Пенумбра и эффективная жесткость

    При переходе от дипольного поля к реальному геомагнитному полю исчезает аксиальная симметрия, поэтому, строго говоря, теория Штермера не применима. Однако отклонения от дипольного поля во многих случаях можно рассматривать как малое возмущение. Вторым важным фактором становится пересечение некоторыми траекториями поверхности Земли, точнее, верхней атмосферы. Очевидно, что частица не может прийти по такой траектории. В результате между минимальным и максимальным значением жесткости формируется область - так называемая пенумбра, имеющая сложную структуру чередования разрешенных и запрещенных траекторий. На рисунке приведено несколько рассчитанных примеров пенумбры. Черный цвет соответствует запрещенным траекториям. Первая левая белая полоса соответствует минимальной жесткости, край правого черного прямоугольника – максимальной.
    В реальном геомагнитном поле минимальные и максимальные значения жесткостей, определенных согласно теории Штермера, становятся функциями долготы и требуют уточнения. Жесткость обрезания, выше которого все жесткости являются разрешенными, называется «главной» (R_г), жесткость, ниже которой все жесткости прихода запрещены – «штермеровской» (R_ш). Для однозначного определения жесткости обрезания вводится т.н. «эффективная» жесткость (R_эф), определяемая по формуле:

где G(R_c) = 1 для разрешенных интервалов жесткостей, G(R_c) = 0 – для запрещенных интервалов прихода.
    Методика вычисления эффективной жесткости состоит в следующем. При численном интегрировании частица с отрицательным зарядом инжектируется из заданной точки в магнитосферу в заданном направлении, и траектория частицы отслеживается либо до попадания в плотные слои атмосферы (частица считается погибшей) либо до выхода на границу магнитопаузы (частица считается ушедшей на бесконечность). Так как при расчетах используется дискретный шаг по энергии (или жесткости), то формула для расчета эффективной жесткости обрезания принимает следующий вид:

R_eff = R_min + (R_max − R_min)·n/N,

где R_eff - эффективная жесткость обрезания, R_min − минимальная жесткость обрезания, определенная при численном интегрировании, R_max максимальная жесткость обрезания, n – число погибших частиц в интервале (R_min, R_max), N – полное число частиц в этом интервале.
    Как правило, при расчетах шаг интегрирования по энергии выбирается не менее 0.01 ГэВ (приблизительно 0.01 ГВ по жесткости). Это обеспечивает разумную, т.е. сопоставимую с точностью вычисления, ошибку в определении эффективной жесткости.

    Численные расчеты показывают, что ширина пенумбры зависит от геомагнитной широты: она практически равна нулю на высоких широтах, максимальна на средних широтах и уменьшается к экватору почти до нуля. На рисунке представлены результаты траекторных расчетов вертикальной жесткости обрезания для московского меридиана в зависимости от географической широты. Нижняя граница зеленой области соответствует минимальной жесткости частицы, достигающей границы магнитосферы, верхняя граница зеленой области – максимальной жесткости частицы, гибнущей в атмосфере. Выше зеленой области все траектории являются разрешенными, ниже этой области все траектории – запрещенные. Красная линия соответствует эффективной жесткости обрезания, внутри зеленой области она рассчитана по процедуре, описанной выше. Отметим, что верхняя огибающая области пенумбры, как и кривая жесткости в приэкваториальной области, изменяется практически регулярным образом в соответствии с теорией Штермера.

Планетарное распределение эффективной жесткости

    Выше было показано, что жесткость геомагнитного обрезания зависит от направления. В физике космических лучей широко используется вертикальная жесткость, т.е. жесткость частицы, приходящей из вертикального направления. Исторически это связано с тем, что в начальную эпоху исследования космических лучей детекторы размещались либо на поверхности Земли, либо на высотных аэростатах. Поэтому поток КЛ заведомо приходил из верхней полусферы. Расчеты показывают, что вертикальная жесткость является хорошей оценкой глобальной жесткости, усредненной по всем направлениям. Приведенное на рисунке планетарное распределение вертикальной жесткости геомагнитного обрезания на высоте 450 км (примерная высота полета международной космической станции), рассчитанное в [14], в первом приближении соответствует наклоненному и смещенному диполю – в западном полушарии в приэкваториальных областях жесткость меньше, чем в восточном полушарии. При расчетах проведено усреднение по местному времени. Рассчитанные данные могут быть проинтерполировнаы на произвольные значения географических координат, а также на различные высоты, местные времена и значения Kp-индекса [15].