8. Эмпирические особенности ядер и частиц

8.1. Статические характеристики атомных ядер

    Статические характеристики атомных ядер и элементарных частиц определяют свойства частиц в невозбужденном состоянии, в отличие от динамических, проявляющихся при ядерных превращениях и различных реакциях.
    Важнейшими статическими характеристиками ядра являются: атомный номер, определяющий число протонов в ядре Z,
число нейтронов в ядре N,
массовое число − количество нуклонов в ядре А,
энергия связи Е_св,
спин J,
изотопический спин I,
пространственная четность Р,
размеры частиц R,
дипольный магнитный момент μ,
электрический квадрупольный момент Q
статистика, которой подчиняются частицы, и другие квантовые числа.

    Главнейшей характеристикой всякой частицы является ее масса (масса покоя). Частицы − это квантовые системы, имеющие возбужденные состояния (см. п. 1.3.2).
    Для атома основное состояние определяется массой нейтрального атома, состоящей из массы ядра и массы атомарных электронов.
    Международная единица массы (а.е.м.) равняется 1/12 массы атома ¹²С.
1 а.е.м. = 1.66043·10^-24 г = 931.481 МэВ = 1 D (дальтон).
    Возбужденные состояния ядер характеризуются энергиями возбуждения в МэВ. Для ядер они малы по сравнению с их массой (см. рис. 3).
    Для элементарных частиц положения энергетических уровней характеризуются энергиями, соответствующими массам покоя частиц (МэВ, ГэВ, см. рис. 2). Самая легкая частица − электрон:
m_е ~ 10^-27 г, а Е = m_ес² = 0.511 МэВ. Более тяжелая − мюон: m_μс² = 105 МэВ ~ 206 m_ес². Еще тяжелее протон: m_р ~ 2000 m_е. Атомные ядра имеют массу до 260 m_р, т.е. массы частиц различаются в миллионы раз. Поэтому способы определения масс частиц очень разнообразны (см. п. 6).
    Массы составных частиц − адронов и ядер − это мера энергии, содержащейся в частице. Она определяется суммой масс конституентов за вычетом энергии связи этих составляющих и может быть определена из модельных представлений о ее составе.
    Адроны состоят из кварков: барионы − из трех кварков; мезоны − из двух (кварка и антикварка). Так утверждает кварковая модель, и это утверждение подтверждается на опыте.
    Можно составить соотношения для адронов, используя их кварковый состав: р, n, Λ, Σ⁺, Σ^-, Ξ⁰, Ξ^- и т.д. Предположим, что энергия связи между кварками ε_qq одинакова в любом адроне. Тогда для октета барионов будем иметь следующие соотношения:

    Массы кварков невозможно измерить непосредственно, но можно скомбинировать массы известных частиц, предположив, что энергии связи между кварками одинаковы. Тогда для некоторых комбинаций получим

m(р) − m(п) + m(Ξ⁰) − m(Ξ^- ) + m(Σ^-) − m(Σ⁺) = 0,
m(Ξ^*-) − m(^-) = m(Ω^-)/3 − m(Δ^-).

    Эти соотношения могут быть проверены, т.к. массы частиц получены в соответствующих экспериментах.
    Аналогичная процедура, исходящая из гиптезы, что ядро состоит из Z протонов и N нейтронов, приводит к выражению: M(Z, A) = Zm_р + Nm_n − Е_св(Z, A)/c²; A=Z + N.
    Масса ядра меньше суммы масс протонов и нейтронов на величину энергии связи Е_св/c². Эта величина для ядер очень велика и поддается прямому измерению.

8.2. Энергия связи

    Важнейшей статической характеристикой атомных ядер является энергия связи: Е_св − энергия, необходимая для полного расщепления ядра на р и n. Можно определить энергию связи через m_р и m_n:

 E_св(Z,A) = [Zm_р + Nm_n − M(Z, A)]c².

Все величины, входящие в эту формулу, известны. Так, например, для α-частицы:
Е_св = (2·1.007276 + 2·1.0086665 − 4.001523)_а.е.м. = 28.3 МэВ, а соответствующая ей величина массы Е_св/c² ~ 4·10 г, что составляет ~ 0.7% от полной массы α-частицы. Если энергии связи известны, то можно рассчитать процессы превращения ядер. Так, для отделения протона от ядра (Z, А) нужна энергия

E_p = E_св(Z,A) − E_св(Z-1,A-1).

    Для удобства вводят удельную энергию связи ε = Е_св/A, приходящуюся на один нуклон.
    Энергия связи зависит от атомного номера ядра. Анализ этой зависимости дает обширную информацию о свойствах ядер. В первом приближении энергия связи постоянна и равна ~ 8 МэВ на нуклон − это свойство насыщения ядерных сил (рис. 69а).

a)

б)

    Рис. 69. Удельная энергия связи ε = Е_св/A в зависимости от атомного номера ядра.

    Более детально поведение энергии связи в зависимости от атомного номера показано на рис. 696, из которого видно, что максимум ε = 8.8 МэВ у ядра железа (А = 56). Это наиболее стабильное ядро.
    Легчайшие ядра сливаются в более тяжелые с выделением энергии связи − термоядерной энергии (рис. 696, врезка).
    Уменьшение ε в область легких ядер − следствие поверхностных эффектов, когда нуклонами на поверхности ядра используются не все валентности, ε уменьшается на величину, пропорциональную поверхности ядра ~ A^2/3. ε(Z) при фиксированном А ведет себя так, как показано на рис. 70.

Рис. 70. ε(Z) при фиксированном А.

    Как видно из рисунка, при А = 20 максимум приходится на значение Z ~ А/2. Равное число р и n создают лучшие условия для существования стабильных ядер.
    Это − следствие квантово-механического принципа Паули и того, что энергия взаимодействия (рn) в среднем больше, чем (рр) и (nn). Это − энергия симметрии. Она отрицательна по знаку и определяется величиной (N-Z)²/А.
    Тяжелые ядра делятся на более легкие с выделением энергии связи − атомной энергии. Уменьшение есв в области тяжелых ядер − следствие электростатического отталкивания протонов. Кулоновская энергия отталкивания ~ Z²/A^1/3.
    ε(Z,N) больше для ядер с Z и N четным и меньше для ядер с Z и N нечетным, что свидетельствует о существовании энергии спаривания нуклонов в ядре. При спаривании энергия связи возрастает на 2÷3 МэВ. Эта дополнительная энергия учитывается величиной δ(A,Z).
    На основе этих данных Вайцзеккер получил полуэмпирическую формулу для энергии связи (рис. 71):

Е_св = αА − βA^2/3 − γZ²A^-l/3 −  ξ(N−Z)²/A + δA^-3/4,

где α = 15.75 МэВ; β = 17.8 МэВ; γ = 0.71 МэВ; ξ = 22 МэВ;
.

Рис. 71. Иллюстрация поведения отдельных членов в формуле Вайцзеккера.

    Особенности формулы Вайцзеккера: 1) резкая разница между α = 15.75 МэВ и ε ~ 8 МэВ, объясняется тем, что коэффициент а вычислен для бесконечно большого ядра с одинаковым числом р и n; 2) при А = 40÷50; 90, 130, 210 ε_св отличается от вычисленной по формуле на ~ 1% (рис. 696); эти отклонения приходятся на зоны магических ядер, у которых число протонов и нейтронов равно одному из следующих магических чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126; если и число протонов и число нейтронов равны одному из магических чисел, то такие ядра называются дважды магическими: ⁴Не₂, ¹⁶O₈, ⁴⁰Са₂₀, ⁴⁸Са₂₀, ²⁰⁸Pb₈₂.

8.3. Протон-нейтронная диаграмма

    Атомные ядра могут существовать только в ограниченной области значений А и Z (рис. 72). Вне этой области, которая называется областью стабильности, ядро, если и возникает, то мгновенно (за время 10^-24 с) распадается.

Рис. 72: Зависимость между числом нейтронов N и протонов Z для разных значений А (протон-нейтронная диаграмма)

    Теоретические границы области стабильности определены, но экспериментально подойти к этим границам достаточно трудно, т.к. времена жизни ядер около этих границ очень коротки.
    Изучение протон-нейтронной диаграммы приводит к следующим заключениям.

1. Известны ядра от Z = 0 до Z = 107. Искусственно получены ядра вплоть до Z = 116.
2. Нет стабильных ядер с Z = 0, 43, 61 и Z > 84.
3. Известны ядра от А = 1 до А = 263.
4. Нет стабильных ядер с A = 5, 8 и А > 210.
5. Свойства ядер зависят от четности Z и N. Особо стабильными являются ядра, у которых Z и N четные. Всего 4 ядра с Z и N нечетными: ²H₁, ⁶Li₃, ¹⁰B₅, ¹⁴N₇.
6. При малых А у ядер число р равно числу n, а с ростом А увеличивается доля нейтронов.
7. Большинство химических элементов имеет много изотопов. Больше всего их у олова Sn (10 стабильных изотопов). Ядра Be, Na, Al имеют только по одному стабильному изотопу.

8.4. Спин и магнитный момент ядра

    Спин − собственный момент количества движения микросистемы, ее внутреннее квантовое число. В физике частиц эта характеристика является основополагающей для решения проблемы классификации частиц. Частицы, имеющие полуцелый спин, образуют класс фермионов, а частицы с целым спином nћ (n = 0,1, 2,...) − класс бозонов. Различие между фермионами и бозонами колоссальное.
    Фермионы подчиняются запретам Паули и описываются статистикой Ферми. Все фундаментальные частицы (лептоны и кварки) являются фермионами.
    Бозоны подчиняются статистике Бозе, фундаментальные бозоны в физике частиц определяют тип взаимодействия. Они являются переносчиками взаимодействий (см. п. 2).
    Спин ядра определяется количеством нуклонов: при четном числе нуклонов ядро имеет целый спин, при нечетном − полуцелый, т.к. нуклоны являются фермионами с полуцелым спином.
    Таким образом, ядра могут быть как фермионами, так и бозонами. Поскольку нуклоны в ядре движутся и имеют орбитальный момент L, то полный момент ядра является суммой орбитального и спинового моментов нуклонов = + .
    Природа спина у адронов до сих пор не вскрыта. Ее пытались понять, исходя из внутренней структуры адронов, состоящих из партонов. Однако такой подход пока не привел к решению проблемы спина адронов.

Рис. 73. Орбитальный и спиновый магнитные моменты частицы с зарядом ze и массой m.

    Согласно классической электродинамике при вращении частицы с зарядом ze и массой m и обладающей механическим моментом ћ, возникает магнитный момент, пропорциональный механическому моменту . Таким образом, аналогом классического момента является магнитный момент орбитального движения

,

где eћ/2mc − магнетон. При наличии спина S у частицы и отсутствии орбитального движения магнитный момент или μ_s = g_s·μ_B, где g_s − гиромагнитное отношение (рис. 73). У электрона Дирака μ = μ_B = eћ/2m_ec − магнетон Бора.
    Магнитный момент протона измеряется в ядерных магнетонах  μ_я = eћ/2m_pc −, магнитный момент протона μ_p = 2.8μ_я. Магнитный момент нейтро-на μ_n = −1.9μ_я.
    Магнитный момент частицы может быть измерен по взаимодействию ее магнитного момента с внешним магнитным полем. Измерение магнитного момента дает возможность определить спин частицы.

8.5. Квадрупольный электрический момент ядра

    Квадрупольный электрический момент ядра характеризует отклонение распределения электрического заряда в ядре от сферически симметричного и может служить для изучения формы атомного ядра.
    Квадрупольный электрический момент ядра является тензором и определяется соотношением

Q = Z ∫r² ρ(r) (3 cos² θ − l)d³r,

где θ − полярный угол радиуса вектора относительно оси симметрии ядра, r − расстояние элемента заряда от начала координат.
    Для сферически симметричного ядра Q = О, вытянутое вдоль оси симметрии ядро имеет Q > О, а сплюснутое − Q < 0.
    На рис. 74 представлены экспериментальные данные о значениях квад-рупольных электрических моментов для разных ядер.

Рис. 74. Экспериментальные данные о зависимости квадруиольиых электрических моментов от Z или N. Цифры на рисунке − магические числа.

8.6. Изотопический спин

    Изотопический спин I характеризует число адронов, входящих в так называемый изотопический мультиплет. Это число равно 2I + 1. Изотопический спин адронов, как и обычный спин, может принимать значения целых и полуцелых чисел (0, 1/2, 1, 3/2 и т.д.). Простейшим изотопическим мультиилетом является изотопический дублет, состоящий из двух частиц: протона I_z = +1/2 и нейтрона I_z = −1/2. I_z − проекция изотопического спина на ось Z. Изотопический триплет состоит из трех частиц: π⁺, π⁰, π^-. Адроны, входящие в мультиплет, имеют близкие массы и близкие свойства по отношению к сильному взаимодействию. Существуют и другие изотопические мультиплеты, например Ξ⁰, Ξ^-; K⁺, K⁰; К⁰, К^-; D⁺, D⁰; Σ⁺, Σ⁰, Σ^- и др.
    Полный изотопический спин системы адронов вычисляется по правилам, аналогичным правилам сложения обычных спинов, и в случае ядра может принимать значения от 1/2(N−Z) до l/2(N+Z): где N − число нейтронов, Z − число протонов в ядре. Суммарный изотопический спин ядра определяет число различных зарядовых состояний с примерно одинаковой энергией связи. Изотопический спин сохраняется в процессах сильного взаимодействия и нарушается в слабых и электромагнитных взаимодействиях.
    Изотопический спин связан с изотопической инвариантностью сильного взаимодействия. Изотопическая инвариантность ядерных сил состоит в том, что в ядерных взаимодействиях протон и нейтрон можно рассматривать как два состояния одной частицы (нуклона), отличающиеся проекцией Iz изотопического спина.

8.7. Законы сохранения

    Кинематической характеристикой частицы является 4-импульс (p_x,p_y,p_z,iE), где p_x, p_y, p_z − компоненты трехмерного вектора импульса, а Е − энергия частицы.
    В процессах сильного взаимодействия сохраняются следующие величины:

    В электромагнитных взаимодействиях не сохраняются G-четность и изотопический спин I, а в слабых взаимодействиях не сохраняются Р-четность, С-четность, Т-четность, G-четность и изотопический спин I.
    Для наглядности все законы сохранения сведены в табл. 15. Знак + обозначает, что данная величина сохраняется.

Таблица 15. Законы сохранения

Квантовые числа s, с, b, t сохраняются в сильных взаимодействиях и не сохраняются в слабых.

Литература

1. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. -М.: Наука, 1972.
2. Капитонов И.М. Введение в физику ядра и частиц. -М.: УППС, 2002.
3. Аминева Т.П., Сарычева Л.И. Фундаментальные взаимодействия и космические лучи. -М.: Эдиториал УРСС, 1999.