|
< f |S|
i > =
δf,i + i(2π)4 δ(![]() ![]() |
(9.1) |
где N − нормировочный множитель, который является, фактически, произведением
из нормировочных множителей волновых функций каждой из частиц, участвующих
в реакции (т.е частиц и начального, и конечного состояний). Далее будем считать,
что начальные частицы не имеют спина (это упростит запись формул), а начальные и
конечные состояния не тождественны.
Вероятность перехода в единицу времени из состояния | i > в состояние | f
>
связана с квадратом модуля матричного элемента:
δW/δt = (2π)4 δ(![]() ![]() |
(9.2) |
где V − нормировочный объем, а при получении выражения (9.2) было использовано соотношение
![]() |
(9.3) |
где одна дельта-функция была заменена интегралом по нормировочному объему и
полному времени взаимодействия.
Вспоминая, как в предыдущей лекции определялось число столкновений нужного
типа, видим, что для получения сечения рассматриваемой реакции надо разделить δW/δt
на поток падающих частиц и просуммировать по всем конечным состояниям
рассматриваемого перехода, что даст
![]() ![]() |
(9.4) |
где n,f
− 4-импульс n-й частицы конечного состояния | f > (то есть,
f = ∑n
n,f ), и учтено также то обстоятельство, что все регистрируемые частицы
находятся на массовой поверхности, т. е.
=
. причем полная энергия n-й
частицы положительна (поэтому в (9.4) появилась тета-функция).
Поток падающих частиц (например, взятый в системе покоя частицы-мишени), при
нормировке волновых функций "на одну частицу в нормировочном объеме", равен
просто отношению относительной скорости начальных частиц на величину
нормировочного объема: flux = v0/V; поэтому (9.4) принимает вид
![]() ![]() |
(9.5) |
где относительная скорость v0 уже обсуждалась раньше и поэтому ее легко выписать:!
то есть, произведение (см. определение величины InvFlux в (8.3))
EaEbv0 = mamb| uab | = InvFlux | (9.6) |
есть инвариант. Отсюда видно, что если выбрать нормировочный множитель для начальных частиц a (и b) в виде
![]() |
(9.7) |
то (9.5) примет вид
![]() ![]() |
(9.8) |
где N1 − содержит нормировочные множители только для частиц конечного состояния. Обсудим это выражение.
С учетом сказанного, выражение (9.8) можно переписать как
![]() ![]() ![]() ![]() |
(9.9) |
Из курса квантовой механики известно, что элемент объема d3p в импульсном пространстве включает (V/(2π)3)d3p состояний, и по ним тоже подразумевается суммирование. Поэтому
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(9.10) |
Фактически, нормировка одночастичных состояний уже выбрана (с точностью до множителей типа (2π)3) так, что нормировочный объем в (9.10) сокращается с соответствующим знаменателем, спрятанным в |N1|2. В итоге приходим к форме, где нормировочного объема, как и нормировочного множителя, уже нет:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(9.11) |
Возможны и другие соглашения о нормировках одночастичных состояний: от этого зависит лишь форма выражения, связывающего матричный элемент реакции с сечением, но не само численное значение сечения. Остается обсудить смысл формулы (9.11).
Говоря о состоянии системы n частиц, мы задаем их 4-импульсы. Пространством состояний рассматриваемой системы оказывается, т. о., импульсное пространство. Элемент объема 4-импульсного пространства для системы n частиц (его также называют фазовым пространством для этой системы) есть:
dRn = d4![]() ![]() ![]() |
(9.12) |
Весь доступный рассматриваемым частицам объем этого фазового пространства
можно назвать интегралом состояний. Он не бесконечен, поскольку (1) полная
энергия системы n частиц фиксирована: (2) 4-импульс каждой из частиц имеет
фиксированную "длину", так как
2 = Ei2 − pi2 = mi2, (говорят, что все эти
частицы находятся на "массовой поверхности"). Чтобы учесть эти обстоятельства,
элемент фазового объема надо записать в виде
dRn =
![]() |
(9.13) |
где
n − полный 4-импульс нашей системы n частиц.
Вероятность пребывания нашей системы в той или иной ячейке фазового
пространства определяется квадратом модуля амплитуды перехода из начального
состояния в интересующее нас конечное (2): умножив его на элемент фазового
объема , получаем вероятность dW того, что система будет в соответствующем
состоянии:
dW =
![]() ![]() |
(9.14) |
и после интегрирования по массовой и энергетической поверхностям (их
пересечению) и учета нормировочных факторов, можно получить полную вероятность
распада на данные частицы или полное сечение соответствующего процесса, как это
было сделано в предыдущем разделе (см. (9.11)).
Если же зафиксировать энергию E1 (или модуль импульса) одной из частиц,
например, частицы 1, и проинтегрировать по всем остальным переменным, то dRn
можно представить в виде F(E1)dE1, где F(E1) есть
"площадь" сечения "физической" части фазового пространства плоскостью E1 = const; это будет плотность
вероятности частице 1 иметь энергию E1. Проще говоря, это не что иное, как
энергетический спектр частицы 1.
Рассмотрим (гипотетический, но в ряде частных случаев вполне реальный) случай,
когда квадрат матричного элемента реакции не зависит от импульсов частиц, иными
словами, когда вероятность того, что система окажется в какой-то ячейке фазового
пространства, не зависит от положения этой ячейки в фазовом пространстве. Тогда
вероятность иметь те или иные численные характеристики системы пропорциональна
объему той области фазового пространства, где эти характеристики могут
наблюдаться в принципе. Например, полная вероятность реакции или распада будет
пропорциональна полному фазовому объему, доступному для данной реакции/распада
при данных начальных условиях. То есть, в этом случае подсчет вероятностей
сводится к вычислению фазового объема, то есть − кинематике [2]!
Итак, пусть
2 ≡ 1 (или некоторой константе, которую можно положить равной 1,
что равносильно изменению единиц измерения). Тогда формула (9.13) определяет
элемент фазового объема. Это − 4-мерный скаляр, зависящий только от 4-импульсов,
и потому и он, и интеграл от него, не зависят от системы отсчета. Более того,
после интегрирования по всем
i он может зависеть только от полного 4-импульса
системы и тех инвариантов (скаляров), которые останутся после такого
интегрирования. Это означает, что полный фазовый объем должен зависеть только от
масс частиц и полной массы системы (или переменной s).
Заметив, что из четырех компонентов каждого
i только 3 являются независимыми
(т. к. частицы находятся на массовой поверхности), можно убрать δ-функции из
(9.13), проинтегрировав по четвертой компоненте:
![]() |
(9.15) |
где для перехода к последнему равенству в этой формуле надо использовать
известное свойство δ-функции.
В результате, элемент фазового объема из формы (9.13) принимает форму (уже в
пространстве 3-импульсов)
![]() |
(9.16) |
Важно отметить (см. также книгу Бюклинга и Каянти [3]):
Итак, фазовый объем системы n частиц есть1
![]() |
(9.17) |
Вычислим его для системы из двух частиц (см. [2]), перейдя, для удобства, в систему их центра масс:
![]() |
(9.18) |
Проинтегрировав по p2 с учетом δ-функции, получим:
![]() |
(9.19) |
Воспользуемся сферической системой координат: d3p1 = p12dp1dφd
cos θ, где (напомним,
что вычисление делается в системе центра масс пары частиц 1 и 2!) все
направления вектора p1 равновероятны, т. е. угол φ меняется равновероятно от 0
до 2π, cos θ меняется равновероятно от -1 до +1 и интегрирование по ним дает
просто фактор 4π.
Интегрирование по p1 тоже легко выполнить благодаря δ-функции: в самом деле,
p12dp1 = p1E1dE1,
E2 =
,
x = E1 +
− √s;
![]() ![]() |
(9-20) |
то есть.
![]() |
(9.21) |
где p1 − импульс частицы 1 в системе центра масс; как известно, это
![]() ![]() |
(9.22) |
Теперь интеграл по dx берется просто; с учетом фактора 4 π от интегрирования по углам, получаем, что для системы из двух частиц
![]() |
(9.23) |
где восстановлено традиционное обозначение для импульса в системе центра масс
p1* использована также традиционная кинематическая функция λ(a, b, c) = a2 + b2
+ c2 − 2ab − 2ac − 2bc.
Вблизи порога реакции, где √s мало отличается от суммы масс частиц конечного
состояния, фазовый объем растет от нуля (который имеет место, когда √s равен
пороговому значению) как
![]() |
(9.24) |
(определение переменной ε см. далее), а в ультрарелятивистском пределе (когда всеми массами можно пренебречь)
![]() |
(9.25) |
Для системы из трех частиц:
![]() |
(9.26) |
и в ультрарелятивистском пределе (mi → 0)
![]() |
(9.27) |
Заметим, что в этом пределе
![]() |
(9.28) |
Оказывается, что в общем случае n частиц в ультрарелятивистском пределе
![]() |
(9.29) |
На практике часто бывает очень полезным знать нерелятивистский предел
выражений для фазового объема систем из нескольких частиц. Дело в том, что этот
предел возникает при рассмотрении реакции рождения системы из n частиц вблизи ее
порога sthresh, когда
При этом полезно использовать
обозначение
:
величину ε часто называют просто "превышением над
порогом".
В общем случае n частиц нерелятивистский предел можно получить только приближенно (подробнее см. в книге Г.И.Копылова): соответствующее выражение имеет вид
![]() |
(9.30) |
Для системы из трех частиц нерелятивистский предел выглядит так:
![]() |
(9.31) |
В частности, для реакций типа p + p → p + p + V, где V − мезон,
![]() |
(9.32) |
Другими словами, при рождении в такой реакции разных мезонов V1 и V2 вблизи их порогов, отношение фазовых объемов (при одинаковом превышении над соответствующими порогами!) есть
![]() |
(9.33) |
Из формулы (9.17) и рис. 10.12 можно заключить, что фазовый объем для n-частичной системы можно выразить через фазовый объем системы с меньшим числом частиц. Действительно, такие соотношения существуют (см. книги [2, 3]). Они достаточно сложны, что можно заметить уже из вычислений для трехчастичного фазового объема.
Рассмотрим реакцию рождения η-мезона в протон-протонных взаимодействиях вблизи порога, задавшись вопросом о том, как повлияет взаимодействие частиц в конечном состоянии (двух протонов и эта-мезона) на энергетическую зависимость полного сечения этой реакции (опять-таки − вблизи порога).
Рис. 9.1. Сплошная кривая: граница кинематически разрешенной области для
системы ppη при √s = 2433.8 МэВ (на абсциссе и ординате отложены квадраты эффективных масс пар нуклон-мезон в конечном ppη состоянии). Полный фазовый объем есть площадь фигуры, ограниченной этой замкнутой кривой, т. е. интеграл ![]() |
![]() |
На этот вопрос кинематика может дать ответ, по крайней мере −
качественный.
Действительно, представим себе, что частицы, образовавшись в результате
взаимодействия, появились вместе с потенциалами, обеспечивающими их
взаимодействие между собой. Покидая область взаимодействия, они (частицы)
обладают и некоторой потенциальной энергией, которая либо увеличивает, либо
уменьшает их кинетическую энергию, в зависимости от того, каков характер
потенциала: притягивательный или отталкивательный.
![]() Рис. 9.2. Вычисленное распределение событий в фазовом пространстве для системы ррη при превышении над порогом ε = 16 МэВ, искаженное S-волновым протон-протонным взаимодействием в конечном состоянии. Площади квадратов пропорциональны числу событий в соответствующей области. Наибольший квадрат соответствует 260 событиям. См. [65]. |
В случае потенциала притяжения, они могут образоваться в тех ячейках фазового
пространства, которые недоступны для не взаимодействующих частиц, и затем "втянуты"
взаимодействием в конечном состоянии в ту область, которая энергетически разрешена. Это эквивалентно
"увеличению" доступного фазового объема и ведет к росту сечения реакции (если бы
матричный элемент действительно не зависел бы от кинематических переменных).
В случае потенциала отталкивания, частицы должны образоваться в меньшей
области фазового пространства, так как покидая область взаимодействия, они
приобретут дополнительную кинетическую энергию. Таким образом, сечение реакции
должно уменьшиться (из-за эффективно меньшего фазового объема) по сравнению с
сечением для частиц, не испытывающих взаимодействия в конечном состоянии.
Эти качественные рассуждения иллюстрируются рис. 9.1; на рис. 9.2 показано,
как перераспределяется "заселенность" фазового объема из-за взаимодействия в
конечном состоянии.
Мы вернемся к вопросу о заселенности событиями разных областей фазового
пространства позднее, при обсуждении диаграмм Далица.
(1) Здесь, для простоты, сделано переобозначение интеграла по фазовому объему: опущены множители со степенями 2π.