]}, при l >> 1/sin.

Подставляяя (13) в (5) получаем “ near-far ” разбиение, которое показывает в коротко-волновом приближении (L_max = kR_max >> 1) вклады в амплитуду , которые даёт рассеяние
на положительные ("near", 2d_l/dl = (b) = +)
и отрицательные ("far", 2d_l/dl = (b) = -) углы.
    Для заданных ОМ параметров код NRV оптической модели позволяет рассчитать, представить в графической и табличной форме, все выше упомянутые величины: парциальные волны _l(r), парциальные матричные элементы S_l, полную трехмерную волновую функцию (r,) и дифференциальное сечение рассеяния d/d. Автоматический поиск параметров ОМ может быть выполнен фитированием расчетного углового распределения к экспериментальным данным. Многие другие дополнительные возможности также включены в код, что позволяет анализировать исследуемый процесс в деталях.

Литература

1. J.Blocki, J.Randrup, W.J.Swiatecki, C.F. Tsang, Ann. Phys. (N.Y.), 105 (1977), 427.
2. D.H.E. Gross, H.Kalinowski, Phys. Reports, 45C (1978), 175.
3. R.Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-Hill Book Company, 1966, Ch.5 and Ch.18.
4. K.W. Ford, J.A. Wheeler, Ann. Phys. (N.Y.), 7(1959), 259.
5. E.Vigezzi, A.Winther, Ann. Phys. (N.Y.), 192(1989), 432.
6. Д.Семкин, В.Загребаев, Izv. AN, ser.fiz, 58(1994), 109
7. V.I. Zagrebaev, AnnPhys.(N.Y.), 197(1990) 33.
8. P. Hodgson, The Optical Model of Elastic Scattering, Oxford Univ. Press(Clarendon), London, 1963.
9. R.S. Fuller, Phys.Rev., C12(1975) 1561.
10. M.S. Hussein, K.W.McVoy, Progr.Part.Nucl.Phys, 12(1984) 103.