4. Модель жидкой капли

    Исходя из аналогии между заряженной жидкой каплей радиуса R= R₀ A^1/3 (где R₀ = 1.3 Фм) и атомным ядром, К. Вайцзеккер в 1935 г. написал полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра E_св:

E_св = a₁A - a₂A^2/3 - a₃Z²/A^1/3 - a₄(A- 2Z)²/A + a₅A^-3/4.

    Первое слагаемое в выражении для энергии связи ядра, подобного жидкому или твердому телу, должно быть пропорционально массовому числу A

E_объем = a₁A.

    Этот член представляет объемную энергию ядра и в пределе больших значений Аи отсутствия кулоновских сил может быть интерпретирован как энергия связи ядра, симметричного по нейтронам и протонам. Эксперимент подтверждает примерную пропорциональность энергии связи E_св массовому числу A.
    Второй член, который должен быть учтен в рассматриваемой модели - поверхностная энергия ядра. Она уменьшает энергию связи ядра, так как нуклоны, находящиеся на поверхности, имеют меньше соседей, чем внутренние частицы. Это хорошо известный эффект поверхностного натяжения жидкой капли. Поверхностная энергия пропорциональна поверхности сферического ядра. Следовательно, она должна зависеть от массового числа A как A^2/3

E_пов = a₂ A^2/3.

    Третий член в выражении для энергии связи обусловлен кулоновским взаимодействием протонов. В капельной модели предполагается, что электрический заряд протонов равномерно распределен внутри сферы радиуса R = r₀A^1/3.
    Это создает кулоновскую энергию ядра

E_кул = a₃Z(Z-1)/A^1/3 ≈ a₃Z²/A^1/3,

которая также уменьшает общую энергию связи ядра.
    Капельная модель учитывает вклад в энергию связи ядра объемной, поверхностной и кулоновской энергии. Этих слагаемых, однако, не достаточно для корректного описания энергии связи реальных ядер. Чтобы учесть то обстоятельство, что атомное ядро состоит из фермионов двух типов – протонов и нейтронов, в выражение для энергии связи E_св необходимо ввести дополнительные члены, которые не могут быть поняты в рамках капельной модели ядра, но получают свое объяснение в рамках оболочечной модели ядра.
    Прежде всего, необходимо учесть энергию симметрии ядра, которая отражает повышенную стабильность ядер с N = Z.

E_сим = a₄(A- 2Z)²/A.

    Наконец, чтобы учесть наблюдаемое в эксперименте скачкообразное изменение энергии связи ядра при добавлении к нему или удалении из него одного нуклона, надо добавить в выражение для E_св парную энергию (энергию разрыва нуклонной пары).

E_пар = a₅A^-3/4,

где a₅ > 0 для четно-четных ядер, a₅ = 0 для нечетных ядер и a₅ < 0 для нечетно-нечетных ядер.
    Входящие в формулу Вайцзеккера коэффициенты a₁, a₂, a₃, a₄ и a₅ оцениваются из экспериментальных данных по энергиям связи ядер.
a₁ = 15,75 МэВ; a₂ = 17,8 МэВ; a₃ = 0,71 МэВ; a₄ = 23,6 МэВ;

Рис. 7. Вклад различных членов в удельную энергию связи ядра ε.

    Энергия связи E_св(A,Z) растет с ростом массового числа A, достигая величины ~ 2 ГэВ в области A ~ 270. Поэтому гораздо более удобно использовать удельную энергию связи ε = E_св/A- энергию связи, приходящуюся на один нуклон (рис. 7). Величина удельной энергии связи для большинства ядер ~ 8 МэB. Пропорциональность полной энергии связи числу нуклонов в ядре объясняется тем, что ядерные силы – короткодействующие, обладают свойством насыщения.
    Спад удельной энергии связи при малых A объясняется ростом по абсолютной величине отрицательного слагаемого, обусловленного поверхностной энергией: -W_пов/A= -a₂A^-1/3. Постепенное уменьшение удельной энергии связи в области тяжелых ядер вызвано кулоновскими силами, так как слагаемое -W_кул/A = -a₃Z²/A^4/3 растет по абсолютной величине при увеличении Z.
    Формула Вайцзеккера позволяет по известным A и Z вычислять  энергию связи ядра E_св(A,Z) с погрешностью ~10 МэВ (см. рис. 8). При A ≈ 100 это дает относительную ошибку в энергии связи ядра ~10^-2. Точность вычисления массы ядра

M = Zm_p + (A – Z)m_n – [a₁A – a₂A^2/3 – a₃Z²/A^1/3 – a₄(A – 2Z)²/A + a₅A^-3/4]/c²,

где m_p – масса протона, m_n – масса нейтрона и c – скорость света, еще выше ~10^-4.

Рис. 8. Разность Δ между предсказаниями формулы Вайцзеккера и экспериментальными значениями энергии связи для ядер с различными числами нейтронов N. Наиболее сильные расхождения с экспериментальными значениями наблюдаются в окрестностях магических чисел нейтронов N= 20, 28, 50, 82, 126.

    Наибольшее расхождение с экспериментом формула Вейцзеккера обнаруживает в окрестности магических чисел нуклонов (см. рис. 8). Это указывает на важность учета оболочечных эффектов при вычислении энергии связи ядра.
    В рамках капельной модели ядра удалось объяснить многие свойства атомных ядер и получить полуэмпирическую формулу для энергии связи атомных ядер, которая позволила понять основные закономерности α- и β-распадов, механизма деления ядер, оценивать массы и энергии связи ядер, рассчитывать пороги ядерных реакций.
    Важное применение капельная модель нашла в объяснении механизма деления тяжелых ядер. Возможность этого процесса обусловлена тем, что удельная энергия связи ε, начиная с области железа – кобальта, уменьшается с ростом массового числа A из-за увеличения кулоновского взаимодействия протонов в ядре (см. рис. 7). В результате тяжелому ядру оказывается энергетически выгодно распадаться на более легкие фрагменты.
    Деление ядер происходит в результате ядерного взаимодействия между нуклонами в ядре. Поэтому деление, казалось бы, должно происходить за времена, характерные для сильных взаимодействий ~ 10^-20 - 10^-23 c. Однако в случае спонтанного деления периоды полураспада могут иметь величины порядка нескольких лет.
    За счет чего происходит такое замедление распада ядра? Причина – в возникновении потенциального барьера и в необходимости осколкам деления его преодолевать.
    Процесс деления определяется конкуренцией двух слагаемых энергии связи ядра E_св: поверхностной и кулоновской энергий. Если ядро изменяет свою форму и без изменения объема из сферического превращается, например, в эллипсоидальное, его поверхность увеличивается. Поэтому поверхностная энергия возрастает по абсолютной величине, так что поверхностные силы будут стремиться вернуть ядро в исходное сферическое состояние.
    С другой стороны, кулоновская энергия ядра, наоборот, уменьшается по абсолютной величине из-за увеличения среднего расстояния между протонами, и кулоновские силы отталкивания будут стремиться увеличить деформацию ядра. При малых деформациях преобладают силы поверхностного натяжения, при больших – силы кулоновского отталкивания. Таким образом, возникает типичный потенциальный барьер (подобный тому, который имеет место при α-распаде), препятствующий мгновенному делению тяжелых ядер.
    Рассмотрение динамики деления позволяет понять, как изменяется величина барьера деления при изменении массового числа A и заряда ядра Z. Для этого достаточно проследить, как изменяются поверхностная и кулоновская энергии при небольших отклонениях формы исходного ядра от сферической. Пусть ядро принимает форму вытянутого эллипсоида вращения, причем отклонение от исходной сферической формы незначительно (случай малых деформаций). Тогда при условии, что объем ядра не изменяется (ядерная материя практически несжимаема), величины малой a и большой b полуосей ядерного эллипсоида даются выражениями

a = R(1 + ε)^-1/2, b = R(1 + ε),
V = 4πR³/3 = 4πa²b/3

где R – радиус исходного ядра, а ε – малый параметр. Действительно, объемы эллипсоида и сферы при этом будут равны: V = 4πR³/3 = 4πa²b/3.
    Поверхностная и кулоновская энергии ядерного эллипсоида могут быть записаны в следующем виде:

E_пов = a₂ A^2/3(1 + 2ε² /5 +...)
E_кул = a₃ Z² A^-1/3(1 -ε² /5 +...)

    Отсюда следует, что изменение полной энергии ядра при переходе от сферической формы к эллипсоидальной определяется соотношением

ΔE = -ε²(2a₂A^2/3 -a₃·Z²A^-1/3)/5.

Барьер возникает тогда, когда ΔE > 0, то есть при

Z²/A > 2a₂/a₃48.

    Высота барьера тем меньше, чем меньше разность в скобках в соотношении для ΔE, то есть - чем больше параметр деления Z²/A.
    На Рис. 9 показана зависимость формы барьера деления, а также энергии деления от величины параметра Z²/A. При Z²/A ≈ 48 барьер деления исчезает, и ядра с таким или большим параметром деления неустойчивы к мгновенному (за время ≈10^-22 с) спонтанному делению. Спонтанное деление ограничивает область существования устойчивых или долгоживущих ядер со стороны больших значений Z и A. Так, например, Z²/A = 48 для ядра с Z = 114 и А= 270. Вероятность спонтанного деления растет с увеличением параметра деления Z²/A, то есть с уменьшением высоты барьера. В целом при переходе от менее тяжелых ядер к более тяжелым периоды спонтанного деления уменьшаются от t_1/2 > 10²¹ лет для ²³²₉₀Th (торий) до 7 мс для ²⁵⁶₁₀₄Rf (резерфордий). Зависимость периода полураспада t_1/2 спонтанного деления от высоты барьера деления столь же резкая, как и при α-распаде.
    Если не принимать во внимание туннельный эффект, обуславливающий медленный самопроизвольный распад очень тяжелых ядер, то для того чтобы ядро разделилось, ему необходимо передать энергию возбуждения равную или большую высоты потенциального барьера. Необходимая энергия возбуждения уменьшается при переходе к более тяжелым ядрам.

    Капельная модель предсказывает деление ядра на два одинаковых осколка. На практике, при делении тяжелого ядра тепловыми нейтронами (последние необходимы для создания нужного возбуждения ядра) действительно, как правило, образуются два осколка, но их массы не равны. Случаи симметричного деления составляют менее 1%. Наиболее вероятно деление на осколки, один из которых примерно в полтора раза тяжелее другого. Наблюдаемая асимметрия деления может быть объяснена влиянием ядерных нейтронных оболочек: тяжелому ядру энергетически выгоднее делиться так, чтобы число нейтронов в осколке было близко к одному из магических чисел (50 или 82).
    Капельная модель дает правильное описание массы и энергии связи ядра, что позволяет исследовать энергетические условия разных мод распада ядра (в частности α-и β-распада), качественно описывает природу низколежащих уровней четно-четных ядер, дает возможность построить полуколичественную теорию деления тяжелых ядер.