9. Квантовая физика

    Модель атома Бора была попыткой примирить представления классической физики с формирующимися законами квантового мира.

    Э.Резерфорд, 1936 г.: «Как расположены электроны во внешней части атома? Я считаю первоначальную квантовую теорию спектра, выдвинутую Бором, одной из наиболее революционных из всех когда-либо созданных в науке; и я не знаю другой теории, которая имела бы больший успех. Он был в то время в Манчестере и, твердо уверовав в ядерную структуру атома, которая выяснилась в экспериментах по рассеянию, старался понять, как надо расположить электроны, чтобы получить известные спектры атомов. Основа его успеха лежит во внесении в теорию совершенно новых идей. Он внес в наши представления идею кванта действия, а также идею, чуждую классической физике, о том, что электрон может вращаться по орбите вокруг ядра, не испуская излучения. Выдвигая теорию ядерного строения атома, я вполне отдавал себе отчет в том, что согласно классической теории электроны должны падать на ядро, а Бор постулировал, что по некоторым неизвестным причинам этого не происходит, и на основе этого предположения он, как вы знаете, сумел объяснить происхождение спектров. Применяя вполне разумные допущения, он шаг за шагом решил вопрос о расположении электронов во всех атомах периодической таблицы. Здесь было много трудностей, так как распределение должно было соответствовать оптическим и рентгеновским спектрам элементов, но в конце концов Бор сумел предложить такое расположение электронов, которое показало смысл периодического закона.
    В результате дальнейших усовершенствований, главным образом внесенных самим Бором, и видоизменений, произведенных Гейзенбергом, Шредингером и Дираком, изменилась вся математическая теория и были введены идеи волновой механики. Совершенно независимо от этих дальнейших усовершенствований я рассматриваю труды Бора как величайший триумф человеческой мысли.
    Чтобы осознать значение его работ, следует рассмотреть хотя бы только необычайную сложность спектров элементов и представить себе, что в течение 10 лет все основные характеристики этих спектров были поняты и объяснены, так что теперь теория оптических спектров настолько завершена, что многие считают это исчерпанным вопросом, подобно тому, как это было несколько лет назад со звуком».

    К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н.Бора не может дать адекватное описание свойств атома. В 1925–1926 гг. в работах В.Гейзенберга и Э.Шредингера был разработан общий подход описания квантовых явлений – квантовая теория.

Состояния в классической и квантовой физике
Классическая физика	Квантовая физика
Описание состояния
(x,y,z,px,py,pz)	ψ(x,y,z)
Изменение состояния во времени
=∂H/∂p,  = -∂H/∂t,
Измерения
x, y, z, px, py, pz	ΔхΔpx ~ ΔyΔpy ~ ΔzΔpz ~
Детерминизм	Статистическая теория
	|(x,y,z)|2
Гамильтониан
H = p2/2m + U(r)	= 2/2m + U(r)

    Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p_x,p_y,p_z,t). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(х,у,z,t). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно только определить вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции W ~ |ψ(x,y,z)|².
    Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где – оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).
    В нерелятивистском случае − ²/2m + (r), где т – масса частицы, – оператор импульса, (x,y,z) – оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. В стационарном состоянии волновая функция ψ(х,у,z) является решением стационарного уравнения Шредингера ψ = Eψ. Как и всякая связанная система в квантовой физике, ядро обладает дискретным спектром собственных значений энергии.
    Состояние с наибольшей энергией связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией Е, называют основным. Состояния с бòльшей полной энергией – возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию приписывается нулевой индекс и энергия E₀ = 0.

E₀ → Mc² = (Zm_p + Nm_n)c² − W₀;

W₀ – энергия связи ядра в основном состоянии.
    Энергии E_i (i = 1, 2, ...) возбуждённых состояний отсчитываются от основного состояния.

Схема нижних уровней ядра ²⁴Mg.

    Нижние уровни ядра дискретны. При увеличении энергии возбуждения среднее расстояние между уровнями уменьшается.
    Рост плотности уровней с увеличением энергии является характерным свойством многочастичных систем. Он объясняется тем, что с увеличением энергии таких систем быстро растет число различных способов распределения энергии между нуклонами.
    Квантовые числа – целые или дробные числа, определяющие возможные значения физических величин, характеризующих квантовую систему – атом, атомное ядро. Квантовые числа отражают дискретность (квантованность) физических величин, характеризующих микросистему. Набор квантовых чисел, исчерпывающе описывающих микросистему, называют полным. Так состояние нуклона в ядре определяется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом n (может принимать значения 1, 2, 3, …), определяющим энергию Е_n нуклона; орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, …, n, определяющим величину L орбитального момента количества движения нуклона (L = ћ[l(l+1)]^1/2); квантовым числом m ≤ ±l, определяющим направление вектора орбитального момента; и квантовым числом m_s = ±1/2, определяющим направление вектора спина нуклона.

Таблица.

Квантовые числа

n	Главное квантовое число: n = 1, 2, … ∞.
j	Квантовое число полного углового момента. j никогда не бывает отрицательным и может быть целым (включая ноль) или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. Величина полного углового момента системы J связана с j соотношением J2 = ћ2j(j+1). = + где и векторы орбитального и спинового угловых моментов.
l	Квантовое число орбитального углового момента. l может принимать только целые значения: l = 0, 1, 2, … ∞, Величина орбитального углового момента системы L связана с l соотношением L2 = ћ2l(l+1).
m	Проекция полного, орбитального или спинового углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента mj = j, j-1, j-2, …, -(j-1), -j. Для орбитального момента ml = l, l-1, l-2, …, -(l-1), -l. Для спинового момента электрона, протона, нейтрона, кварка ms = ±1/2
s	Квантовое число спинового углового момента. s может быть либо целым, либо полуцелым. s - неизменная характеристика частицы, определяемая ее свойствами. Величина спинового момента S связана с s соотношением S2 = ћ2s(s+1)
P	Пространственная четность. Она равна либо +1, либо -1 и характеризует поведение системы при зеркальном отражении P = (-1)l.

    Наряду с таким набором квантовых чисел, состояние нуклона в ядре можно также характеризовать другим набором квантовых чисел n, l, j, j_z. Выбор набора квантовых чисел определяется удобством описания квантовой системы.
    Существование сохраняющихся (неизменных во времени) физических величин для данной системы тесно связано со свойствами симметрии этой системы. Так, если изолированная система не изменяется при произвольных поворотах, то у неё сохраняется орбитальный момент количества движения. Это имеет место для атома водорода, в котором электрон движется в сферически симметричном кулоновском потенциале ядра и поэтому характеризуется неизменным квантовым числом l. Внешнее возмущение может нарушать симметрию системы, что приводит к изменению самих квантовых чисел. Фотон, поглощенный атомом водорода, может перевести электрон в другое состояние с другими значениями квантовых чисел. В таблице приведены некоторые квантовые числа, используемые для описа­ния атомных и ядерных состояний.
    Помимо квантовых чисел, отражающих пространственно-временную симметрию микросистемы, существенную роль играют так называемые внутренние квантовые числа частиц. Ряд из них, такие как спин и электрический заряд, сохраняются во всех взаимодействиях, другие в некоторых взаимодействиях не сохраняются. Так квантовое число странность, сохраняющееся в сильном и электромагнитном взаимодействиях, не сохраняется в слабом взаимодействии, что отражает разную природу этих взаимодействий.
    Атомное ядро в каждом состоянии характеризуется полным моментом количества движения . Этот момент в системе покоя ядра называется спином ядра.
    Для ядра выполняются следующие правила:
    а) A - чётно J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;
    б) A – нечётно J = n + 1/2, т. е. полуцелое.
    Кроме того, экспериментально установлено ещё одно правило: у чётно-чётных ядер в основном состоянии J_gs = 0. Это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии ядра – особое свойство межнуклонного взаимодействия.
    Инвариантность системы (гамильтониана ) относительно пространственного отражения – инверсии (замены → -) приводит к закону сохранения чётности и квантовому числу чётности Р. Это означает, что ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией. Действительно, ядро существует благодаря сильному взаимодействию между нуклонами. Кроме того, существенную роль в ядрах играет и электромагнитное взаимодействие. Оба этих типа взаимодействий инвариантны к пространственной инверсии. Это означает что ядерные состояния должны характеризоваться определенным значением четности Р, т. е. быть либо четными (Р = +1), либо нечетными (Р = -1).
    Однако, между нуклонами в ядре действуют и не сохраняющие чётность слабые силы. Следствием этого является то, что к состоянию с данной четностью добавляется (обычно незначительная) примесь состояния с противоположной четностью. Типичная величина такой примеси в ядерных состояниях всего 10^-6-10^-7 и в подавляющем числе случаев может не учитываться.
    Четность ядра Р как системы нуклонов может быть представлена как произведение четностей отдельных нуклонов p_i:

Р = p₁·p₂·...·p_A·,

причем четность нуклона p_i в центральном поле зависит от орбитального момента нуклона , где π_i - внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому четность ядра в сферически симметричном состоянии может быть представлена как произведение орбитальных четностей нуклонов в этом состоянии:

    На схемах ядерных уровней обычно указывают энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин указывается числом, а чётность знаком плюс для чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак ставится справа сверху от числа, указывающего спин. Например, символ 1/2⁺ обозначает чётный уровень со спином 1/2, а символ 3^- обозначает нечётный уровень со спином 3.

    Изоспин атомных ядер. Ещё одна характеристика ядерных состояний – изоспин I. Ядро (A, Z) состоит из A нуклонов и имеет заряд Ze, который можно представить в виде суммы зарядов нуклонов q_i, выраженных через проекции их изоспинов (I_i)₃

где

− проекция изоспина ядра на ось 3 изоспинового пространства.
    Полный изоспин системы нуклонов A

Все состояния ядра имеют значение проекции изоспина I₃ = (Z - N)/2. В ядре, состоящем из A нуклонов, каждый из которых имеет изоспин 1/2, возможны значения изоспина от |N - Z|/2 до A/2

|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.

Минимальное значение I = |I₃|. Максимальное значение I равно A/2 и отвечает всем _i, направленным в одну сторону. Опытным путём установлено, что энергия возбуждения ядерного состояния тем выше, чем больше значение изоспина. Поэтому изоспин ядра в основном и низковозбужденных состояниях имеет минимальное значение

I_gs = |I₃| = |Z - N|/2.

    Электромагнитное взаимодействие нарушает изотропию изоспинового пространства. Энергия взаимодействия системы заряженных частиц изменяется при поворотах в изопространстве, так как при поворотах изменяются заряды частиц и в ядре часть протонов переходит в нейтроны или наоборот. Поэтому реально изоспиновая симметрия не точная, а приближенная.

    Потенциальная яма. Для описания связанных состояний частиц часто используется понятие потенциальной ямы. Потенциальная яма — ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т ≥ 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т₁ меньше глубины ямы U₀, энергия частицы Е₁ = Т₁ + U₁ = Т₁ - U₀ < 0 и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Частица двигается в потенциальной яме с кинетической энергией Т₁, отражаясь от стенок.
    В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна потенциальной ямы. По порядку величины расстояние ΔЕ между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением
ΔЕ ≈ ћ²/ mа².
    Пример потенциальной ямы – потенциальная яма атомного ядра глубиной 40-50 МэВ и шириной 10^-13–10^-12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны со средней кинетической энергией ≈ 20 МэВ.

Прямоугольная потенциальная яма.

    При таких граничных условиях частица, находясь внутри потенциальной ямы 0 < x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.

ψ(x) = 0,   x ≤ 0, x ≥ L.

    Используя стационарное уравнение Шредингера для области, где U = 0,

получим положение и спектр энергий частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях. где n = 1, 2, 3,...
2. Частица не может иметь энергию равную нулю, т.е. находиться на дне потенциальной ямы. Минимальное значение энергии
3. Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция ψ_n, описывающая данное состояние. Плотность вероятности обнаружить частицу в точке х в различных квантовых состояниях определяется квадратом модуля волновой функции |ψ_n(x)|².
4. Для собственной функции ψ₁(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния ψ₂(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0.

Волновая функция частицы в бесконечной прямоугольной яме (а),  квадрат модуля волновой функции (б) определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

    Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.
    Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер.

    Вероятностный характер процессов, протекающих в микромире, является фундаментальным свойством микромира.

    Э.Шредингер: «Обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено и, я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.
    Довольно естественно связывать функцию ψ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное «требование целочисленности», а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции.
    Я не считаю возможным, до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа (радиальное и азимутальное)…
    Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания».

    М.Лауэ: «Достижения квантовой теории накоплялись очень быстро. Особенно поражающий успех она имела в применении к радиоактивному распаду при испускании α-лучей. Согласно этой теории существует «туннельный эффект», т.е. проникновение через потенциальный барьер частицы, знергия которой согласно требованиям классической механики, недостаточна для перехода через него.
    Г.Гамов дал в 1928 г. объяснение испускания α-частиц, основанное на этом туннельном эффекте. Согласно теории Гамова атомное ядро окружено потенциальным барьером, но α-частицы имеют определенную вероятность его «перешагнуть». Эмпирически найденные Гейгером и Неттолом соотношения между радиусом действия α-частицы и полупериодом распада получили на основе теории Гамова удовлетворительное объяснение».

    Статистика. Принцип Паули. Свойства квантовомеханических систем, состоящих из многих частиц, определяются статистикой этих частиц. Классические системы, состоящие из одинаковых, но различимых частиц, подчиняются распределению Больцмана

    В системе квантовых частиц одного типа проявляются новые особенности поведения, не имеющие аналогов в классической физике. В отличие от частиц в классической физике, квантовые частицы не просто одинаковы, но и неразличимы – тождественны. Одна из причин состоит в том, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновых функций, позволяющих вычислить лишь вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства. Если волновые функции нескольких тождественных частиц перекрываются, то невозможно определить, какая из частиц находится в данной точке. Так как физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции, из принципа тождественности частиц следует, что при перестановке двух тождественных частиц волновая функция либо изменяет знак (антисимметричное состояние), либо не изменяет знак (симметричное состояние).
    Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином – бозоны (пионы, фотоны, альфа-частицы. ...). Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

В одном квантовом состоянии может одновременно находиться неограниченное количество тождественных бозонов.
    Антисимметричными волновыми функциями описываются частицы с полуцелым спином – фермионы (протоны, нейтроны, электроны, нейтрино). Фермионы починяются статистике Ферми-Дирака

На связь между симметрией волновой функции и спином впервые указал В. Паули.

    Для фермионов справедлив принцип Паули – два тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии.

    Принцип Паули определяет строение электронных оболочек атомов, заполнение нуклонных состояний в ядрах и другие особенности поведения квантовых систем.
    С созданием протон-нейтронной модели атомного ядра можно считать завершенным первый этап развития ядерной физики, в котором были установлены основные факты строения атомного ядра. Первый этап начался в фундаментальной концепции Демокрита о существовании атомов – недели­мых частиц материи. Установление периодического закона Менделеевым позволило систематизировать атомы и поставило вопрос о причинах, лежащих в основе этой систематики. Открытие электронов в 1897 г. Дж. Дж. Томсоном разрушило представление о неделимости атомов. Согласно модели Томсона, электроны – составные элементы всех атомов. Открытие А. Беккерелем в 1896 г. явление радиоактивности урана и последующее открытие П.Кюри и М.Склодовской-Кюри радиоактивности тория, полония и радия впервые показали, что химические элементы не являются вечными образованиями, они могут самопроизвольно распадаться, превращаться в другие химические элементы. В 1899 г. Э. Резерфордом было установлено, что атомы в результате радиоактивного распада могут выбрасывать из своего состава α-частицы – ионизованные атомы гелия и электроны. В 1911 г. Э. Резерфорд, обобщив результаты эксперимента Гейгера и Марсдена, разработал планетарную модель атома. Согласно этой модели атомы состоят из положительно заряженного атомного ядра радиусом ~10^-12 см, в котором сосредоточена вся масса атома и вращающихся вокруг него отрицательных электронов. Размер электронных оболочек атома ~10^-8 см. В 1913 г. Н.Бор развил представление планетарной модели атома на основе квантовой теории. В 1919 г. Э. Резерфорд доказал, что в состав атомного ядра входят протоны. В 1932 г. Дж. Чадвик открыл нейтрон и показал, что в состав атомного ядра входят нейтроны. Созданием в 1932 г. Д. Иваненко, В. Гейзенбергом протон-нейтронной модели атомного ядра завершился первый этап развития ядерной физики. Все составные элементы атома и атомного ядра были установлены.

1869 г. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева

Дмитрий Менделеев (1834 – 1907)

Атомное ядро и периодическая система элементов

    Основой успешного построения периодической системы элементов Менделеевым и Логар Мейером явилось представление о том, что атомный вес может служить подходящей константой для систематической классификации элементов. Современная атомная теория подошла, однако, к истолкованию периодической системы, совершенно не затрагивая атомного веса. Номер места какого-нибудь элемента в этой системе и вместе с тем его химические свойства однозначно определяются положительным зарядом атомного ядра, или, что то же самое, числом отрицательных электронов, расположенных вокруг него. Масса и строение атомного ядра не играют при этом никакой роли; так, в настоящее время мы знаем, что существуют элементы или, вернее, виды атомов, которые при одном и том же числе и расположении внешних электронов обладают значительно разнящимися атомными весами. Такие элементы называются изотопами. Так, например, в плеяде изотопов цинка атомный вес распределяется от 112 до 124. Наоборот, есть элементы, обладающие существенно различными химическими свойствами, которые обнаруживают одинаковый атомный вес; их называют изобарами. Примером может служить атомный вес 124, который найден для цинка, теллура и ксенона.
    Для определения химического элемента достаточно одной константы, а именно – числа отрицательных электронов, расположенных вокруг ядра, так как все химические процессы протекают среди этих электронов.
    Число протонов n₂, находящихся в атомном ядре, определяют его положительный заряд Z, а тем самим и число внешних электронов, обусловливающих химические свойства этого элемента; некоторое число нейтронов n₁ заключенных в этом же ядре, в сумме с n₂ дает его атомный вес
A = n₁ + n₂. Обратно, порядковый номер Z дает число содержащихся в атомном ядре протонов, а из разности между атомным весом и зарядом ядра A – Z получается число ядерных нейтронов.
    С открытием нейтрона периодическая система получила некоторое пополнение в области малых порядковых номеров, так как нейтрон можно считать элементом с порядковым числом, равным нулю. В области высоких порядковых чисел, а именно от Z = 84 до Z = 92, все атомные ядра неустойчивы, спонтанно радиоактивны; поэтому можно предположить, что атом с зарядом ядра еще более высоким, чем у урана, если он только может быть получен, должен быть также неустойчивым. Ферми и его сотрудники недавно сообщили о своих опытах, в которых при обстреле урана нейтронами наблюдалось появление радиоактивного элемента с порядковым номером 93 или 94. Вполне возможно, что и в этой области периодическая система имеет продолжение. Остается прибавить только, что гениальным предвидением Менделеева рамки периодической системы так широко предусмотрены, что каждое новое открытие, оставаясь в объеме их, еще более укрепляет ее.

Л. Мейтнер.