6. Глюон как калибровочное поле

    В цветном пространстве разделение кварков по цветам также условно. С одной стороны, всегда можно условиться, какой именно кварк несет определенный цвет во всем пространстве-времени. Этого можно добиться посредством глобального калибровочного преобразования в пространстве цвета. С другой стороны, концепция локализованного поля, лежащая в основе обычных физических теорий, как мы уже видели на примерах, естественно ведет к требованию инвариантности теории относительно локальных калибровочных преобразований в цветном пространстве.
    Подобно рассмотренным случаям с электроном и нуклоном, напишем лагранжиан для свободных полей трехцветных кварков q^a , a = 1, 2, 3 . Точнее, кварк определенного аромата q есть 3-спинор группы SU(3)_C в цветном пространстве:

аналогично тому, как нуклон является 2-спинором группы SU(2) в изопространстве. И подобно тому, как протон переводился в нейтрон с помощью 2-мерной матрицы ^-, кварк цвета 1 переводится в кварк цвета 2 или 3, но уже с помощью 3-мерной матрицы.
    Лагранжиан, описывающий свободное движение цветных кварков определенного аромата в пространстве-времени, имеет вид, аналогичный (7):

где q(x) - дираковский спинор, который является еще 3-спинором в цветном пространстве (см. (12)). Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования в цветном пространстве, задаваемого 3 × 3-унитарной матрицей, которую удобно записать в виде экспоненты от линейной комбинации 8 линейно независимых 3 × 3-эрмитовых матриц _k, k =1, ..., 8,

q'(x) = Uq(x),        

Здесь ^k, k = 1, ..., 8 - вещественные числа. Матрицы _k, k = 1, ..., 8, известны в теории унитарной симметрии SU(3) как матрицы Гелл-Манна, только здесь они действуют в цветном пространстве, переводя кварки одного цвета в кварки другого цвета. Они удовлетворяют перестановочным соотношениям, по виду напоминающие перестановочные соотношения для матриц Паули, i, j, k = 1, ..., 8. ( f_kij-так наз. структурные константы SU(3), отличные от нуля значения которых есть f₁₂₃=1, f₁₄₇= f₂₄₆ =  f₂₅₇ = f₃₄₅ = 1/2, f₁₅₆ = f₃₆₇= - 1/2, f₄₅₈ = f₆₇₈ = .) Потребуем теперь в духе наших предыдущих рассуждений инвариантности искомого лагранжиана относительно локального калибровочного преобразования, когда ^k являются функцией x:

Но, как и в предыдущих двух случаях для электрона и нуклона, L₀^C неинвариантен относительно локального калибровочного преобразования (13):

Для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, необходимо ввести уже 8 безмассовых векторных полей k = 1,...8 с калибровочным преобразованием

Взаимодействие этого поля с кварками зададим лагранжианом

которому соответствует фейнмановская диаграмма

Рис.10

где = 1, 2, 3 нумерует столбцы, а b = 1, 2, 3 строки матриц _k. Это равенство показывает, каким образом 8-вектор G^k может быть записан в виде бесшпуровой матрицы:

где

.

Каждый глюон несет цвет и антицвет, причем диагональные комбинации ни в коем случае не бесцветны! Кварк цвета a излучает глюон цвета a и антицвета b, переходя в кварк цвета b. Скалярная по цвету (бесцветная) комбинация в обмене между кварками не участвует.
     Запишем окончательное выражение для лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований неабелевой группы SU(3)_C в пространстве цвета:

где , k = 1, 2, ...8, - тензор свободного глюонного поля,

преобразующийся при локальных калибровочных преобразованиях как

Так же, как и в теории Янга-Миллса, из-за нелинейности по полю тензора глюонного поля возникают 3- и 4- глюонные вершины:

     
Рис.11

Эти выражения в сущности составляют основу квантовой хромодинамики.

Упражнения

1. Построить 3 x 3 матрицы, переводящие кварк цвета 1 в кварки цветов 2 и 3 (воспользоваться равенством (14) и аналогией с соотношениями для нуклона (6) ).
2. Показать, что лагранжиан (15) инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований (13).