8. Бозоны W и Y как калибровочные поля

    W и Y можно ввести как калибровочные поля, что обеспечивает перенормируемость теории электрослабых взаимодействий. Мы уже познакомились с методом построения лагранжианов, инвариантных относительно локальных калибровочных преобразований, на примере электромагнитного поля, изотриплета полей векторных ρ-мезонов и октета глюонов. В теории фотона как калибровочного поля мы имели дело с преобразованием по группе U(1), в теории ρ-мезонов как калибровочных полей у нас были преобразования по группе изоспина SU(2). Мы уже ввели понятие слабого изоспина, а теперь потребуем локальной калибровочной инвариантности лагранжиана левоспиральных лептонных ( и кварковых ) полей относительно преобразований в слабом изотопическом пространстве по группе SU(2)_L, а также лагранжиана левоспиральных и правоспиральных полей по группе U(1). В целом мы строим лагранжиан, инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований по группе SU(2)_L × U(1). При этом мы, рассматривая отдельно лево- и правоспиральные компоненты лептонов, вынуждены положить их массы равными нулю. Действительно, массовый член спинорного поля ψ(x) в лагранжиане билинеен по полю и  следующим образом запишется через лево- и право-спиральные компоненты спинорного поля

Легко видеть, что он оказывается неинвариантным относительно калибровочных преобразований, не обладающих право-левой симетрией.
     Нам надо получить выражение для трех поколений лептонов. Но, как понятно, достаточно написать выражение для одного левоспирального слабого изодублета

лептонов   и соответствующего правоспирального слабого   изосинглета e_R:

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования

где матрицы Паули действуют в слабом  изотопическом пространстве, а - произвольные вещественные фазы.
    Потребуем теперь инвариантности лагранжиана относительно локальных калибровочных преобразований, когда и являются функциями x. Но, как и в предыдущих случаях, первоначальный лагранжиан L₀ неинвариантен относительно подобных локальных калибровочных преобразований:

Для того, чтобы убрать члены, нарушающие калибровочную инвариантность, введем слабый изотриплет векторных полей и слабый изосинглет с калибровочными преобразованиями

где U = ;

Взаимодействие этих полей с лептонами _e,e^- зададим лагранжианами (16) и (17),  последний при a = -1/2, b = -1/2, c = - 1:

     Итак, требование инвариантности лагранжиана свободных лептонных полей относительно локальных калибровочных преобразований по группе SU(2)_L x  SU(1) приводит к появлению четырех безмассовых векторных полей , Y, взаимодействующих с этими лептонными полями. Ранее уже было показано, как поля с нулевым электрическим зарядом W_3μ, Y_μ ортогональным преобразованием переводятся в Z_μ, А_μ.
    Это преобразование практически завершает построение единой калибровочной теории слабых и электромагнитных взаимодействий, именуемой теорией электрослабых взаимодействий.
    Мы рассмотрели сектор лептонов   _e, e^- но полученные выражения достаточно просто обобщаются на другие лептоны и на кварковый сектор.
    Остается разрешить еще одну проблему, что, однако, оказывается невозможным без выхода за рамки рассмотренной калибровочной модели. Это проблема масс квантов слабого поля W^±, Z,  которые в полученных формулах равны нулю. Напомним, что экспериментально M_W 80 ГэВ, а M_Z90 ГэВ.
    Для решения проблемы ненулевых масс слабых векторных бозонов Хиггсом был предложен механизм так называемого спонтанного нарушения симметрии, который устроен таким образом, что в результате поля W^±, Z оказываются массивными, а электромагнитное поле А_μ остается безмассовым. Приведем схематическое изложение механизма Хиггса.

     Скалярные поля и калибровочные бозоны

     Нам придется рассмотреть формальное построение калибровочных полей не над спинорными полями, а над скалярными. Пусть задано скалярное заряженное поле φ(x), удовлетворяющее уравнению Клейна-Гордона , каковое может  быть получено из лагранжиана:

Введем локальное калибровочное преобразование

Начальный лагранжиан L₀ неинвариантен, как и следовало ожидать, относительно этого преобразования:

Введем безмассовое векторное поле со знакомым калибровочным преобразованием:

Тогда лагранжиан, в который мы введем еще самодействие поля φ(x) через член λ|φ(x)|⁴ и свободное поле А_μ через член -(1/4), где ,

оказывается инвариантен относительно локального калибровочного преобразования.
    Остается попытаться ввести массу калибровочного бозона, для чего мы и ввели самодействие. Будем рассуждать следующим образом. Потрактуем два последних члена в L в качестве некоторого потенциала V(φ) как функции переменной φ. Этот потенциал имеет минимум в точке φ= 0 при m² > 0, λ > 0. А что произойдет при  m² < 0, λ < 0? Минимум сместится из φ = 0 в φ = (|m²|/2λ)^1/2.  Вакуум оказывается вырожденным, а соответствующее вакуумное среднее отлично от нуля, <φ>₀ = v0! Формально введем новое поле χ = φ(х) - v так , чтобы новое поле имело обычный невырожденный вакуум, <χ>₀ = 0, и перепишем L,  заменив поле φ на поле χ, этим самым спонтанным образом нарушив калибровочную инвариантность построенного лагранжиана:

Подробно распишем первый член, который только и важен для понимания механизма генерации массы калибровочного бозона:

Последний член естественно трактовать как массовый член калибровочного поля А_μ с квадратом массы .

      Это и есть решение проблемы генерации массы калибровочных бозонов.
      Мы здесь вынужденно опустили некоторые вопросы, например, связанные с голдстоуновскими частицами, постаравшись возможно более просто изложить суть дела.
       А теперь рассмотрим задачу введения масс калибровочных бозонов W^±, Z. Поскольку они обладают слабым изоспином, следует ввести уже не одно, а несколько вспомогательных скалярных полей.
       Пусть заданы дублет скалярных заряженных полей φ(x), и, соответственно, ему сопряженный дублет :

,       

Эти поля описываются лагранжианом того же вида

только здесь поля φ(x)  - слабые изодублеты. Введем локальное калибровочное преобразование относительно группы SU(2) × U(1):

Начальный лагранжиан L₀ неинвариантен, как и следовало ожидать, относительно этого преобразования. "Удлиним" производную, введя калибровочные поля , таким образом, чтобы искомый лагранжиан оказался инвариантным относительно заданных калибровочных преобразований:

Переходя к полю χ = φ - v с нулевым ваккумным средним и раскрывая скобки в первом члене, получаем (удержим только интересующие нас вклады и обратим внимание на нейтральную комбинацию

):

где мы воспользовались одним из обратных к (18) соотношений:

тогда как второе соотношение

по построению отсутствует в лагранжиане. Иными словами, мы сообщили массу заряженным W^±- бозонам и нейтральному  Z -бозону, а фотон, как и должно, остался при нулевой массе. Отметим, что массы W^±- бозонов и Z -бозона оказываются связанными друг с другом через угол Вайнберга: M_W/M_Z = cos_W. Этот результат находится в прекрасном согласии с экспериментом. Действительно,  M_W = 80.419+0.056 ГэВ, M_Z = 91.1882+0.0022 ГэВ, а cos²θ_W = 1 - sin²θ_W, sin²θ_W = 0.2253+0.002, причем угол Вайнберга взят здесь из независимых экспериментов с нейтральными токами (см. Particle Data Group, The European Physical Journal C, Vol.15, 1-4, 2000). Кроме того, в лагранжиане остаются члены, описывающие взаимодействие квантов слабого поля с хиггсовскими бозонами. На сегодня это находится вне досягаемости эксперимента.
    Подобным образом можно ввести массы лептонов и кварков. Достаточно ввести взаимодействие скалярных частиц с фермионами. Рассмотрим это на примере электрона. Как мы уже знаем, левоспиральная  часть электрона входит в слабый изодублет с электронным нейтрино, а правоспиральная часть является слабым изосинглетом. Лагранжиан должен быть скаляром по слабому изоспину. Естественно для этого свернуть лептонный и скалярный изодублеты:

Этот лагранжиан калибровочно инвариантен, так как  калибровочные преобразования над фермионными изодублетом и изосинглетом в точности компенсируются по построению калибровочными преобразованиями над дублетом хиггсовских бозонов.  Стандартным приемом переходя к полю χ = φ - v с нулевым  ваккумным средним, получаем эффективную массу электрона:

Таким же образом можно сделать массивными остальные лептоны и кварки. Обратим внимание, что при этом возникают многочисленные вершины, соответствующие взаимодействию фермионов с хиггсовскими полями. Пока эти вершины, если они даже реальны, остаются вне досягаемости эксперимента.