2. Модель ферми-газа

    В этой модели рассматривается движение невзаимодействующих друг с другом нуклонов в области объемом V, в пределах которой потенциал считается постоянным. Одночастичные состояния нейтронов и протонов описываются плоскими волнами , где - спиновая функция нуклона, характеризующая величину проекции спина ( = ± 1/2) на ось квантования z, - импульс нуклона, - его радиус вектор и = 6,5820·10^-22 МэВ·сек - перечеркнутая постоянная Планка. Строго говоря, предположение, что одночастичные волновые функции имеют вид плоских волн, справедливо только для ядра, радиус которого R . Однако, если мы не рассматриваем влияние ядерной поверхности, оно может быть использовано и для конечного ядра. При этом необходимо учитывать, что в ограниченном объеме V возможен только дискретный набор значений вектора импульса = { p_x, p_y, p_z }. Нужные собственные значения импульса и кинетической энергии нуклона E = p²/(2m) (m - масса нуклона) можно найти, вводя периодические граничные условия:

(x,y,z) = (x+L,y,z) = (x,y+L,z) = (x,y,z+L),

где L - длина ребра куба, имеющего объем V. Эти граничные условия дают собственные значения

px = (2π/L)nx, py = (2π/L)ny, pz = (2π/L)nz,

(2.1)

где n_x, n_y, n_z - целые числа равные 0, ± 1, ± 2, ± 3,... и m - масса нуклона.
    На каждом нейтронном (или протонном) уровне могут в соответствии с принципом Паули находится только два нейтрона (или протона), имеющие разные проекции спина (см. рис. 2.1). В основном состоянии ядра N нейтронов и Z протонов занимают самые низшие энергетические уровни. Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми. Отвечающие ей максимальные величины импульсов для нейтронов и протонов обозначаются символами и . Максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми. Она равна

для нейтронов и протонов, соответственно.

Элемент объекта в импульсном пространстве d³p = dp_xdp_ydp_z в сферической системе координат можно записать в виде d³p = р²sinθdpdφdθ . Если ориентация вектора p не существенна, то интегрирование по углам дает d³p = 4πp²dp. Согласно (2.1) среднее число одночастичных состояний нейтрона или протона (d³n = dn_xdn_ydn_z) в элементе импульсного пространства d³p дается выражением

где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина нуклона. Поэтому полное число нейтронов и протонов в ядре может быть представлено в виде

Откуда находим

= (3π23N/V)1/3, и = (3π23Z/V)1/3 .

(2.4)

Подставляя в (2.4) V = (⁴/₃)πR³, где R = r₀A^1/3 - радиус ядра и считая, что ядро симметрично по нейтронам и протонам (N = Z = ^A/₂), получим следующую оценку импульса Ферми

где для r₀ принято значение 1.2 ферми.
Соответствующая энергия Ферми равна (см. (2.2))

Ef === 32 МэВ.

(2.6)

Если судить по найденной величине энергии Ферми, то в экспериментах при малых и средних энергиях ядро может рассматриваться как сильно вырожденный ферми-газ (т.е. температура его близка к абсолютному нулю). Лишь при энергиях ~AE_f ~ 10³ МэВ будет возбуждаться заметная часть всех нуклонов.
    С помощью соотношения (2.6) можно оценить глубину V₀ нуклонной потенциальной ямы. Так как средняя энергия связи нуклона в ядре ~8 МэВ (см. рис. 1.2), то (см. рис. 2.1) получаем значение V₀  32 + 8 = 40 МэВ. Полную кинетическую энергию ферми-газа получим путем суммирования по всем занятым нейтронным и протонным одночастичным состояниям:

(2.7)

Это дает в приближении (2.5), (2.6) величину E_пол  (³/₅)AE_f . Откуда находим, что средняя кинетическая энергия нуклонов в ядре E_ср = E_пол/A  20 МэВ.
    Полученные оценки величин V₀ и E_ср неплохо согласуются со значениями глубины потенциальной ямы и средней кинетической энергии нуклонов, найденными в других - более строгих теоретических рассмотрениях. Такой успех модели ферми-газа объясняется тем, что ядро, как отмечалось выше, находится в сильно вырожденном состоянии. Принцип Паули препятствует обмену энергией сталкивающихся нуклонов (нуклон не может потерять энергию, так как нижележащие одночастичные состояния заполнены), поэтому картина движения нуклонов в ядре действительно напоминает движение молекул газа в ограниченном объеме. Модель ферми-газа позволяет также качественно объяснить почему легкие и средние стабильные ядра имеют N  Z. Из формул (2.2), (2.4), (2.7) вытекает, что ядро с фиксированным значением A имеет минимальную энергию при N = Z = A/2. Это особенно очевидно из соотношения

Eпол  (3/5)AEf + (4/3)Ef (A/2 - Z)2/A ,

(2.8)

которое получается путем разложения величины (2.7) в ряд по малому параметру (^A/₂ - Z)/A для фиксированного значения A. Симметрия ядра по нейтронам и протонам нарушается из-за кулоновского отталкивания протонов, что приводит к избытку нейтронов в тяжелых ядрах (N > Z).
    Область применения модели ферми-газа все же не очень велика, поскольку она совершенно не учитывает индивидуальных особенностей ядер. Кроме перечисленного, модель ферми-газа еще используется при интерпретации данных ядерных реакций, чувствительных к распределению нуклонов внутри ядра по импульсу.

Упражнение 2.1

В этом случае все нуклоны расположились бы на самом низшем энергетическом уровне, а так как между протонами действуют силы кулоновского отталкивания, то ядру было бы энергетически выгодно состоять из одних нейтронов (см. рис. 2.1). Следовательно, выполнялось бы условие Z/A = 0.

Упражнение 2.2

g(E) = 2(dn/dE) = 2(dn/dp)(dp/dE).

(2.9)

Здесь множитель 2 учитывает то, что мы интересуемся суммарной плотностью. Подставив в (2.9) dn/dp из (2.3) и dp/dE = m/p, получим

g(E) = (16V/h3)pm.

(2.10)

Выразим из (2.4) объем V, полагая N = Z = A/2,

.

(2.11)

Подставив (2.11) в (2.10) и выразив импульсы через энергии, окончательно получим

(2.12)

    В расчетах плотностей ферми-газа часто используют эквидистантное приближение, а именно, полагают g = const = g(E_f). Использование этого приближения как правило оправдано, так как даже при довольно больших энергиях возбуждения ядро - сильно вырожденный ферми-газ и энергия возбуждения распределяется по относительно небольшому количеству одночастичных состояний, которые находятся вблизи поверхности Ферми. Подставляя в (2.12) энергию Ферми (2.6), получим оценку g = A/21. Экспериментальные одночастичные плотности как правило больше, и описываются соотношением g = A/13.