Правило сумм Томаса – Райха – Куна
для электрических дипольных переходов в атоме

    Выражение для вероятности перехода квантовой системы в единицу времени под действием внешнего возмущения, зависящего от времени по гармоническому закону, имеет следующий вид(см.(1.1)):

.

(7.1)

Эффективное сечение поглощения фотонов квантовой системой определяется из выражения = w/поток фотонов.
    Пусть амплитуда векторного потенциала электромагнитной волны нормирована так, чтобы соответствовать одному фотону в единице объема. Тогда поток фотонов будет численно равен их скорости с и

.

(7.2)

    Будем считать, что конечные состояния квантовой системы, поглощающей фотоны, принадлежат дискретному спектру. В этом случае вместо выражения (7.2), содержащего плотность состояний, можно записать эквивалентное ему выражение

,

где сумма берется по конечным состояниям, лежащим внутри интервала энергий от E_f до E_f + dE_f. Переходя далее к сечению поглощения фотонов, проинтегрированному по всей энергетической области, имеем

.

(7.3)

где сумма берется теперь по всем конечным состояниям.
    Если интересоваться только электрическими дипольными переходами, вызванными взаимодействием системы с плоской электромагнитной волной, то для матричных элементов таких переходов в длинноволновом приближении мы можем использовать выражение (6.5)

.

(7.4)

где D = .
    Так как амплитуда векторного потенциала A₀ соответствует одному фотону в единице объема, то в соответствии с (2.1)

,

(7.5)

причем _fi = (E_f – E_i)/. Пусть единичный вектор поляризации электромагнитной волны направлен вдоль оси z, тогда из (7.4) с учетом (7.5) получаем

,

где D_z = .

Используя полученное соотношение, приходим к выражению для интегрального сечения поглощения E1 фотонов в длинноволновом приближении:

.

(7.6)

    Для простейших квантовых систем выражение (7.6) допускает существенные упрощения. Уточним прежде всего, что в данном случае следует понимать под простейшей квантовой системой.
    Как известно, свободная заряженная частица не может поглотить фотон, не изменив своего внутреннего состояния. Мы, однако, не рассматриваем процессы, приводящие к внутренним возбуждениям отдельных частиц системы, считая, что энергии излучения для этого недостаточно. Взаимодействие электромагнитной волны со свободным зарядом приводит в этом случае лишь к рассеянию излучения. Таким образом, простейшая система, которая может поглотить фотон, - это система двух связанных частиц, из которых по крайней мере одна заряжена. Такой системой является одноэлектронный атом, для которого мы и проведем дальнейшие расчеты. Очевидно, что энергия излучения, поглощенного системой связанных частиц, идет, с одной стороны, на изменение энергии относительного движения, частиц, или, иначе говоря, на изменение внутреннего состояния системы, а с другой – на изменение энергии движения системы как целого, т. е.на изменение энергии движения центра тяжести системы. Поскольку нас интересуют внутренние возбуждения системы, то мы должны исключить из рассмотрения эффекты, связанные с изменением состояния движения системы как целого. Это достигается переходом к системе координат, в которой начало координат совпадает с положением центра тяжести системы частиц. Как известно, в такой системе координат задача о нахождении состояний системы из двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых U(r₁,r₂) зависит только от расстояния между ними, т.е. U(r₁,r₂) = U(|r₁ – r₂|), сводится к задаче о нахождении состояний одной частицы, имеющей массу, равную приведенной массе системы, во внешнем поле U(r), где r = |r| = |r₁ – r₂|. Так как масса атомного ядра M во много раз больше массы электрона m, то приведенная масса одноэлектронного атома = mM/(m + M) практически совпадает с массой электрона, а в качестве координат центра тяжести атома могут быть взяты координаты ядра. Тогда в системе центра масс электрический дипольный момент одноэлектронного атома будет даваться выражением D_ат = еr, где r – радиус-вектор электрона.
    В соответствии с этим для одноэлектронного атома выражение (7.6) приобретает вид

.

(7.7)

Введем понятие силы осциллятора F_fi перехода электрона из состояния |i> и в состояние |f>:

.

(7.8)

Выражение (7.7) может быть теперь переписано в виде

.

    Строго говоря, здесь вместо массы электрона т должна стоять приведенная масса атома, которая, однако, практически совпадает с массой электрона.
    Таким образом, интегральное сечение поглощения E1 фотонов выражается через сумму сил осцилляторов .
    Докажем, что

= 1.

(7.9)

    Выражение (7.9) носит название правила сумм Томаса – Райха – Куна. Используя комплексно сопряженные матричные элементы, запишем (7.8) в виде

.

    Так как оператор z эрмитов, то

.

(7.10)

    Используем также выражение (6.4), связывающее матричные элементы операторов координаты и импульса частицы, записывая его в виде

.

(7.11)

    С учетом (7.10) и (7.11)

.

    При суммировании F_fi no f используем общее правило, по которому для двух произвольных операторов K и L справедливо выражение

,

(7.12)

где суммирование ведется по полному набору собственных функций |с> любого оператора, имеющего дискретный спектр состояний. Это правило является следствием условия полноты системы собственных функций оператора, имеющего дискретный спектр.
    Итак, суммируя по всем конечным состояниям с учетом (7.12), имеем

.

    Используя известное перестановочное соотношение [z,p_z] = i,получаем соотношение (7.9).

Итак, для одноэлектронного атома

.

    Если у атома имеется Z электронов, то интегральное сечение поглощения E1 фотонов для такого атома будет даваться выражением

Z,

(7.13)

так как каждый электрон вносит независимый вклад в сечение.

---