9. Изоспиновое расщепление гигантского дипольного резонансаВведение Состояния атомных ядер характеризуются квантовым числом
изоспином. Это является следствием инвариантности (нечувствительности)
нуклон-нуклонных сил к замене нейтрона на протон и наоборот. Специфика
квантового числа изоспина ярко проявляется в процессе возбуждения и распада
гигантского дипольного резонанса и цель данного параграфа кратко рассмотреть её.
где
|
Правила отбора по изоспину для электромагнитных переходовРассмотрим правила отбора по изоспину для электромагнитных переходов. Введём в выражение (9) для оператора электрического дипольного момента ядра изоспиновые характеристики нуклонов. Для этого используем формулу для электрического заряда нуклона, записанную через третью проекцию его изоспина:
где е - единичный положительный электрический заряд, а α = р или n. Тогда Е1-оператор ядра приобретает вид
Мы видим, что Е1-оператор в произвольной системе координат содержит
как слагаемое, вообще не зависящее от изоспина (изоскаляр), так и слагаемое,
являющееся третьей проекцией вектора в изоспиновом пространстве (изовектор).
Изоскалярную часть оператора, связанную с движением ядра как целого и
ответственную за Томсоновское рассеяние, мы убрали, переходя в систему центра
масс ядра, в которой
Поэтому по аналогии получаем правила отбора по изоспиновому моменту количества движения (т.е. изоспину) ядра при поглощении им Е1-фотона:
При этом, как и в случае обычного момента количества движения, переходы Ti =
0 → Tf = 0 запрещены (0
Мы видим, что в случае самосопряженных ядер Е1-фотоны возбуждают состояния лишь с одним изоспином 1, а в случае несамосопряженных ядер могут возбуждаться состояния с двумя изоспинами: T0 или T0 + 1. В этом последнем случае часто используют обозначение Т< = T0 и Т> = T0 + 1.
Рис. 52. Возможные типы Е1-переходов в ядрах с N = Z и N ≠ Z Итак, мы видим, что при поглощении Е1-фотонов возбуждаются состояния с определенными изоспинами, определяемыми правилами (87). В связи с этим возникает четыре вопроса:
На все эти вопросы будет дан ответ в настоящем параграфе. Начнём с первого из них. |
Чистота по изоспину состояний гигантского дипольного резонанса При поглощении ядром Е1-фотона из основного состояния,
являющегося практически чистым по изоспину, возникают состояния ГДР, также
характеризующиеся определенным изоспином, определяемым правилами отбора (87).
Эти состояния живут некоторое время в условиях окружающего фона ядерных
состояний с другим изоспином и могут за счет кулоновского взаимодействия,
нарушающего изоспиновую симметрию нуклон-нуклонных сил, получить примесь
состояния с «посторонним» изоспином. Это касается главным образом
где Pp
и Pn
- протонные и нейтронные проницаемости кулоновского и центробежного барьеров, Ep
и En
и - кинетические энергии протона и нейтрона (множитель
Действительное состояние будет линейной комбинацией этих двух состояний:
Вероятность протонного или нейтронного распада будет пропорциональной
квадрату коэффициентов при функциях их несвязанных состояний φ(p) и
φ(n), т.е. соответственно (α0 + α1)2 или (α0 - α1)2,
что и приводит к множителю
i = 0 отвечает основному состоянию конечного ядра
О сравнительно высокой чистоте по изоспину состояний ГДР
обсуждаемых самосопряженных ядер свидетельствует также процедура пересчета
экспериментальных фотопротонных сечений в фотонейтронные. Суть процедуры состоит
в следующем. Фотопротонное сечение σ(γ,pi) пересчитывается с учетом
информации об орбитальном моменте вылетающих нуклонов в соответствующее
фотонейтронное сечение σ(γ,ni) в предположении отсутствия смешивания
по изоспину. Это осуществляется с помощью соотношения (88), в котором полагается
α0 = 0. Далее полученные таким образом парциальные фотонейтронные
сечения суммируются и сравниваются с измеренными полными сечениями реакции
(γ,n). Хорошее совпадение как по форме, так и по абсолютной величине
сравниваемых сечений возможно лишь при незначительной примеси Т = 0 состояний к
Т = 1 состояниям. Результаты процедуры пересчета |
Вероятность возбуждений состояний гигантского резонанса с различным изоспиномНа рис. 54. показаны возможные типы частично-дырочных конфигураций, образующихся при поглощении ядром фотона
Рис. 54. Типы частично-дырочных конфигураций, образование которых возможно в результате поглощения ядром фотона Конфигурации а и b могут давать вклад как в Т<,
так и в Т>
состояния. Конфигурации c и d дают вклад только в Т< состояния.
Действительно, Т> состояния в ядре А(N, Z) являются аналогами
состояний в ядре А(N+1, Z-1). Значит любое состояние в ядре А(N+1, Z-1) может
быть получено поворотом соответствующего Т> состояния ядра А(N, Z) в
изоспиновом пространстве, преобразующим протон в нейтрон или нейтронную дырку в
протонную дырку. Для конфигураций c и d такие преобразования запрещены принципом
Паули, следовательно, они не могут давать вклад в Т> состояния.
где
Соотношение (92) сводит суммирование в формуле (91) к одной сумме
Преобразование, обратное (93), имеет вид
В соответствии с общими принципами квантовой механики квадраты коэффициентов Клебша-Гордана определяют вероятности системы, волновая функция которой представляется в виде разложения, иметь то или иное значение изоспина. Их знание позволяет оценивать в первом приближении вероятности различных ядерных процессов, идущих с сохранением изоспина. Рассмотрим теперь поглощение ядром Е1-фотона. Ядро из А нуклонов (Z протонов, N нейтронов) имеет в основном состоянии изоспин T0 = |(N-Z)/2|. Е1-фотону, как мы уже знаем, можно приписать изоспин 1 и проекцию изоспина 0. Поэтому, используя выражение (94), в котором T' = T'3 = T0, t = 1 и t3 = 0, получаем
Следовательно, вероятности возбуждения Т> = T0+1 и Т< = T0 состояний в первом приближении находятся из соотношений соответственно
Эти вероятности указаны нами и на рис. 55.
Рис. 55. Изоспиновая схема возбуждения и нуклонного распада Т< и Т> состояний гигантского дипольного резонанса ядра (N,Z). Указаны вероятности возбуждения и распада, определяемые квадратами изоспиновых коэффициентов Клебша-Гордана На рис. 55 даны также вероятности различных нуклонных ветвей распада Т< и Т> состояний ГДР ядра (N,Z), даваемые квадратами изоспиновых коэффициентов Клебша-Гордана. Конечными ядерными состояниями являются состояния ядер (N,Z-1) и (N-1,Z) с различными изоспинами (указаны два нижайших по изоспину состояния каждого ядра). Рассмотрим в качестве примера распад Т< = T0 состояний с вылетом протона или нейтрона на уровни конечных ядер с изоспином T0 + 1/2. Воспользуемся соотношением (93), в котором Т = T3 = T0, T' = T0 + 1/2, t = 1/2 и t3 = ±1/2:
Первый член выражения соответствует нейтронному распаду, второй - протонному. Вероятности этих распадов определяются квадратами соответствующих коэффициентов Клебша-Гордана:
Продолжим рассмотрение вопроса о вероятности возбуждения состояний ГДР с изоспинами Т< и Т>. Эти вероятности в первом приближении даются величинами T0/(T0+1) и 1/(T0+1). Вспомним выражение (8) для интегрального сечения поглощения квантовой системой Е1-фотона:
Здесь мы переобозначили основное состояние исходного ядра |i> ≡ |0> и положили его энергию нулевой (Ei ≡ 0). Энергия Ef становится энергией возбуждения f-го уровня и её мы перенесём в левую часть выражения под интеграл (индекс f при этом становится ненужным). Тогда для каждой изоспиновой ветви сечения фотопоглощения σ<(E) и σ>(E) получаем следующие первые моменты интегральных сечений, обозначаемые S< и S> (эти величины называют также взвешенными по тормозному излучению интегральными сечениями, имея в виду энергетический спектр тормозного излучения, аппроксимируемый зависимостью 1/E):
Здесь f<
и f>
- совокупность квантовых чисел, характеризующих Т<
и Т> состояния, в том числе и, конечно, их изоспины T0
и T0+1. В выражениях для S< и S>
мы выделили уже знакомые нам изоспиновые множители (квадраты изоспиновых
коэффициентов Клебша-Гордана), непосредственно определяющие «изоспиновую часть»
вероятности Е1-переходов, а всю оставшуюся часть каждого выражения (сумму
квадратов матричных элементов переходов между основным и возбужденными
состояниями с изоспинами Т< иди Т>, включая константу 4π2/ћc),
обозначили соответственно
Напомним, что полученные нами оценки вероятностей
возбуждения Т< и Т>
состояний относятся только к частично-дырочным конфигурациям типа a и b (рис.
54). Поэтому они предсказывают соотношение между интесивностями Т<
и Т> ветвей ГДР в легких ядрах, имеющих N ≈ Z. В этом случае, если бы
было
На самом деле, поскольку число переходов, образующих Т<
состояния, больше, следует ожидать выполнения соотношения
Для ядер 27Al (T0
= 1/2), 90Zr (T0
= 5) и 208Pb (T0
= 22) это выражение даёт: 2×0.78 = 1.56; ) 0.58/5 ≈ 0.12 и 5.8·10-2/22 ≈
2.6·10-3, соответственно, т.е. с увеличением массового числа
интенсивность Т>
компоненты ГДР быстро падает. |
Расщепление по энергии состояний гигантского резонанса с различным изоспином Обратимся к рис. 56. Слева для ядра с N > Z показана величина ΔET искомого изоспинового расщепления ГДР для него, равная E> - E< (по прежнему рассматриваем по одному дипольному уровню с T< = T0 и T> = T0 +1). Состояние с T> = T0 +1 в ядре (N, Z) имеет изобар-аналог в соседнем ядре (N+1,Z-1)), который в этом ядре является уже Т< состоянием и поэтому его энергия возбуждения E<,если пренебречь кулоновскими силами, та же, что и энергия Т> состояния в ядре (N, Z).
Рис. 56. К оценке величины ΔET изоспинового расщепления гигантского дипольного резонанса Если пренебречь кулоновскими силами и разницей в массах
протона и нейтрона, то, как следует из полуэмпирической формулы Вайцзеккера для
энергии связи ядра [2],
энергии всех состояний ядра (N+1,Z-1) будут сдвинуты вверх по энергии
относительно состояний ядра (N, Z) за счёт возрастания энергии симметрии
и эта же величина будет давать значение изоспинового расщепления ΔET, т.е. приближенно имеем
Учет кулоновского взаимодействия и разности масс протона и нейтрона приведет
к дополнительному понижению уровней ядра (N+1,Z-1) на величину ΔEкул +
(mn
- mp)c2, где ΔEкул
- уменьшение кулоновской энергии ядра (N+1,Z-1)) по сравнению с ядром (N, Z),
что, однако, не скажется на величине ΔET. Заметим, что ΔEкул
хорошо аппроксимируется выражением
В качестве константы в этом выражении, определяющей масштаб взаимодействия, возьмём величину ≈100/A МэВ, фигурирующую в соотношении (102) перед изоспиновым множителем (2T0+1). В итоге получаем так называемый потенциал Лейна [75], первоначально возникший в задачах описания рассеяния нуклонов ядрами в рамках оптической модели:
С помощью выражения (104) уже можно получить величину ΔET изоспинового расщепления ГДР. Действительно, при поглощении ядром Е1-фотона в нём образуется частица и дырка. Поэтому ядро в возбужденном состоянии представляет собой совокупность взаимодействующих друг с другом частично-дырочной пары (ph) и остова (см. рис. 57).
Рис. 57. Возбужденное ядро с изоспином T как совокупность остова с изоспином T0 и частично-дырочной пары с изоспином tph В выражении (104) в качестве частицы а используем ph-пару с изоспином tph, а в качестве ядерного изоспина используем изоспин T0 ядра в основном состоянии (т.е. изоспин невозмущённого ядерного остова). Изоспин Т возбужденного ядра определяется векторным сложением изоспинов остова и частично-дырочной пары:
Откуда
где квадраты изоспинов заменены их квантовомеханическими собственными
значениями. В зависимости от того, чему оказывается равным изоспин Т
возбужденного ядра: Т< = T0
или Т> = T0 + 1, для (
Разность энергий E> - E<
состояний с Т>
и Т<, т.е. величина изоспинового расщепления ΔET,
определяется разностью значений (
Это выражение имеет сходную с выражением (102) структуру, но предсказывает
меньшую величину изоспинового расщепления.
Для ядер 27Al, 90Zr и 208Pb величина ΔET составляет ≈ 3.3, 4.0 и 6.6 МэВ соответственно, т.е с ростом атомного номера наблюдается тенденция увеличения энергии расщепления компонент гигантского резонанса с различным изоспином. Кроме того, расщепление T> и Т< состояний при фиксированном Z увеличивается с ростом нейтронного избытка. Так для изотопов молибдена ΔET меняется от 3.3 МэВ (92Мо) до 5.4 МэВ (100Мо). |
Проверка концепции изоспинового расщепления гигантского резонанса в средних и тяжелых ядрах Проверка справедливости соотношений (100) и (109) может
быть проведена в области средних и тяжелых ядер. Для ядер этой области состояния
конечного ядра с T0+1/2, на которые разрешён нейтронный распад T>
состояний ГДР (см. рис. 55), лежат при относительно высокой энергии возбуждения.
Поэтому T>
состояния должны распадаться преимущественно с испусканием протонов. В то же
время протонный распад Т< состояний должен быть сильно подавлен
высоким кулоновским барьером (≈ 10 МэВ). Таким образом, для средних и тяжёлых
ядер можно приближенно считать, что фотонейтронное сечение представляет Т<
компоненту гигантского резонанса, а фотопротонное - T>. Это
приближение должно быть тем лучше, чем тяжелее рассматриваемое ядро. Исходя из
этого, должно наблюдаться:
Рис. 58. Качественная иллюстрация проявления изоспинового расщепления ГДР в сечениях фотопротонной и фотонейтронной реакций
Рис. 59. Фотонейтронное [77] и фотопротонное [78] сечения для ядра 90Zr
Рис. 60. Фотонейтронное и фотопротонное сечения для ядра 139La (рисунок из работы [79]) Для обоих ядер (90Zr и 139La)
наблюдается смещение сечения реакции (γ,р) относительно сечения реакции (γ,n) в
сторону более высоких энергий, причём при переходе от более легкого ядра 90Zr
к более тяжелому 139La это смещение возрастает, а относительная
величина фотопротонного сечения уменьшается, что согласуется с концепцией
изоспинового расщепления ГДР.
В целом можно говорить о довольно хорошем согласии
сравниваемых величин, учитывая как приближенный характер теоретических оценок,
так и предположение о соответствии Т< компоненты ГДР только
фотонейтронному сечению, а T>
компоненты - только фотопротонному. И теоретические и экспериментальные оценки
не учитывают возможности смешивания по изоспину Т<
и T>
состояний, которое у массивных ядер может быть значительным. То, что при этом
общая картина предсказываемых эффектов воспроизводится экспериментальными
данными, говорит о том, что смешивание по изоспину не «затушёвывает» общей
структуры процесса возбуждения и распада состояний ГДР, диктуемой концепцией
сохранения изоспина в ядерном фоторасщеплении.
Вместе с тем, если ассоциировать фотопротонное сечение σp
с T>
компонентой ГДР, а фотонейтронное сечение σn+2n
- с компонентой Т<, то отношение их интегральных сечений
|
Проявление изоспинового расщепления гигантского резонанса в легких ядрахВ легких атомных ядрах доминирующим механизмом распада гигантского резонанса является полупрямой, поэтому смешивание Е1-состояний с различным изоспином незначительно (см., в частности табл. 7) и концепция изоспинового расщепления ГДР должна хорошо работать. Вместе с тем для большинства стабильных несамосопряженных легких ядер N-Z мало, поэтому величина изоспинового расщепления ΔET невелика, что при сравнительно больших ширинах сечений фотопоглощения, вызванных, в частности, конфигурационным расщеплением, приводит к сильному перекрытию Т< и Т> компонент ГДР, затрудняющему идентификацию состояний с различным изоспином. Отметим, что расчеты в рамках многочастичной модели оболочек с учетом специфики изоспина автоматически приводят к изоспиновому расщеплению ГДР легких несамосопряженных ядер. Однако, мы эти расчёты рассматривать не будем, сделав акцент на экспериментальные аргументы в пользу существования изоспинового расщепления гигантского резонанса у лёгких ядер [63, 85-93].
Рис. 61. Ширины Г гигантского резонанса ядер 1d2s-оболочки (темные точки, соединенные пунктиром) и величины изоспинового расщепления ΔET (светлые точки, соединённые сплошными линиями) [63, 85]. В качестве первого экспериментального свидетельства
изоспинового расщепления ГДР у легких ядер приведем рис. 61, на котором ширины Г
сечений фотопоглощения ядер 1d2s-оболочки сравниваются с величинами их
изоспинового расщепления ΔET, рассчитанными с помощью выражения
(109). Шкала ΔET
отсчитывается от минимальной ширины Г = 5 МэВ, характерной для дважды магических
ядер
16О, 40Са и самосопряженного ядра 28Si с
заполненной подоболочкой 1d5/2, для которых изоспиновое расщепление
отсутствует. Отчетливая корреляция между Г и ΔET
свидетельствует о важной роли изоспинового расщепления в формировании ширины
сечений фотопоглощения рассматриваемых легких ядер с N ≠ Z.
Эти семейства включают пять изотопических пар (14,15N, 32,34S, 46,48Ti, 58,60Ni, 63,65Cu), четыре триады изотопов (12,13,14C, 16,17,18O, 24,25,26Mg, 28,29,30Si) и один изотопический квартет (40,42,44,48Ca). Столь обширная систематика данных по изотопам позволила отчетливо наблюдать изотопический эффект в ширине ГДР (см. в качестве примера рис. 62, 63, 65) и понять суть этого явления (рис. 64, 66).
Рис. 62. Сечения фотопоглощения для изотопов углерода 12С, 13С, 14С Сам изотопический эффект в ширине ГДР, как видно из упомянутых рисунков, сводится к следующим особенностям в поведении этих ширин:
Рис. 63. Сечения фотопоглощения для изотопов кислорода 16О, 17О, 18С Все вышеперечисленные особенности изотопического эффекта в
ширине ГДР находят наиболее естественное объяснение в рамках концепции
изоспинового расщепления ГДР.
Рис. 64. Возникновение изотопического эффекта в триадах изотопов углерода и кислорода При добавлении одного нейтрона (переходе к изотопу с N =
Z + 1) к основной изоспиновой ветви Т> = Т0 + 1 = 3/2,
формирующейся Б-переходами из остова замкнутых оболочек (подоболочек),
добавляется ветвь Т< = Т0 = 1/2, формирующаяся переходами
из подоболочки с нейтронным избытком – ветвь А в терминологии концепции
конфигурационного расщепления ГДР (рис.64). Этот избыток для ядер с N = Z+1
незначителен (1 нейтрон), и поэтому относительный вклад Т<-ветви в
таких ядрах мал (фактор 1/Т0 в формуле (100)). Т<-ветвь
образует так называемый «пигми-резонанс», сильно разбросанный по энергии и
сдвинутый к меньшим энергиям относительно Т>-ветви на величину,
даваемую формулой (109), т.е. на несколько МэВ. Общая ширина сечения
фотопоглощения при этом возрастает (рис.64б).
У наиболее длинной цепочки изотопов кальция (40,42,44,48Са), как уже отмечалось, наблюдается рост ширины ГДР при увеличении нейтронного избытка вплоть до 44Са, а затем – сужение ГДР у самого тяжелого изотопа 48Са (рис. 65). При утяжелении изотопов кальция ширина (на половине высоты) сечений фотопоглощения меняется следующим образом: Г = 5 МэВ (40Са) → 7 МэВ (42Са) → 10 МэВ (44Са) → 7 МэВ (48Са). Подобная тенденция также хорошо укладывается в рамки концепции изоспинового
расщепления ГДР. Действительно, большой нейтронный избыток (как у 48Са)
приводит за счет фактора 1/Т0 в формуле (100) к сильному уменьшению
доли Т>-компоненты в ГДР, причем эта компонента сильно отодвинута по
энергии от Т<-компоненты (формула (109)). Ширина ГДР в этих условиях
формируется в основном за счет ширины одной изоспиновой компоненты и
приближается к ширине ГДР самосопряженного ядра (хотя остаётся ещё больше неё в
1.5 раза). Вся совокупность экспериментальных фактов о ширинах ГДР изотопических семейств свидетельствует о том, что масштаб проявления изотопического эффекта уменьшается с ростом массового числа А. Очевидно, это связано с тем, что величина ΔET расщепления изоспиновых компонент ГДР обратно пропорциональна А (формула (109). В связи с этим изотопический эффект в ширине ГДР должен исчезать при А > 70−80.
Используя формулы (100) и (109), даваемые концепцией
изоспинового расщепления ГДР, легко убедиться, что эта концепция позволяет
количественно воспроизвести изотопический эффект в ширине ГДР. Аппроксимируя
изоспиновые компоненты ГДР двумя гауссианами и подбирая положение этих гауссиан
Е< и Е>, а также их амплитуды так, чтобы выполнялись
соотношения (100) и (109), можно получить модельное сечение фотопоглощения для
любого изотопа и найти его ширину.
Таким образом, концепция изоспинового расщепления ГДР
позволяет объяснить все основные особенности в ширине ГДР цепочек изотопов
легких ядер.
Итак, в качестве исходных данных анализа используем полученные в работе [86] изоспиновые компоненты сечений фотопоглощения σ<(Е) и σ>(Е) ядра 14С (рис. 67а). Хорошо виден эффект расщепления ГДР ядра 14С на изоспиновые компоненты, соответствующий картине, представленной в верхней части рис. 64 (для ядра с N = Z + 2) и приводящий к широкой двугорбой кривой сечения фотопоглощения. «Выключение» изоспинового расщепления ГДР у ядра 14С означает совмещение по энергии изоспиновых компонент σ<(Е) и σ>(Е). Суммирование этих совмещенных изоспиновых компонент должно приводить к формированию узкого ГДР, характерного для самосопряженного ядра-изобара 14N. Совмещение изоспиновых компонент требует их смещения навстречу друг другу по шкале энергий. При этом нельзя просто сдвигать σ< и σ> по шкале энергий с сохранением исходного масштаба и формы сечений. При сдвиге вдоль оси энергии сечение деформируется за счет присутствия в выражении для эффективного сечения σ(Е) энергетического множителя Е (см. также выражение (8)):
Здесь |i>, |f> - волновые функции начального (до поглощения фотона) и
конечного состояний ядра,
Рис. 68. Сравнение сечения фотопоглощения, полученного «выключением» изоспинового расщепления у ГДР ядра 14С (точки) с экспериментальным сечением фотопоглощения ядра 14N (сплошная линия) Сравнение гигантского резонанса ядра 14С с
выключенным изоспиновым расщеплением (рис. 67б) с сечением фотопоглощения для
ядра 14N приведено на рис. 68. Согласие сравниваемых сечений является
хорошим во всей области энергий. Важно подчеркнуть, что совпали абсолютные
величины сечений. Отметим, что экспериментальные ошибки сечений и погрешности
процедуры совмещения изоспиновых компонент не велики и не приводятся, для того
чтобы избежать перегрузки рисунков. Они совершенно не влияют на заключение о
согласии сравниваемых кривых. 24.04.2014 |