2. Модель ферми-газа

    В этой модели рассматривается движение невзаимодействующих друг с другом нуклонов в области объемом V, в пределах которой потенциал считается постоянным. Одночастичные состояния нейтронов и протонов описываются плоскими волнами , где - спиновая функция нуклона, характеризующая величину проекции спина (sigma = ± 1/2) на ось квантования z, vecp- импульс нуклона, - его радиус вектор и splan.gif (73 bytes) = 6,5820·10-22 МэВ·сек - перечеркнутая постоянная Планка. Строго говоря, предположение, что одночастичные волновые функции имеют вид плоских волн, справедливо только для ядра, радиус которого R arrow.gif (69 bytes) бесконечность . Однако, если мы не рассматриваем влияние ядерной поверхности, оно может быть использовано и для конечного ядра. При этом необходимо учитывать, что в ограниченном объеме V возможен только дискретный набор значений вектора импульса vecp = { px, py, pz }. Нужные собственные значения импульса vecp и кинетической энергии нуклона E = p2/(2m) (m - масса нуклона) можно найти, вводя периодические граничные условия:

(x,y,z) = (x+L,y,z) = (x,y+L,z) = (x,y,z+L),

где L - длина ребра куба, имеющего объем V. Эти граничные условия дают собственные значения

px = (2πsplank.gif (65 bytes)/L)nx, py = (2πsplank.gif (65 bytes)/L)ny, pz = (2πsplank.gif (65 bytes)/L)nz,

(2.1)

где nx, ny, nz - целые числа равные 0, ± 1, ± 2, ± 3,... и m - масса нуклона.
    На каждом нейтронном (или протонном) уровне могут в соответствии с принципом Паули находится только два нейтрона (или протона), имеющие разные проекции спина (см. рис. 2.1). В основном состоянии ядра N нейтронов и Z протонов занимают самые низшие энергетические уровни. Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми. Отвечающие ей максимальные величины импульсов для нейтронов и протонов обозначаются символами и . Максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми. Она равна

(2.2)

для нейтронов и протонов, соответственно.

Рис. 2.1

Рис. 2.1. Нейтронные и протонные одночастичные уровни энергии в модели ферми-газа. Протонная потенциальная яма мельче, чем нейтронная яма, из-за действия кулоновских сил (EС - кулоновская энергия протона). Эти же силы обуславливают возникновение кулоновского барьера для протонов, которые стремятся вылететь из ядра или проникнуть в него снаружи. BN - энергия отделения нейтрона.

Элемент объекта в импульсном пространстве d3p = dpxdpydpz в сферической системе координат можно записать в виде d3p = р2sinθdpdφdθ . Если ориентация вектора p не существенна, то интегрирование по углам дает d3p = 4πp2dp. Согласно (2.1) среднее число одночастичных состояний нейтрона или протона (d3n = dnxdnydnz) в элементе импульсного пространства d3p дается выражением

d3n = [2·4πVp2/(2πsplan.gif (73 bytes))3]dp = (8πVp2/h3)dp,

(2.3)

где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина нуклона. Поэтому полное число нейтронов и протонов в ядре может быть представлено в виде

Откуда находим

= (3π2splank.gif (65 bytes)3N/V)1/3, и = (3π2splank.gif (65 bytes)3Z/V)1/3 .

(2.4)

Подставляя в (2.4) V = (4/3)πR3, где R = r0A1/3 - радиус ядра и считая, что ядро симметрично по нейтронам и протонам (N = Z = A/2), получим следующую оценку импульса Ферми

pf =pfn.gif (934 bytes)=pfp.gif (938 bytes)= ((9pisplan.gif (73 bytes))/(8r0))1/3 = 8.1·10-22 МэВ·с/ферми ,

(2.5)

где для r0 принято значение 1.2 ферми.
Соответствующая энергия Ферми равна (см. (2.2))

Ef === 32 МэВ.

(2.6)

Если судить по найденной величине энергии Ферми, то в экспериментах при малых и средних энергиях ядро может рассматриваться как сильно вырожденный ферми-газ (т.е. температура его близка к абсолютному нулю). Лишь при энергиях ~AEf ~ 103 МэВ будет возбуждаться заметная часть всех нуклонов.
    С помощью соотношения (2.6) можно оценить глубину V0 нуклонной потенциальной ямы. Так как средняя энергия связи нуклона в ядре ~8 МэВ (см. рис. 1.2), то (см. рис. 2.1) получаем значение V0 neaeq.gif (64 bytes) 32 + 8 = 40 МэВ. Полную кинетическую энергию ферми-газа получим путем суммирования по всем занятым нейтронным и протонным одночастичным состояниям:

(2.7)

Это дает в приближении (2.5), (2.6) величину Eпол neaeq (3/5)AEf . Откуда находим, что средняя кинетическая энергия нуклонов в ядре Eср = Eпол/A neaeq 20 МэВ.
    Полученные оценки величин V0 и Eср неплохо согласуются со значениями глубины потенциальной ямы и средней кинетической энергии нуклонов, найденными в других - более строгих теоретических рассмотрениях. Такой успех модели ферми-газа объясняется тем, что ядро, как отмечалось выше, находится в сильно вырожденном состоянии. Принцип Паули препятствует обмену энергией сталкивающихся нуклонов (нуклон не может потерять энергию, так как нижележащие одночастичные состояния заполнены), поэтому картина движения нуклонов в ядре действительно напоминает движение молекул газа в ограниченном объеме. Модель ферми-газа позволяет также качественно объяснить почему легкие и средние стабильные ядра имеют N neaeq Z. Из формул (2.2), (2.4), (2.7) вытекает, что ядро с фиксированным значением A имеет минимальную энергию при N = Z = A/2. Это особенно очевидно из соотношения

Eпол neaeq (3/5)AEf + (4/3)Ef (A/2 - Z)2/A ,

(2.8)

которое получается путем разложения величины (2.7) в ряд по малому параметру (A/2 - Z)/A для фиксированного значения A. Симметрия ядра по нейтронам и протонам нарушается из-за кулоновского отталкивания протонов, что приводит к избытку нейтронов в тяжелых ядрах (N > Z).
    Область применения модели ферми-газа все же не очень велика, поскольку она совершенно не учитывает индивидуальных особенностей ядер. Кроме перечисленного, модель ферми-газа еще используется при интерпретации данных ядерных реакций, чувствительных к распределению нуклонов внутри ядра по импульсу.

Упражнение 2.1

Какова бы была величина отношения Z/A для ядра, если бы не действовал принцип запрета Паули?

В этом случае все нуклоны расположились бы на самом низшем энергетическом уровне, а так как между протонами действуют силы кулоновского отталкивания, то ядру было бы энергетически выгодно состоять из одних нейтронов (см. рис. 2.1). Следовательно, выполнялось бы условие Z/A = 0.

Упражнение 2.2

Получить выражение для суммарной (протоны и нейтроны) плотности одночастичных состояний g(E), считая, что N = Z = A/2.
g(E) = 2(dn/dE) = 2(dn/dp)(dp/dE).

(2.9)

Здесь множитель 2 учитывает то, что мы интересуемся суммарной плотностью. Подставив в (2.9) dn/dp из (2.3) и dp/dE = m/p, получим

g(E) = (16piV/h3)pm.

(2.10)

Выразим из (2.4) объем V, полагая N = Z = A/2,

.

(2.11)

Подставив (2.11) в (2.10) и выразив импульсы через энергии, окончательно получим

(2.12)

    В расчетах плотностей ферми-газа часто используют эквидистантное приближение, а именно, полагают g = const = g(Ef). Использование этого приближения как правило оправдано, так как даже при довольно больших энергиях возбуждения ядро - сильно вырожденный ферми-газ и энергия возбуждения распределяется по относительно небольшому количеству одночастичных состояний, которые находятся вблизи поверхности Ферми. Подставляя в (2.12) энергию Ферми (2.6), получим оценку g = A/21. Экспериментальные одночастичные плотности как правило больше, и описываются соотношением g = A/13.

Оглавление[Капельная модель]

На головную страницу

Рейтинг@Mail.ru