Жесткость геомагнитного обрезания

    В рассматриваемой задаче частица обычно характеризуется магнитной жесткостью R (или просто жесткостью), определяемой как

R = pc/Ze,

где pc − импульс частицы, Z − относительный заряд, e − заряд электрона. Из определения магнитной жесткости видно, что она связана с штермеровской единицей длины и магнитным моментом диполя R = MS^-2. Частицы с одинаковой жесткостью двигаются по одинаковым траекториям. R обычно измеряется в Гигавольтах. Для протона R (в ГВ):

R = [(1.876 + E_k)E_k]^1/2,

где E_k- кинетическая энергия протона (в ГэВ).

    Из теории Штермера следует, что минимальная жесткость R_c , при которой положительно заряженная частица может достичь точки с координатами r, λ (λ - геомагнитная широта), двигаясь под углом ω к направлению "восток-запад", есть

Эта величина называется жесткостью геомагнитного обрезания – cut-off rigidity. Из формулы видно, что жесткость обрезания зависит от направления. Для частиц, достигающих поверхности Земли на широте λ под углом ω,

Здесь R_c выражена в ГВ. Для положительно заряженных частиц она минимальна при движении с запада и максимальна – с востока. На практике широко используется вертикальная жесткость обрезания - для частиц, приходящих по радиусу Земли. На экваторе при движении с запада R_c = 9.8 ГВ, с востока R_c = 57.2 ГВ, в вертикальном направлении R_c = 14.3 ГВ.
    Основным методом исследования траекторий движения заряженных частиц в геомагнитном поле является численное интегрирование уравнения движения. В настоящее время наиболее распространено использование различных модификаций метода Рунге-Кутта 4-го порядка [10,13], при этом применяются стандартные способы контроля точности, включая проверку сохранения интеграла движения – энергии (или модуля скорости). Для случая дипольного поля можно использовать и второй интеграл движения – интеграл Штермера. Кроме того, для проверки правильности численного решения используется метод обратного интегрирования. Суть его в том, что в силу структуры уравнения Лоренца, описывающего движение заряженной частицы в стационарном магнитном поле, при одновременной замене на противоположные значения знака заряда частицы и вектора ее скорости траектория движения полностью сохраняется, но проходится в обратном направлении. Остановив в какой-то момент численное интегрирование, можно попытаться вернуться в исходную точку (или в ее окрестность) обратным интегрированием, оценив тем самым ошибку численного решения. Этот же метод обратного интегрирования применяется для определения исходной точки, в которой частица космических лучей попала из межпланетного пространства на границу магнитосферы Земли. Так как основной поток космических лучей составляют протоны, то при расчетах используются «антипротоны», то есть частицы с той же массой и элементарным зарядом -1.

Траектории частиц в геомагнитном поле

    Траектории частиц в геомагнитном поле имеют весьма сложный вид, особенно при небольших энергиях. На этом и следующем рисунках показаны пары рассчитанных траекторий пробных частиц, инжектированных из одной и той же точки вертикально вверх, при этом значения энергии для каждой пары отличаются незначительно. Тем не менее, одна из траекторий (красная) втыкается в Землю, а вторая (зеленая) уходит на границу магнитосферы. Здесь показаны траектории частиц при жесткости ~12 ГВ.

    Слева показаны траектории частиц при жесткости ~9 ГВ, справа при ~2.6 ГВ. Хорошо видно, как траектории постепенно расходятся.

Границы применимости теории Штермера

    Теория Штермера основана на аксиальной симметрии дипольного магнитного поля, из которой следует существование второго интеграла движения. При переходе к более сложным моделям геомагнитного поля (например, модели IGRF) указанная симметрия исчезает, и обобщенный момент количества движения перестает быть точным интегралом. Однако в области квазидипольного (т.е. близкого к дипольному) полю теория Штермера удовлетворительно описывает закономерности движения. Кроме того, при достаточно высоких энергиях, соответствующим жесткостям обрезания частиц, достигающих поверхности Земли в приэкваториальной области, радиус кривизны траектории частиц достаточно велик по сравнению с характерными размерами магнитного поля (см. рисунок). Поэтому можно пренебречь отличиями реального геомагнитного поля от дипольного хотя бы в смысле применимости основных представлений теории Штермера. Для оценки применимости данной теории к движению частицы заданной энергии можно сравнить величину штермеровской длины S для этой частицы с размерами магнитосферы. Если S не превосходит 4-5 радиусов Земли, то наиболее критическая область вблизи экватора, находящаяся около S = 1 (см. рис, структура запрещенной области при γ = 0.998) находится в квазидипольной области геомагнитного поля.
    Однако при переходе к более высоким широтам одновременно нарастает отклонение геомагнитного поля от дипольного (в частности, вытягивание силовых линий в хвост магнитосферы в ночном секторе) и уменьшается жесткость обрезания, при этом радиус кривизны траектории частиц также уменьшается. Кроме того, при малых энергиях начинают сказываться другие эффекты, например, влияние электрического поля, существующего в магнитосфере. Это приводит к тому, что существует граница применимости теории Штермера [10, 13], хотя следует иметь в виду, что эта граница не имеет резкого характера. Считается, что при геомагнитных широтах выше ~65° (или при жесткостях менее ~1 ГВ) использование теории Штермера невозможно.
Различия между теорией Штермера и реальной картиной проникновения космических лучей в магнитосферу хорошо видны в высокоширотных областях. Согласно теории ось диполя недоступна для частиц сколь угодно больших жесткостей (кроме точки z = 0, см. §2). На самом деле в полярных шапках регистрируются частицы СКЛ достаточно малых энергий (см. §8).
    В области высоких широт можно рассчитывать жесткости обрезания численным интегрированием уравнений движения.