8. Модель ядерных оболочек

    Экспериментальные исследования атомных ядер выявили некоторую периодичность в изменении индивидуальных характеристик (таких, как энергии связи, спины, магнитные моменты, четности, некоторые особенности α- и β-распадов) основных и возбужденных состояний атомных ядер. Эту периодичность (рис. 8) капельная модель ядра описать была не способна.
    Отмеченная периодичность подобна периодичности свойств электронных оболочек атома и определяется магическими числами нейтронов и протонов:

    Магические числа нейтронов и протонов по аналогии с характеристиками основных состояний атомов соответствуют полностью заполненным ядерным оболочкам.
    Одночастичная модель оболочек атомных ядер была предложена М. Гепперт-Майер [5] и независимо О. Хакселем, Е. Иенсеном и Г. Зюссом [6]. Она явилась результатом систематизации и обобщения огромного количества экспериментальных данных.
    В основе модели лежит предположение, о том, что ядерное поле V_k, действующее на нуклон k в ядре со стороны остальных нуклонов, состоит из трех частей

    Первый член V₀(r) описывает центрально-симметричное поле, создаваемое всеми нуклонами ядра. Второй член V₁(r)(ŝ) описывает спин-орбитальное взаимодействие нуклона. Третий член  описывает остаточное взаимодействие между нуклонами типа парных сил и характеризует отклонение от самосогласованного поля, создаваемого V₀(r) и V₁(r)(ŝ).
    Решающим шагом в развитии оболочечной модели ядра явилось понимание того, что спин-орбитальное взаимодействие нуклонов в среднем поле ядра приводит к расщеплению уровней с данным значением j на два уровня с j = l ±1/2, где j – спин нуклона, l – орбитальный момент нуклона.
    Величина спин-орбитального расщепления приближенно определяется соотношением

   В потенциале, учитывающем спин-орбитальное взаимодействие, в пределах одной оболочки снимается вырождение состояний по полному моменту j нуклона, который в зависимости от ориентации спина нуклона при данном l принимает 2 значения − j = l ± 1/2. Происходит расщепление состояния с орбитальным моментом l на два состояния с разной взаимной ориентацией момента  и спина . Ниже по энергии опускается уровень с j = l + 1/2, так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными нуклонами ядра.
   Схема ядерных одночастичных уровней с учётом ls – расщепления показана на рис. 15.

Рис. 15. Одночастичные уровни в сферически симметричном оболочечном потенциале Вудса-Саксона: слева - без учета спин-орбитального взаимодействия, справа - с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку.

    Величина спин-орбитального расщепления тем больше, чем больше l. Начиная с уровня 1g, затем 1h и т.д., спин-орбитальное расщепление ls становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками.
    Количество нуклонов одного сорта на подоболочке nlj равно v_j – числу проекций спина нуклона j на ось z:

v_j= 2j + 1.

    Состояния ядра в одночастичной модели оболочек определяются расположением нуклонов на одночастичных подоболочках и называются конфигурациями. Основное состояние ядра соответствует расположению нуклонов на самых нижних подоболочках.
    Приведенная на Рис 15. последовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50, последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов различаются.
    Энергетическое положение ядерных подоболочек и, следовательно, последовательность их заполнения зависит от массового числа А. На рис. 16 показано, как изменяются положения одночастичных нейтронных подоболочек E_n в зависимости от массового числа А.

Рис. 16. Зависимость энергий нейтронных одночастичных подоболочек En от массового числа A.

    Между любой парой нуклонов одного типа на подоболочке помимо общего, сводящегося к центрально симметричному взаимодействию V(r), действует дополнительное взаимодействие, не сводимое к V(r), которое поэтому называется остаточным − V_ост. Свойства V_ост таковы, что паре нуклонов одного сорта на одной подоболочке выгодно иметь результирующий момент J = 0. Это и есть эффект сил спаривания, упоминавшихся ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера. Дополнительная энергия связи ядра за счёт этих сил имеет величину порядка 1 - 3 МэВ.
    Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях r ~ (1 – 2) Фм нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на подоболочке в состояниях, характеризуемых одними и теми же квантовыми числами nlj. Наиболее связанной при этом оказывается пара нейтронов (протонов) с противоположно направленными моментами, т.е. с +j_z и -j_z Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент и чётность такого состояния - J^P = 0⁺.
    Таким образом, в основном и низколежащих состояниях ядер нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными . Для того, чтобы разрушить каждую такую пару, в ядро нужно внести энергию 1 - 3 МэВ. Возникает сверхтекучесть ядерной материи. В трёх случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и чётность основного состояния ядра.

    1. Ядро с заполненными оболочками. Так как в каждой заполненной оболочке заняты состояния со всеми возможными проекциями , результирующий момент подоболочки и полный момент ядра  равны нулю. Каждому нуклону на подоболочке с проекцией +j_z будет соответствовать нуклон с проекцией -j_z, и суммарный момент нуклонов подоболочки будет равен нулю. Проекция момента j_z принимает следующие дискретные значения:

j_z = ±j, ±(j-1), ±(j-2),..., ±1/2.

Чётность замкнутой подоболочки положительна, так как она содержит чётное число (2j + 1) нуклонов одинаковой чётности. Поэтому для замкнутой оболочки:

J^P = 0⁺.

    2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных оболочек. Остов заполненных оболочек имеет характеристику 0⁺, а поэтому момент и чётность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон находится в состоянии nlj , то полный момент ядра J = j, а результирующая чётность ядра P = (-1)^l. Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем

    3. Ядро с «дыркой» в заполненной оболочке, т.е. с подоболочкой, в которой до заполнения не хватает одного нуклона.
    В этом случае имеем те же правила определения спина и чётности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненной оболочки:

    В одночастичной модели оболочек можно сформулировать следующие правила для спинов J и чётностей P в основном состоянии ядра:

• чётно-чётное ядро J^P = 0⁺;
• нечётное ядро J = j, P = (-1)^l;
• нечётно-нечётное ядро|j_p- j_n| ≤J ≤j_p+ j_n,

где j, l, j_p, l_p, j_n, l_nотносятся к полному и орбитальному моменту нечётного нуклона (протона, нейтрона). Эти правила полностью описывают обнаруженные экспериментальные закономерности спинов и четностей атомных ядер.