3. Капельная модель

    В этой модели ядро рассматривается как сферическая капля несжимаемой заряженной ядерной жидкости радиуса R = r₀A^1/3. С ее помощью удалось объяснить многие свойства ядра и, в первую очередь, получить полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра.
    Первое (главное) слагаемое в энергии связи ядра, подобного жидкому или твердому телу, должно быть пропорционально массовому числу A:

Этот член представляет объемную энергию ядра и может быть интерпретирован как энергия связи ядра, симметричного по нейтронам и протонам, в пределе больших А и отсутствия кулоновских сил. Ранее уже говорилось, что эксперимент подтверждает примерную пропорциональность энергии связи E_св массовому числу A.
    Второй член, который должен быть учтен в рассматриваемой модели, это - поверхностная энергия ядра. Она будет уменьшать полную энергию связи, так как нуклоны, находящиеся на поверхности имеют меньше соседей, чем внутренние частицы. Это хорошо известный эффект поверхностного натяжения. Следует однако заметить, что, в отличии от молекул классических жидкостей, нуклоны на поверхности ядра обладают избыточной не только потенциальной , но и кинетической энергией (это легко показать, например, в модели оболочек). Поверхностная энергия пропорциональна поверхности сферической капли. Следовательно она должна зависеть от массового числа как A^2/3:

    Третий член в энергии связи обусловлен кулоновским взаимодействием протонов. В капельной модели предполагается, что электрический заряд протонов равномерно распределена внутри сферы радиуса R = r₀A^1/3. Это создает кулоновскую энергию ядра

Эта энергия также уменьшает общую энергию связи ядра.
    Капельная модель учитывает вклад в энергию связи ядра объемной, поверхностной и электростатической энергии. Этих слагаемых однако не достаточно для корректного описания энергии связи реальных ядер. Чтобы учесть наблюдаемые в эксперименте тенденции, в энергию связи E_св необходимо ввести дополнительные члены, которые не могут быть обоснованны в рамках капельной модели ядра. Прежде всего необходимо включить в E_св энергию симметрии ядра, которая отражает тенденцию к стабильности ядер с N = Z. Энергию симметрии можно разделить на кинетическую и потенциальную части. Кинетическая энергия симметрии была рассмотрена в модели ферми-газа. Как видно из формулы (2.8), она пропорциональна (A/2 - Z)²/A . Аналогичным образом ведет себя потенциальная энергия симметрии. Эта энергия обусловлена тем, что принцип Паули запрещает вплотную сближаться двум нуклонам одинакового сорта с одинаковыми ориентациями спинов. Вследствие чего взаимодействие нейтрона с протоном в ядре в среднем сильнее, чем взаимодействие между одинаковыми частицами, что также благоприятствует выравниванию числа нейтронов и протонов в ядре. Итак, из энергии связи E_св надо вычесть энергию симметрии ядра

    Наконец, чтобы учесть наблюдаемое в эксперименте скачкообразное изменение энергии связи ядра при добавлении к нему или удалении из него одного нуклона, надо добавить в E_св парную энергию (энергию разрыва нуклонной пары). Эта энергия апроксимируется выражением

где a₅ > 0 для четно-четных ядер, = 0 для нечетных ядер и < 0 для нечетно-нечетных ядер.
    Окончательное выражение для энергии связи ядра имеет вид

Входящие в него коэффициенты a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ и a ₅ оцениваются из экспериметальных данных по знергиям связи ядер, что дает

a₁ = 15,75 МэВ; a₂ = 17,8 МэВ; a₃ = 0,71 МэВ; a₄ = 94,8 МэВ;

Полученное соотношение называется полуэмпирической формулой Вейцзеккера для энергии связи ядра. С ее помощью может быть вычислена удельная энергия связи E_св/A (см. на рис. 1.2 плавную кривую). Спад этой энергии при малых A объясняется ростом по абсолютной величине отрицательного слагаемого, обусловленного поверхностной энергией: -W_пов/A = -a₂A^-1/3. С другой стороны постепенное уменьшение удельной энергии связи в области тяжелых ядер вызвано кулоновскими силами, так как слагаемое -W_кул/A = -a₃Z²/A^4/3 растет по абсолютной величине при увеличении Z.
    Формула (3.6) позволяет по известным A и Z вычислять энергию связи ядра с погрешностью ~10 МэВ (см. рис. 3.1). При A 100 это дает относительную ошибку ~10^-2. Точность вычисления массы ядра

еще выше ~10^-4 (здесь m_p - масса протона, m_n - масса нейтрона и c - скорость света). Наихудшее согласие с экспериментом формула Вейцзеккера обнаруживает в окрестности магических чисел нуклонов (см. рис. 1.2 и 3.1). Это указывает на важность учета оболочечных эффектов при вычислении энергии связи ядра.

    Важное применение капельная модель нашла в объяснении механизма деления тяжелых ядер. Возможность этого процесса обусловлена тем, что удельная энергия связи E_св/A начиная с области железа - кобальта уменьшается с ростом массового числа A из-за кулоновского члена формулы Вейцзеккера (см. рис. 1.2). В результате тяжелому ядру оказывается энергетически выгодно распадаться на более легкие фрагменты. Однако выигрыш в удельной энергии связи только необходимое, но не достаточное условие деления. На самом деле процесс деления определяется конкуренцией двух слагаемых энергии связи E_св: поверхностной и кулоновской энергий. Если ядро меняет свою форму и из сферического превращается, например, в эллипсоидальное, то объем ядра не меняется, но его поверхность увеличивается. Поэтому поверхностная энергия возрастет по абсолютной величине, так что поверхностные силы будут стремиться вернуть ядро в исходное недеформированное состояние. С другой стороны, кулоновская энергия ядра, наоборот, уменьшится по абсолютной величине из-за увеличения среднего расстояния между протонами и кулоновские силы отталкивания будут стремиться увеличить деформацию ядра. При малых деформациях преобладают силы поверхностного натяжения, при больших - силы кулоновского отталкивания. Таким образом, возникает типичный потенциальный барьер (подобный тому, который имеет место при -распаде), препятствующий мгновенному делению тяжелых ядер (см. рис. 3.2). Если не принимать во внимание туннельный эффект, обуславливающий медленный самопроизвольный распад очень тяжелых ядер, то для того чтобы ядро разделилось, ему необходимо передать энергию возбуждения равную или большую высоты потенциального барьера. Необходимая энергия возбуждения уменьшается при переходе к более тяжелым ядрам. Нетрудно понять, что величиной определяющей способность ядра к делению является отношение кулоновской энергии к поверхностной.

Как следует из формул (3.2), (3.3), это отношение равно a₃Z²/(a₂A). Так как коэффициенты a₂, a₃ постоянны для всех ядер, то определяющей величиной, очевидно, является отношение Z²/A. Расчеты показывают, что критическим значением является значение Z²/A 50 (см. упражнение 3.5). При Z²/A > 50 ядра не могут существовать, так как мгновенно делятся. Для обычного соотношения между протонами и нейтронами в тяжелых ядрах этому значению Z²/A отвечает Z 115.

    Капельная модель предсказывает деление ядра на два одинаковых фрагмента. На практике, при делении тяжелого ядра тепловыми нейтронами (последние необходимы для создания нужного возбуждения ядра), действительно как правило образуются два осколка, но их массы не равны. Случаи симметричного деления составляют менее 1% (см. рис. 3.3). Наиболее вероятно деление на осколки, один из которых примерно в полтора раза тяжелее другого. Наблюдаемая асимметрия деления может быть объяснена влиянием ядерных нейтронных оболочек: тяжелому ядру энергетически выгоднее делиться так, чтобы число нейтронов в осколке было близко к одному из магических чисел (50 или 82).
    Коллективный характер движения частиц несжимаемой ядерной жидкости должен приводить к поверхностным колебаниям формы капли (без изменения ее объема). Капельная модель качественно правильно предсказывает некоторые характеристики (спин, четность) низколежащих состояний четно-четных ядер. Однако энергии возбуждения этих состояний не соответствуют частотам колебаний поверхности, вычисленным с помощью полуэмперической формулы Вейцзеккера (см. упражнение 5.1).
    Подводя итоги, можно сказать, что капельная модель дает приблизительно правильное представление о массе и энергии связи ядер, что позволяет исследовать энергетические условия разных мод распада ядра (в частности - и - распада), качественно описывает структуру низколежащих уровней четно-четных ядер, дает возможность построить полуколичественную теорию деления тяжелых ядер. Вместе с тем, капельная модель не пригодна для количественного описания спектра возбуждений четно-четных ядер, совершенно не затрагивает такие вопросы как - характеристики основных и возбужденных состояний индивидуальных ядер, структура возбужденных состояний нечетных и нечетно-нечетных ядер, периодическое изменение свойств ядер с изменением массового числа и некоторые другие. Не может объяснить капельная модель и одного из основных свойств деления тяжелых ядер - его асимметрии.

Упражнение 3.1

W_сим = W_к.сим + W_п.сим . Откуда находим W_п.сим/W_к.сим = W_сим/W_к.сим - 1. Кинетическая энергия симметрии может быть оценена по формулам (2.6), (2.8), что дает W_к.сим 42.7(A/2-Z)²/A МэВ. С другой стороны из полуэмпирической формулы Вейцзеккера вытекает, что W_сим = 94.8(A/2-Z)²/A МэВ.
Следовательно, W_п.сим/W_к.сим 1.2.

Упражнение 3.2

Найдите условие, связывающее A и Z для -стабильных ядер

Формула (3.8) дает параболическую зависимость массы ядра от заряда Z при фиксированном значении A. Дифференцируя (3.8) по Z при постоянном A и приравнивая производную нулю, получим

(dM/dZ)_A = m_p - m_n + 2[a ₃Z/A^1/3 - a ₄(A/2-Z)/A]/c² = 0

Откуда находим формулу

Z = A/(1.98 + 0.015A^2/3),

позволяющую по известному A вычислить Z для -стабильного изобара (дорожка -стабильности).

Упражнение 3.3

Используя полуэмпирическую формулу Вейцзеккера, оцените вклад  различных слагаемых в энергию связи ядер , .

Из (3.1) - (3.7) находим

где все энергии приведены в МэВ.

Упражнение 3.4

Для процесса (A,Z) 2 (A/2, Z/2) высвобождаемая энергия равна

Q = 2E_св(A/2, Z/2) - E_св(A, Z) = (1 - 2^1/3)a₂A^2/3 + (1 - 2^-2/3)a₃Z²A^-1/3 .

Подставляя сюда численные значения констант a₂ и a₃, находим

Q = -4.6A^2/3 + 0.26Z²A^-1/3 МэВ.

Для ядра ²³⁸U энергия Q, вычисленная по этой формуле, равна 178 Мэв.

Критическое значение Z²/A, при котором становится энергетически возможным деление ядра на два одинаковых осколка, находится из условия Q = -4.6A^2/3 + 0.26Z²A^-1/3 > 0, что дает Z²/A > 17.7.

Упражнение 3.5

Ядро будет неустойчиво по отношению к делению, если при малых деформациях его поверхности, убыль кулоновской энергии W_кул превысит прирост поверхностной энергии W_пов.
Большая и малая полуоси вытянутого эллипсоида вращения, слабо отличающегося от сферы, даются формулами

a = R₀(1 + 2ε/3), b = R₀(1 - ε/3),

где R₀ - радиус исходной сферы, - малый параметр, характеризующий деформацию ядра. Легко убедиться, что при такой деформации объем ядра сохраняется с точностью до членов первого порядка малости по ε . Поверхностная и кулоновская энергии такого эллипсоида могут быть представлены в виде
W_пов = a₂A^2/3[1 + (8/45)ε² + ...], W_кул = a₃Z²A^-1/3[1 - (4/45)ε² + ...]
Полное изменение энергии связи ядра в результате малой эллиптической деформации будет равно
E_св = - W_пов - W_кул = (4/45)ε²[a ₃Z²A^-1/3 - 2a₂A^2/3]
Ядро будет неустойчиво по отношению к делению, если E_св > 0. Откуда находим искомое условие:
Z²/A > (2a₂)/a₃ = 50