4. Модель оболочек

    Как отмечалось выше, модель оболочек была вызвана к жизни тем удивительным фактом, что свойства ядер, подобно свойствам атомов, обнаруживают определенную периодичность при изменении числа составляющих их нуклонов. Впервые на особую устойчивость ядер с магическим числом нейтронов или протонов обратили внимание Бартлет (1932 г.) и Эльзассер (1933 г.). Эльзассер попытался понять стабильность магических ядер, предполагая что нуклоны, подобно электронам в атоме, движутся независимо друг от друга в одночастичной потенциальной яме. Однако он смог объяснить только три первых магических числа: 2, 8 и 20. Работа Эльзассера осталась незамеченной, так как в то время еше не было накоплено достаточно экспериментальных данных и кроме того его предположение казалось совершенно невероятным, поскольку в ядре, в отличии от атома, нет выделенного силового центра, а короткодействующий характер ядерных сил, казалось бы, исключал введение результирующего среднего потенциала.
    С течением времени, однако, накапливались все новые и новые экспериментальные доказательства существования оболочечной структуры ядер и, наконец, в 1949 г. М. Гепперт-Майер и Дж. Иенсен сделали решающий шаг в становлении оболочечной модели. Они поняли, что для объяснения заполнения ядерных оболочек при N, Z = 50, 82 и N = 126, необходимо учесть так называемое спин-орбитальное взаимодействие: взаимодействие спина нуклона с его орбитальным моментом количества движения. Благодаря этому им удалось воспроизвести наблюдаемые в эксперименте магические числа нуклонов. Далее они указали на важность учета принципа Паули при рассмотрении движения нуклона в ядре: принцип Паули препятствует потере энергии нуклоном при столкновении, так как низколежащие одночастичные состояния заняты (см. рис. 2.1), поэтому средняя длина свободного пробега нуклона оказывается больше размеров ядра, что позволяет говорить об индивидуальных орбитах нуклонов.

4.1. Одночастичные оболочечные состояния

    В модели оболочек предполагается, что нуклоны движутся независимо друг от друга в сферически-симметричной потенциальной яме. Собственные состояния нуклона в такой яме находят, решая соответствующее уравнение Шредингера. Эти состояния характеризуются квантовыми числами, которые определяют физические величины, сохраняющиеся при движении в сферически-симметричном поле. В основном состоянии ядра нуклоны заполняют самые низшие одночастичные состояния, причем, в соответствии с принципом Паули, в каждом одночастичном нейтронном (протонном) состоянии может находиться только один нейтрон (протон).
    Рассмотрим проблему классификации одночастичных состояний нуклона в сферически-симметричном потенциале в самом общем виде, не опираясь на его явный вид и допуская, что он может включать как нерелятивистские слагаемые, независящие от спина, так и релятивистские члены (такие, как спин-орбитальное взаимодействие). Какие физические величины сохраняются в сферически-симметричном поле? К числу таких величин относится полный момент количества движения нуклона , равный сумме орбитального и спинового  моментов количества движения: =+. Когда в квантовой механике говорят, что в некотором состоянии сохраняется момент количества движения системы , то под этим понимают, что величина момента  и его проекция j_z на некоторое выделенное направление z имеют определенные значения (более точно задать момент количества движения в квантовой механике нельзя). Для описания этих величин используются квантовые числа J и M:

где квантовое число J может принимать целые (для Бозе-систем) или полуцелые (для Ферми-систем) значения, а квантовое число m при фиксированном J пробегает 2J + 1 значения:

В дальнейшем мы будем обозначать величины моментов , ,   квантовыми числами j, l, s, а их проекции на ось z квантовыми числами m, m_l,s. Спин нуклона s = 1/2, его орбитальный момент l может принимать одно из целых значений 0, 1, 2, 3,..., поэтому полный момент количества движения нуклона j, в соответствии с тем , что это ферми-частица, будет полуцелым числом.
    Если физическая система обладает сферической симметрией, то сохраняется не только полный момент количества движения системы, но и ее четность . Для нуклона движущегося в сферически симметричном поле четность состояния равна (-1)^l, где l - величина орбитального момент количества движения, поэтому вместо квантового числа p можно использовать квантовое число l (заметим, что в общем случае, когда присутствует спин-орбитальное взаимодействие, сохраняется только величина, но не направление момента ). Следовательно, одночастичное состояние нуклона в сферически-симметричном потенциале можно характеризовать квантовыми числами l, j, m, где j принимает одно из двух значений: j = l ± 1/2. Из-за сферической симметрии, энергия такого состояния не зависит от квантового числа m, поэтому каждая lj-орбита (2j + 1)-кратно вырождена по энергии, образуя ядерную подоболочку.
    Введенных квантовых чисел не достаточно для полного описания нейтронных и протонных одночастичных состояний, поскольку в сферически-симметричной потенциальной яме могут быть несколько или даже бесконечное множество (если яма имеет бесконечно высокие стенки) состояний с одинаковыми значениями l, j, m. Недостающее квантовое число называется главным квантовым числом и обозначается буквой n. Оно нумерует нуклонные орбиты с одинаковыми значениями lj (n = 1, 2, 3,...) в порядке увеличения их энергии. Чтобы понять физический смысл введенного числа, рассмотрим структуру одночастичной волновой функции в сферически-симметричном потенциале. Из соображений симметрии следует, что эта функция имеет вид

_nljm, (r,θ,φ,σ) = R_nlj(r)Y_ljm(θ,φ,σ),

где r,θ,φ − сферические координаты нуклона и s = ± 1/2 − спиновая переменная нуклона (ћσ − проекция спина на ось z). Cпин-угловая функция Y_ljm(θ,φ,σ) хорошо известна. Она не зависит от вида потенциальной ямы и может быть выражена через сферические функции :

где χ_σ − спиновая функция нуклона и − коэффициенты векторного сложения угловых моментов и . Основной интерес представляет радиальная функция нуклона R_nlj(r), которая может быть вычислена только для конкретного потенциала. Это, вообще говоря, меняющая свой знак, осциллирующая функция. Величина n − 1 определяет число изменений знака (число узлов) радиальной функции. Чем больше осциллирует эта функция, тем дальше в среднем удаляется от центра ямы нуклон, а так как средний ядерный потенциал весьма быстро растет при больших r (сравнимых с радиусом ядра), то из двух состояний с одинаковыми значениями lj большую энергию будет иметь состояние с большим числом узлов в радиальной функции. Самым нижним из таких состояний будет состояние, не имеющее радиальных узлов, т.е. состояние с n = 1.
    Можно также утверждать, что энергия одночастичных состояний с одним и тем же значением n должна иметь тенденцию к росту с увеличением l. Это следует уже из того, что с увеличением l возрастает орбитальная (центробежная) кинетическая энергия нуклона ²l²/(2mr²). Кроме того с увеличением орбитального момента количества движения растет вероятность нахождения частицы вдали от центра потенциальной ямы, где потенциал больше.

В оболочечной модели, также как и в атомной спектроскопии, для обозначения состояний с различными значениями момента l нуклона используются буквы латинского алфавита со следующим соответствием:

Различные орбиты nlj обозначаются буквами и цифрами. Например, 2s_1/2 это состояние с n =2, l = 0 и j = 1/2; 3f_7/2 это состояние с n =3, l = 3 и j = 7/2 и т.д.