4.2. Оболочечный потенциал

    На каждой одночастичной орбите nlj могут разместиться максимально 2j+1 нуклона одного сорта. Эти орбиты (подоболочки) могут образовывать ядерные оболочки - компактные группы уровней, разделенные достаточно широкими энергетическими интервалами. Основная задача модели оболочек состоит в том, чтобы с помощью этого эффекта объяснить наблюдаемые в эксперименте магические числа нуклонов.
    Мы начнем рассмотрение этой проблемы с простейшего варианта модели, в котором в качестве оболочечного потенциала используется независящий от спина центрально-симметричный потенциал V(r). В этом случае одночастичные уровни энергии вырождены не только по квантовому числу m, но и по двум возможным значениям момента j = l ± 1/2, отвечающим заданному l, так как потенциал V(r) не зависит от спина. Полное вырождение орбиты nl равно (2j+1)_j=l-1/2 + (2j+1)_j=l+1/2 = (2l+1). В потенциале V(r) сохраняется не только полный момент количества движения нуклона , но и его орбитальный момент  - коэффициенты векторного сложения угловых моментов и  спин , поэтому для характеристики одночастичных состояний наряду с квантовыми числами nljm можно использовать квантовые числа nlm_ls (что обычно и делается).
    Для качественного понимания ситуации, которая возникает при использовании потенциала V(r), рассмотрим одночастичные уровни энергии сферического гармонического осциллятора с потенциалом

где m - масса нуклона, ω - частота колебаний осциллятора. Этот потенциал, хотя и не совсем верно описывающий среднее ядерное поле, удобен для качественного анализа, так как позволяет решить уравнение Шредингера аналитически, не прибегая к численной процедуре. Экспериментальная оценка параметра ω может быть представлена в виде

Собственные состояния нуклона в одночастичном потенциале (4.4) имеют энергию

где квантовое число N = 0, 1, 2, 3, ... определяет число возбужденных осцилляторных квантов. Следует обратить внимание на то, что энергия основного состояния осциллятора E₀ = (3/2)ћω 0. Это так называемая энергия нулевых колебаний осциллятора. Она не может равняться 0, так как в противном случае нуклон в основном состоянии потенциала (4.4) имел бы фиксированное значение импульса p_x = p_y = p_z = 0 и находился в фиксированном положении x = y = z = 0, что противоречит принципу неопределенности квантовой механики. Можно показать (см. упражнение 4.1), что каждой независимой степени свободы колебаний системы отвечает нулевая энергия равная ћω/2. Трехмерный гармонический осциллятор (4.4) имеет три независимых степени свободы колебаний: вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений x, y и z. Соответственно, его полная энергия нулевых колебаний равна 3(ћω/2).
    Одночастичные состояния осциллятора (4.4) вырождены по энергии, образуя осцилляторные оболочки. На самом низком энергетическом уровне (оболочке N = 0) могут находиться два нуклона одного сорта, соответственно двум значениям ориентации спина (s = ± 1/2); оболочка N = 1 имеет 6 вакантных мест, так как возможны три независимых состояния колебаний (вдоль осей x, y и z) и две ориентации спина нуклона; оболочка N = 2 может вместить 12 нуклонов одного сорта, так как имеется 6 независимых способов возбуждения двух осцилляторных квантов (число размещений двух колебаний по трем координатным осям) и две возможные ориентации спина нуклона и т.д. Вырождение произвольной оболочки N равно удвоенному числу размещений N осцилляторных квантов по 3 координатным осям: (N + 1)(N + 2). Не сложно также установить какие орбиты nl представлены в каждой осцилляторной оболочке. Самый нижний энергетический уровень в центрально-симметричном потенциале V(r) должен отвечать безузловому состоянию с l = 0 (см. обсуждение в пункте 4.1), т.е. состоянию 1s. Это означает, что двукратно вырожденная оболочка N = 0 совпадает с орбитой 1s. Отсюда, в частности, следует, что четность оболочки N = 0 положительна. Четность произвольной осцилляторной оболочки равна (-1)^N, так как квант (фонон) трехмерного осциллятора (4.4) имеет отрицательную четность. Оболочка N = 1 совпадает с орбитой 1p, так как последняя имеет отрицательную четность, то же вырождение и расположена энергетически ниже других состояний отрицательной четности. В оболочку N =2 войдут орбиты 2s и 1d. Это легко проверяется по их четности, суммарному вырождению и энергетическому положению относительно других орбит. Продолжая этот процесс, получим следующие характеристики осцилляторных оболочек

Таблица 4.1

    Из таблицы 4.1 видно, что одночастичные уровни осцилляторного потенциала дополнительно вырождены по квантовым числам nl (см. также рис. 4.2). Это вырождение носит случайный характер. При изменении формы потенциала V(r) - например, при использовании прямоугольной потенциальной ямы - состояния с разными l, входящие в одну и ту же осцилляторную оболочку, расщепляются по энергии, причем вниз опускаются состояния с максимальными l, так как переход от осцилляторной ямы к прямоугольной означает углубление ямы по краям, где находятся частицы с большими значениями l. Из таблицы также видно, что осцилляторные оболочки заполняются при числах нуклонов, равных 2, 8, 20, 40, 70, 112 и 168. Только три первых члена этой последовательности совпадают с наблюдаемыми в эксперименте магическими числами. Это указывает на необходимость модификации оболочечного потенциала.
    Малый радиус действия нуклон-нуклонных сил говорит о том, что форма потенциала V(r) должна быть похожа на форму распределения плотности ядерного вещества ρ(r). Действительно, пусть потенциал V_l = (|₁-₂|)   характеризует центральные межнуклонные силы. Тогда средний потенциал, действующий на нуклон , будет равен

где

(При интегрировании по объему ядра плотность ρ(r'), учитывая короткодействие потенциала
V₁ = (|-'|), была заменена на ρ(r'). Распределение заряда в ядре, изученное в опытах по рассеянию электронов, имеет форму близкую к распределению Ферми. Используя это, можно апроксимировать выражение (4.7) потенциалом Вудса-Саксона V_S(r) (см. рис. 4.1):

где V₀ - глубина потенциала, R = r₀A^1/3 - радиус ядра и a - параметр, характеризующий диффузность (размытие) края потенциала.
    Реалистический потенциал (4.7) представляет нечто среднее между осцилляторным потенциалом и потенциалом прямоугольной ямы. Переход к нему снимает вырождения, свойственные гармоническому осциллятору. Рис. 4.1 наглядно показывает, почему энергетические уровни с большими l опускаются по отношению к уровням с малыми l. Этот эффект схематически иллюстрируется на рис. 4.2. Рис. 4.2, вместе с тем, показывает, что реалистический потенциал V(r), также как и осцилляторный потенциал, не в состоянии объяснить наблюдаемые в эксперименте магические числа нуклонов: 2, 8, 20, 50, 82, 126.

    Решение проблемы было найдено, как отмечалось ранее, М. Гепперт-Майер и Дж. Иенсеном, которые добавили к центрально-симметричному потенциалу V(r) спин-орбитальное взаимодействие V_ls. Зависимость потенциала от спина появляется при учете релятивистских членов, являющихся функцией скорости движения нуклона. Движущийся в ядерной среде нуклон характеризуется двумя векторными величинами - импульсом и спином . Комбинируя их нельзя образовать зависящий от спина истинный скаляр, который оставался бы инвариантным как при поворотах системы координат, так и при обращении времени.  Действительно, - псевдоскаляр, так как спин, как всякий момент количества движения, является аксиальным вектором. Квадрат не зависит от спина. Чтобы показать это, выберем ось z вдоль вектора , что не изменит величины скалярного произведения , тогда получим = ps_z, но s_z = ± (1/2). Следовательно, ()² = (1/4)²p². Продолжая этот процесс найдем, что любое полиномиальное выражение от сводится к не зависящим от членам и к пседоскалярным членам линейным по . Из этого следует, что в однородном неограниченном ядерном веществе средний ядерный потенциал не может зависеть от спина. В конечном сферическом ядре для нуклона имеется выделенное направление движения - по нормали к поверхности. Из трех векторов , и можно составить истинный скаляр: . Также как и раньше, можно показать, что любое полиномиальное выражение от будет линейной функцией от этой величины. Следовательно, спин-орбитальное взаимодействие должно иметь вид

    Спин-орбитальное взаимодействие сосредоточено в основном вблизи поверхности ядра, где действительно можно говорить о выделенном направлении движения. Следовательно, функция f(r) убывает вглубь ядра. Вид этой функции можно найти, если обратиться к источнику потенциала V_ls: нуклон-нуклонному спин-орбитальному взаимодействию

¹/₂V_LS (|₁-₂|) [(₁-₂) x (₁-₂)] (₁+₂).

Прямое усреднение этого взаимодействия показывает, что функция f(r) ∂ρ(r)/∂r, < 0 где ρ(r) - плотность ядерного вещества (см. упражнение 4.2).

Спин-орбитальное взаимодействие снимает вырождение одночастичных орбит nl по квантовому числу j = l + 1/2. Учитывая, что ² = ² + 2 + ², найдем

=	{	2(l/2)	при j = l + 1/2	(4.10)
		- 2(l +1)/2	при j = l - 1/2

Откуда следует, что величина спин-орбитального расщепления уровня nl равна

где C_ls = -²; - среднее значение функции f(r). Так как f(r) < 0, то компонента j = l - 1/2 поднимается, а компонента j = l + 1/2 опускается по энергии. Как видно из (4.10), спин-орбитальное расщепление возрастает с увеличением орбитального момента l. Экспериментальная оценка константы C_ls дает величину

    Добавление к реалистическому потенциалу (4.8) спин-орбитального взаимодействия приводит к тому (см. рис. 4.2), что уровни 1g_9/2, 1h_11/2 и 1i_13/2 опускаются вниз и примыкают, соответственно, к оболочкам N = 3, N = 4 и N = 5, в результате чего воспроизводятся, не получавшиеся ранее, магические числа 50, 82 и 126. Кроме того от оболочки N = 3 отщепляется вниз орбита 1f_7/2, что позволяет понять проявления магичности при числе нуклонов = 28. Итак, наблюдаемые в эксперименте магические числа можно объяснить, если выбрать оболочечный потенциал в виде