Нейтринные осцилляции

    На сегодняшний момент общепринятой физической теорией, полностью описывающей слабые и электромагнитные взаимодействия, является Стандартная модель электрослабых взаимодействий (или просто Стандартная модель). Данная модель объясняет все собранные экспериментальные данные, а открытие нейтральных токов и W- и Z-бозонов явилось ее блестящим подтверждением. Кроме того Стандартную модель подтвердили эксперименты на коллайдере LEP (Large Electron Positron Collider), доказавшие, что существует только 3 поколения лептонов с массой менее 50 ГэВ и, согласно кварк-лептонной симметрии, 3 поколения кварков.
    Тем не менее Стандартная модель нуждается в дополнении и обобщении. В своем нынешнем состоянии она не может предсказать массы фермионов, не объясняет необходимость нескольких поколений кварков и лептонов и, наконец, не может дать объяснение результатам всех проведенных экспериментов по измерению потока солнечных нейтрино, зафиксировавших дефицит потока нейтрино. Зато проблема солнечных нейтрино, а точнее ее отсутствие может быть объяснено с помощью теории нейтринных осцилляций.
    Основные положения теории нейтринных осцилляций:

• лептонные кварковые числа не сохраняются
• массы нейтрино не равны нулю, хотя и очень малы - при этом противоречий с проведенными экспериментами по измерению массы нейтрино нет, т.к. все они дают лишь ограничение на верхний предел массы нейтрино
• электронное, мюонное и тау-нейтрино является суперпозицией 3 состояний {ν₁, ν₂, ν₃}, имеющих массы m₁, m₂, m₃ (см. рис. 1)

Рис. 1. Соотношение между флейворными и массовыми состояниями нейтрино:

• Представление флейворных состояний как комбинации массовых собственных состояний. Длина прямоугольников показывает вероятность найти соответствующее массовое состояние в данном флейворном состоянии. (Длины нормированы на 1.)
• Флейворная структура массовых состояний. Электронный аромат показан красным (черным), а неэлектронный – зеленым (серым) цветом. Размеры красной и зеленой частей показывают вероятность электронное и неэлектронное нейтрино в данном массовом состоянии.
• «Портрет» электронного и неэлектронного нейтрино: показаны представления электронного и неэлектронного нейтрино как комбинации собственных состояний, каждое из которых в свою очередь показано как комбинация флейворных состояний.

    Б. Понтекорво предположил, что объяснение неравенства нулю массы нейтрино можно получить, рассмотрев квантовые осцилляции между разными типами нейтрино. Этот вариант теории получил название вакуумных осцилляций.

Вакуумные осцилляции

    Можно допустить, что подобно кваркам состояния нейтрино с определенным лептонным зарядом L_i {ν_e, ν_μ, ν_τ} – физические состояния нейтрино – являются линейными комбинациями массовых состояний нейтрино {ν₁, ν₂, ν₃}.

, (1)

где матрица U_ij – называется матрицей смешивания.
    Рассмотрим упрощенную ситуацию, когда происходит смешивание 2 типа нейтрино - ν_e и ν_μ. Этом случае матрица U_ij является унитарной и ее элементы можно выразить через один параметр – угол смешивания θ:

,  откуда

ν_e = ν₁cos θ + ν₂sin θ
ν_μ = –ν₁sin θ + ν₂cos θ

Т.об. угол смешивания определяет долю состояний ν₁ и ν₂ в составе ν_e и ν_μ. При θ = 45⁰ смешивание максимальное.

Из соотношения (1) можно легко получить соотношение (2):

ν₁ = ν_ecos θ – ν_μsin θ
           ν₂ = ν_esin θ + ν_μcos θ      (2)

Состояния ν₁ и ν₂ имеют определенные значения масс, но не имеют определенных значений L_i.
    Предположим в начальный момент у нас имеется моноэнергетический пучок нейтрино, полностью состоящий из ν_e, т.е. ν_e(0) = 1 , а ν_μ(0) = 0.
Тогда из (2) следует:

ν₁ = ν_ecos θ
                  ν₂ = ν_esin θ              (3)

Согласно (1) состояние ν_e(t) будет зависеть от времени следующим образом:

ν_e(t) = ν₁(t) cos θ + ν₂(t) sin θ,

где

 ν₁(t) =  ν₁(0) exp(-iE₁t)
 ν₂(t) =  ν₂(0) exp(-iE₂t).

Е₁ и E₂ – энергии массовых состояний с одинаковыми импульсами:

,

учитывая, что c = 1 и p >> m₁(m₂).
ν_e, образовавшаяся в момент t=0 следующим образом эволюционирует со временем:

ν_e(t) = ν₁(0) exp(-iE₁t) cos θ + ν₂(0) exp(-iE₂t) sin θ =
= [cos² θ exp(-iE₁t) + sin² θ exp(-iE₂t)]ν_e(0) + cos θ sin θ[exp(-iE₂t) – exp(-iE₁t)] ν_μ(0)

Несложные преобразованию дадут нам вероятность того, что в момент времени t нейтрино снова будет находится в чистом ν_e состоянии:

Учитывая, что

где L – расстояние от источника нейтрино до точки наблюдения.  Таким образом, получаем:

,

где – длина осцилляций, отражающая для пары масс m₁ и m₂ периодическую зависимость сигнала в детекторе от расстояния L.
    Вероятность полного исчезновения компоненты ν_e, т.е. ее полного преобразования в компоненту ν_μ получаем из соотношения:

    Таким образом, вероятность наблюдения ν_μ в пучке, первоначально состоявшем только из ν_e, периодически сначала возрастает от нуля до максимума, а затем снова уменьшается до нуля. Это и есть нейтринные осцилляции. Вероятность осцилляций зависит от разности квадратов масс собственных состояний нейтрино.
    Для обработки экспериментальных данных обычно используется более удобные формулы:

  (4).

Первый максимум осцилляций возникает при

.

Амплитуда осцилляций зависит от квадрата синуса удвоенного угла смешивания sin² 2θ. При θ = π/4 получаем максимальное смешивание, вероятность осцилляций составляет 100%.
    Формулы (4) можно получить и для случая смешивания 3 массовых состояний, в этом случае она будет иметь более сложный вид.
    Экспериментальные результаты обычно представляют в координатной сетке параметров осцилляций Δm² и sin² θ, где отображаются границы допустимых областей значений параметров (обычно с уровнем достоверности 90%).

   
Рис. 2. Границы областей параметров осцилляций из результатов, полученных из проведенных экспериментах, а также достижимые в экспериментах ближайшего будущего. Исключенная область расположена справа от кривых. Рассматриваются эксперименты по исследованию моды ν_μ ↔ ν_e.

    Из формулы (4) видно, что осцилляции отсутствуют как в случае m₁ = m₂ = 0 , так и в случае
m₁ = m₂ ≠ 0. Чем меньше величина угла смешивания, тем менее точно можно получить оценки разности квадратов масс нейтрино.
    В таблице (1) приведены области возможных значений величины L/E, которые используются в экспериментах по поиску вакуумных осцилляций.

Таблица 1. Диапазон значений L/E, используемый в нейтринных экспериментах.

    По своему характеру нейтринные осцилляции аналогичны биениям, которые наблюдаются в системе двух одинаковых маятников массой m и длиной L, подвешенных на общем подвесе с жесткостью k (через который осуществляется их связь). Для такой системы маятников возможны 2 стационарных состояния:

1. оба маятника колеблются синфазно с одинаковыми амплитудами (пружима не напрягается) с одинаковыми собственными частотами
2. оба маятника колеблются синфазно с одинаковыми по модулю, но направленными в противоположные стороны амплитудами и с одинаковыми собственными частотами .

    Так вот, эти состояния аналогичны массовым состояния нейтрино ν₁ ν₂, а собственные частоты – массам m₁, m₂. Такая аналогия нейтринных осцилляций с биениями маятников не случайна, так как по законам квантовой механики описание осцилляций и биений оказывается математически одинаковым.
    Если отклонить какой-либо из маятников, то его колебания через некоторое время передадутся другому маятнику, амплитуда колебаний которого постепенно возрастет до максимальной величины, а амплитуда первого упадет до нуля, после чего начнет падать амплитуда второго и расти амплитуда первого и процесс, если мало затухание, будет периодически повторяться. Этот процесс аналогичен осцилляциям нейтрино между двумя ароматами. Энергия в случае биений соответствует вероятности перехода нейтрино в другой аромат. Частота биений равна разности собственных частот стационаоных состояний ω₁ – ω₂, а энергия каждого маятника, пропорциональная квадрату амплитуды, зависит от этой разности.
    Если же взять два маятника с разной длиной, то получится несколько другая картины: амлитуда маятника с затухающими колебаниями не уменьшится до нуля, т.е. не произойдет полный переход энергии. И чем сильнее отличие длин маятников (а точнее их собственных частот), тем меньшая часть энергии будет передаватся между ними, т.е. тем меньше будет смешивание. Максимальное смешивание происходит при раных собственных частотах.
    Существует ли способ прямого наблюдения осцилляций нейтрино? Известно, что реакции с нейтрино могут проходить как через заряженные токи (W-бозоны), так и через нейтральные токи (Z-бозоны). В реакциях нейтрино с обменом W-бозонами в результате в случае электронного нейтрино всегда получаются электроны, а в случае мюонного нейтрино - мюоны. Таким образом, используя такие реакции для детектирования пучка нейтрино, первоначально состоящего только из электронных нейтрино, мы можем доказать существование нейтринных осцилляций при возникновении мюонов в детекторе. Соотношение мюонов и электронов будет определяться расстоянием от источника нейтрино до детектора. В случае детектора, регистрирующего только электронные нейтрино доказательством осцилляций будет служить уменьшение числа детектированных нейтрино по сравнению с предсказанным теорией.
    Для экспериментов на исчезновение нейтрино лучше использовать в качестве источника реакторные нейтрино, а для экспериментов на появление новых ароматов нейтрино – пучки, генерируемые на ускорителях. Это объясняется тем, что на ускорителях при распаде пионов, рождавшихся в столкновениях протонов высоких энергий с ядрами мишени, происходит генерация мюонных нейтрино (антинейтрино). А в реакторах образуются только электронные антинейтрино, которые и регистрируются в экспериментах на исчезновение из-за высоких пороговых энергий для регистрации других ароматов нейтрино. Пороговые энергии для всех ароматов нейтрино указаны в таблице 2.

Таблица 2. Пороговые энергии возникновения различных ароматов нейтрино.

Нейтрино и соответствующая реакция детектирования	Пороговая энергия, МэВ
e + p → n + e+	1.8
μ + p → n + μ+	100
τ + p → n + τ+	3600

    Очевидно, что для регистрации вакуумных осцилляций длина пробега нейтрино должна удовлетворять условию: L ≥ L_вак. Поэтому, для различных исследуемых диапазонов значений параметра Δm² детектор должен располагаться на различном расстоянии от источника нейтрино. Например, при исследовании атмосферных нейтрино с предполагаемым диапазоном Δm² ≈ 10^-2 ÷ 10^-3 эВ²пролетное расстояние L принимает значение порядка 1000 км. Такие эксперименты получили название «дальнобазовых» (long-baseline). А ускорительные эксперименты, теоретическое значение Δm² в которых составляет 1 ÷ 10 эВ, требуют расстояния L~1 км. Такие эксперименты называются «короткобазовыми» (short-baseline).
    Наличие вещества на пути распространения пучка нейтрино может существенно изменить картину нейтринных осцилляций.

Осцилляции в веществе – МСВ-эффект

    В случае вакуумных осцилляций предполагалось, что релятивистские нейтрино с массой m распространяются в вакууме:

При прохождении через вещество нейтрино, взаимодействуя с электронами вещества, испытывает рассеяние вперед. Этот процесс похож на рассеяние света на границе раздела 2-х сред, поэтому можно сказать, что нейтрино испытывает преломление, при этом происходит изменение фазового множителя: ipx → inpx, где n –показатель преломления среды. Согласно оптической теореме:

где N_e – плотность рассеивающих центров в среде, f_e(0) – амплитуда рассеяния вперед.
    Как показал Вольфенштейн вещество, состоящее из кварков и из электронов, по-разному влияет на распространение различных типов нейтрино. Нейтрино-кварковое рассеяние происходит только за счет нейтральных токов, и его амплитуда одинакова для всех типов нейтрино. Иная ситуация в случае рассеяния ней­трино на электронах. Все типы нейтрино взаимодействуют с электроном посредством нейтрального тока.

Рис. 3. Взаимодействие нейтрино с веществом посредством нейтральных токов.

И только процесс с электронным нейтрино может протекать также и за счет заряженного тока.

Рис. 4. Взаимодействие нейтрино с веществом посредством заряженных токов.

Т.е. для мюонного и тау-нейтрино, взаимодействующих только посредством нейтральных токов, эффект рассеяния на электронах компенсируется противоположным по знаку эффектом рассеяния на ядрах, и только электронное нейтрино дает дополнительный вклад в амплитуду рассеяния. Это приводит к тому, что вероятность осцилляции в веществе отлична от вакуумного случая. Как видно из диаграмм Фейнмана, амплитуда рассеяния на электронах для электронного нейтрино выше, чем для мюонного и таонного нейтрино на величину:

где G_F = 10^-5M^-2  – константа Ферми, M – масса протона.
    Данный вклад в амплитуду рассеяния приводит к появлению дополнительного слагаемого в операторе энергии:

где  – потенциальная энергия взаимодействия электронного нейтрино со средой. Тогда волновая функция принимает  следующий вид:

Решением соответствующего уравнения Шредингера будет:

.

Длина Вольфенштайна, характеризующая длину нейтрино-электронного взаимодействия, определяется соотношением:

Т.е. смешивание в веществе изменяется по сравнению с вакуумом и можно сказать, что ν_e и ν_μ осциллируют относительно других эффективных массовых состояний ν'₁ и ν'₂ .
    Рассмотрим вероятность того, что электронное нейтрино останется электронным нейтрино в течение времени t:

 – в веществе,
– в вакууме,

и проосциллирует в мюонное нейтрино:

 – в веществе,
– в вакууме,

где .

Тогда для среды с постоянной плотностью получаем эффективный угол смешивания:

sin(2θ_m) = sin(2θ)/ω,

и эффективную длину осцилляции:

L_m = L_вак/ω.

    Из данных выражений видно, что вещество может как усиливать, так и ослаблять осцилляции. Рассмотрим несколько случаев: L_вак/L₀ << 1 – вещество не влияет на осцилляции и они практически не отличаются от вакуумных, L_вак/L₀ >> 1– амплитуда осцилляций подавлена, электронное нейтрино не меняет свой аромат,  L_вак/L₀ = cos (2θ) – в этом случае ω = sin (2θ) и амплитуда осцилляций максимальна вне зависимости от угла смешивания. Этот случай резонансного усиления осцилляций и получил название эффекта Михеева-Смирнова- Вольфенштейна (МСВ-эффект).
    Для Земли (плотность ρ = 3 - 10 г/см³) в случае высокоэнергетичных нейтрино с энергиями 1- 10³ ГэВ (ускорительные эксперименты) длина Вольфенштайна равна: L₀ = (3.5 - 12)×10³ км и условие резонансного усиления имеет вид:

и выполняется в широком диапазоне значений параметров Δm² и θ.
    Найденная длина указывает на оптимальное расстояние от источника до детектора для экспериментов по поиску осцилляций.
    Т.об., в случае осцилляций в веществе для определенной вероятности превращения нейтрино в другой аромат мы получаем отличные от случая вакуумной осцилляции допустимые диапазоны параметров Δm² и θ.
    Из условия резонанса L_вак/L₀ = cos (2θ) следует, что

     (5).

Рис. 4. Рассчитанные достижимые значения параметров осцилляций (области справа от соответствующих кривых) для мюонных нейтрино с энергией 30 ГэВ при измерении вероятности перехода P(ν_e ÷ ν_μ) с точностью 1,3,10 %. Сплошные линии соответствуют расчету с учетом эффекта материи, штриховые линии – вакуумным осцилляциям.

    Из приведенных формул также можно сделать вывод, что при постоянной плотности ρ среды резонансное усиление осцилляций будет происходить при определенных значениях E_ν и Δm². Т.е. интенсивные преобразования нейтрино возможны лишь для определенных энергий нейтрино. А усредненная по непрерывному энергетическому спектру вероятность полного преобразования обычно равна 0.5. 100-ю вероятность преобразования можно получить только в случае переменной плотности среды.
    Рассмотрим случай переменной плотности среды. Примером такой системы может служить Солнце. В такой среде возникают качественно новые эффекты. В этом случае для нейтрино любой энергии на определенном расстоянии от центра Солнца с приблизительно постоянной плотностью ρ будет выполнятся условие резонанса. Дополнительным условием для осуществления эффекта осцилляций является медленное (адиабатическое) изменение плотности среды.
    Т.об. усиление осцилляций происходит для непрерывного диапазона энергий нейтрино. В отличие от вакуумных осцилляций, где полное превращение в другой тип нейтрино возможно лишь при определенном угле смешивания, в случае вещества с переменной плотностью допустимый угол смешивания варьируется в широких пределах и эффект наблюдается при меньшем угле смешивания (см. рис. 4).

Рис. 5. Схема изменение аромата нейтрино при адиабатическом изменении плотности электронов вещества.

    Рассмотрим распространение электронных нейтрино в Солнце. При малых электронных плотностях (в лабораторных экспериментах) и малых вакуумных углах смешивания электронное нейтрино совпадает с более легким массовым состоянием ν₁, а второе флейворное состояние приблизительно совпадает с тяжелым массовым состоянием ν₂. Но с ростом плотности электронов в среде первой массовое состояние становится неизменным, а второе растет пропорционально N_e. И флейворное собственное состояние ν_e, рождающееся при высоких плотностях среды в центре Солнца, приблизительно совпадает с более тяжелым собственным состоянием ν₂. При движении сквозь Солнце нейтрино переходит от высоких плотностей к низким. При медленном уменьшении плотности электронов флейворное состояние остается близким к массовому состоянию ν₂, перехода между массовыми состояниями не происходит. При выходе из Солнца в вакуум исходное ν₁ близко к вакуумному флейворному состоянию ν₂ и не наблюдается в хлорном и галлиевом детекторах.
    Подставив в формулу (5) конкретные значения, характерные для центральных областей Солнца, и взяв малые углы смешивания cos 2θ ≈ 1, sin² 2θ ~ 10^-4  мы получим:

Тогда при значениях Δm² ~ 10^-4 - 10^-7 эффект осцилляций в веществе будет наблюдаться для нейтрино со спектром 1-15 МэВ – т.е. для всех нейтрино, генерируемых согласно ССМ, что позволяет объяснить проблему солнечных нейтрино.
    Т.к. плотность Земли в 10-100 раз меньше, чем плотность в центре Солнца, для атмосферных нейтрино, проходящих сквозь Землю, можно искать резонансное усиление осцилляций для энергий 10-1500 МэВ. Именно такие энергии и характерны для атмосферных нейтрино.
    Окончательное подтверждение существования нейтринных осцилляций было получено в эксперименте коллаборации SNO (Sudbury Neutrino Observatory) путем независимого измерения потоков электронных, мюонных и тау нейтрино.