5. Коллективные модели ядра

    Имеется целый ряд фактов, свидетельствующих о существовании коллективных степеней свободы ядер. Так, при малых энергиях возбуждения (E_возб  < 4 МэВ) у многих ядер наблюдаются последовательности уровней, которые могут быть интерпретированы либо как уровни энергии, отвечающие гармоническим колебаниям ядерной поверхности, либо как вращательные полосы энергии, возникающие из-за вращения деформированного ядра как целого. Коллективная природа этих уровней подтверждается интенсивными квадрупольными электромагнитными переходами между ними, а также наличием большого квадрупольного момента у ядер, имеющих постоянную деформацию. При более высоких энергиях возбуждения, выше порога отделения нуклона, также существуют коллективные уровни ядер, которые наблюдаются в сечениях ядерных реакций в виде широких пиков и называются гигантскими мультипольными резонансами. Наиболее мощным и хорошо изученным из них является гигантский дипольный резонанс.
    В настоящем разделе мы, вначале, рассмотрим поверхностные колебания сферически-симметричных четно-четных ядер. Эти колебания подобны колебаниям поверхности жидкой капли. Если амплитуда колебаний невелика, то их можно считать гармоническими. Затем, опишем очень простую модель аксиально-симметричного ротатора. Эта модель поясняет, как образуются вращательные уровни энергии в четно-четных ядрах, имеющих фиксированную форму сфероида вращения. Наконец, в заключение раздела мы кратко остановимся на гидродинамической модели гигантских резонансов, обусловленных колебанием нейтронов относительно протонов.

5.1. Модель пятимерного гармонического осциллятора

    Существование поверхностных колебательных уровней энергии тесно связано с выполнением условия адиабатичности (медленности) колебаний поверхности ядра по отношению к скорости перестройки его внутреннего состояния. Действительно, если выполняется условие ω_колеб << ω_одн, где ω_колеб и ω_одн - характерные частоты для колебательного и одночастичного движения, то можно считать, что во время колебаний нуклоны остаются на тех же самых орбитах, форма которых успевает следовать за формой медленно меняющегося среднего потенциала, так что внутреннее состояние ядра не меняется и его влияние на коллективное движение проявляется только через перенормировку параметров колебательной модели (таких, как массовый параметр B и параметр жесткости поверхности C). Как показывает опыт, необходимые для существования колебательного спектра условия выполняются для ряда сферических четно-четных ядер, не слишком удаленных от заполненных оболочек. Действительно, в таких сферических ядрах, как ¹⁰⁶Pd,
ω_колеб < 1.0 МэВ (см. рис. 5.3), тогда как ω_одн, энергия которую должен приобрести нуклон, чтобы перескочить, не меняя четности и углового момента, на другую орбиту, равна примерно 2ω > 10 МэВ. Следовательно, для ¹⁰⁶Pd и подобных ему ядер отношение  ω_колеб /ω_одн < 0.1.
    Динамические коллективные переменные , описывающие колебания ядерной поверхности около сферически-симметричной равновесной формы, можно ввести, раскладывая расстояние (R(θ,φ)) от начала координат до произвольной точки поверхности по сферическим гармоникам:

Здесь R₀ - равновесный радиус; - сферические гармоники (звездочка означает комплексное сопряжение); θ и φ - полярный и азимутальный углы рассматриваемой точки поверхности; λ = 0, 1, 2, 3, ... и μ при фиксированном значении   может принимать значения -λ , -λ + 1, ... , λ -1, λ.
    Так как поверхность ядра осциллирует вокруг равновесного положения, то коэффициенты разложения зависят от времени. Сферические гармоники описывают угловую зависимость волновой функции колеблющейся поверхности. Они задают колебания ядра с определенным моментом количества движения  
= ²λ(λ+1), λ = μ и четностью π = (-1)^λ.
    Динамические коллективные переменные определяют величины смещений ядерной поверхности от равновесного положения для деформаций различной мультипольности. Динамическая переменная α₀₀ описывает монопольные (λ = 0) колебания сжатия и расширения ядра без изменения его формы (см. рис. 5.1а). Это объемные колебания, имеющие очень большую энергию возбуждения из-за малой сжимаемости ядра, поэтому мы ими заниматься не будем. Не представляют для нас интереса также переменные , так как соответствующее им слагаемое в (5.1) описывает сдвиг ядра как целого. Коллективные переменные описывают поверхностные квадрупольные колебания (см. рис. 5.1б). Это наиболее важная поверхностная мода, имеющая минимальную энергию возбуждения. В дальнейшем, говоря о поверхностных колебаниях, мы будем иметь в основном в виду именно эту моду.

    Энергию малых поверхностных колебаний можно разложить в степенной ряд по динамическим переменным и сопряженным им скоростям ; при этом в нее должны войти только такие комбинации переменных и скоростей, которые инвариантны относительно операций поворота системы координат и обращения времени. В частности, энергия не может содержать членов, пропорциональных в первой степени, так как производные по времени меняют свой знак при обращении времени.
    Вращение системы координат не меняет расстояния от ее начала до фиксированной точки поверхности ядра. Из этого следует, что входящая в выражение (5.1) сумма
(где θ', φ' и θ, φ - угловые переменные одной и той же точки ядерной поверхности в повернутой (x', y', z') и неповернутой (x, y, z) системах координат, μ'- проекция углового момента на ось z' и μ - проекция на ось z) является инвариантом относительно вращений. С другой стороны из сферических гармоник можно образовать вращательный инвариант ,
определяющий плотность вероятности угловой волновой функции для фиксированного пространственного направления. Сравнивая эти два выражения, можно сделать вывод, что динамические переменные и сопряженные им скорости преобразуются при поворотах системы координат точно также, как сферические гармоники, и из них можно образовать два (и только два) квадратичных инварианта: и . Следовательно, с точностью до членов второго порядка малости по , - энергия квадрупольных колебаний поверхности ядра должна иметь вид

где B - массовый параметри C- параметр, характеризующий, жесткость поверхности.
Полученное выражение позволяет трактовать динамические смещения , μ = -2, -1, 0, 1, 2 как нормальные переменные системы, каждая из которых может совершать независимые гармонические колебания с кинетической энергией (1/2)B||² и потенциальной энергией (1/2)С||² (ср. с энергией обычного одномерного гармонического осциллятора: (1/2)m²+ (1/2)kx²). Итак, формула (5.2) описывает энергию пятимерного гармонического осциллятора с пятью степенями свободы: μ = -2, -1, 0, 1, 2. Проквантованные уровни энергии этого осциллятора определяются соотношением

где N - полное число квадрупольных фононов (квантов) и ω - энергия квадрупольного фонона.
    Квадрупольные фононы, имеющие целочисленный момент = 2 и положительную четность, являются неразличимыми бозе-частицами, поэтому волновая функция, описывающая квадрупольные колебания, должна быть симметричной относительно перестановки фононов. Из этого вытекает, что для полного задания произвольного состояния пятимерного осциллятора, достаточно указать сколько имеется квадрупольных фононов в каждом однофононном состоянии |λ = 2, μ>, = 2, 1, ..., -2 (заметим, что статистика Бозе позволяет находиться в одном и том же состоянии неограниченному числу бозонов). Волновая функция многофононного состояния может быть записана в виде |n₂, n₁, n₀, n_-1, n_-2>, где числа заполнения n₂, n₁, ... указывают сколько фононов находятся в состояниях  |λ = 2, μ = 2>, |λ = 2, μ = 1> , ... Введенная выше классификация волновых функций с помощью чисел заполнения (= N) позволяет перечислить все многофононные состояния. Однако, она имеет тот недостаток, что в ней рассматриваются состояния, в которых не фиксируется полный момент количества движения J ядра. N-фононные состояния |N,...,JM> с определенным значением полного углового момента J можно построить, связывая моменты отдельных фононов с учетом требований статистики Бозе. Допустимые при данном N значения J можно найти, подсчитывая кратность (число повторений) различных значений z-компоненты полного углового момента M =в состояниях |n₂, n₁, n₀, n_-1, n_-2> с фиксированным числом фононов (= N). Это иллюстрирует таблица 5.1, где производится подсчет кратности различных значений M для N =2 и 3 случаев.

Таблица 5.1

Кратность различных значений M для симметричных двух- и трехфононных состояний пятимерного гармонического осциллятора
	M		кратность	J
2	4	2·2	1	4
	3	2·1+1·1	1	4
	2	2·1+0·1; 1·2	2	4,2
	1	2·1-1·1; 1·1+0·1	2	4,2
	0	2·1-2·1; 1·1-1·1; 0·2	3	4,2,0
3	6	2·3	1	6
	5	2·2+1·1	1	6
	4	2·2+0·1; 2·1+1·2	2	6,4
	3	2·2-1·1; 2·1+1·1+0·1; 1·3	3	6,4,3
	2	2·2-2·1; 2·1+1·1-1·1; 2·1+0·2; 1·2+0·1	4	6,4,3,2
	1	2·1+1·1-2·1; 2·1+0·1-1·1; 1·2-1·1; 1·1+0·2	4	6,4,3,2
	0	2·1-1·2; 2·1-2·1+0·1; 1·1-1·1+0·1; 1· 2-2·1; 0· 3	5	6,4,3,2,0

    Из этой таблицы видно, что при сложении угловых моментов двух квадрупольных фононов максимальное значение проекции M = 4 получается только 1 раз. Эту проекцию имеет двухфононное состояние с J = 4 (см. последний столбец). Следующая по величине проекция M = 3 также имеет кратность 1. Из этого можно сделать вывод, что двухфононное состояние с угловым моментом J = 3 запрещено в статистике Бозе, так как единственное значение M = 3 исчерпывается состоянием с J = 4. Кратности проекций M = 2 и M = 1 исчерпываются двухфононными состояниями с моментами J = 4 и J = 2. Следовательно, угловой момент J = 1 запрещен. Наконец, существование трех независимых двухфононных состояний с M = 0, позволяет утверждать, что к угловым моментам 4 и 2 должен быть добавлен момент 0. Точно также можно показать, что симметричные трехфононные состояния могут иметь полный момент количества движения J = 0, 2, 3, 4, 6. Проведенное рассмотрение подытоживает рис. 5.2, на котором схематически изображены уровни энергии пятимерного гармонического осциллятора.

   Эксперимент подтверждает существование квадрупольных колебательных спектров энергии. Такие спектры наблюдаются у четно-четных ядер, имеющих не слишком большое число частиц сверх заполненных оболочек. Остаточное нуклон-нуклонное взаимодействие снимает вырождение осцилляторных уровней по J; при этом в экспериментальном спектре иногда отсутствует то или иное значение J и нарушается эквидистантность уровней. Реальный пример квадрупольных колебаний приведен на рис. 5.3.