5.2. Модель аксиально-симметричного ротатора

    Сферически-симметричное ядро не может иметь вращательной энергии, так как оно состоит из неразличимых частиц и при повороте переходит само в себя, т.е. с точки зрения квантовой механики не меняет пространственного положения. Но, если равновесная форма ядра не сферична (деформирована), то появляется пространственная анизотропия, а вместе с ней и вращательные степени свободы.
    Деформация поверхности ядра происходит под влиянием нуклонов, находящихся вне замкнутых оболочек: они притягивают к себе нуклоны остова, растягивают их орбиты и порождают что-то вроде приливной волны, возникающей на поверхности Земли под действием притяжения Луны. Когда частиц вне замкнутых оболочек достаточно много, ядру становится энергетически выгодно иметь деформированную равновесную форму. Обычно, оно приобретает форму вытянутого эллипсоида вращения. Такое ядро обязательно имеет внутренний электрический квадрупольный момент Q₀, вычисляемый во вращающейся, ядерной системе координат (не путать с квадрупольным моментом Q, наблюдаемом во внешней системе координат). Для равномерно-заряженного эллипсоида вращения внутренний электрический квадрупольный момент может быть вычислен по формуле

где Z - заряд ядра (число протонов), R₀ - радиус равновеликой сферы, = 2(a - b)/(a + b) - деформация ядра, a - длина большой полуоси эллипсоида и b - длина малой полуоси.

    Известны несколько областей деформации ядер: при A25 (Al, Mg), в массовой области 150 < A < 190 (лантаниды) и при A > 200 (актиниды). Все эти ядра имеют большие внутренние электрические квадрупольные моменты Q₀. На рис. 5.4 показаны приведенные внутренние квадрупольные моменты Q_прив = Q₀/(ZR²) = (4/5) в зависимости от числа нуклонов в заполняемых оболочках. Как видно из рисунка, наибольшую деформацию имеют ядра, расположенные как раз посредине между замкнутыми оболочками: ¹⁷⁶Lu - заполняется оболочка Z=50-82 и ¹⁶⁷Er - заполняется оболочка N=82-126.
    Рассмотрим деформированное четно-четное ядро, имеющее стабильную аксиально-симметричную форму. С деформированным ядром можно связать внутреннюю систему координат (1, 2, 3), направив ее оси по главным направлениям деформации. Если ядро аксиально-симметрично, то ориентация внутренней системы координат относительно внешней системы (x, y, z) лишь частично фиксируется деформацией: можно, например, направить ось 3 вдоль оси симметрии ядра, но нельзя однозначно выбрать направление осей 1 и 2 в плоскости перпендикулярной к оси 3. Это обстоятельство накладывает соответствующие ограничения на вращательные степени свободы. Асиально-симметричное ядро не может вращаться вокруг оси симметрии, так как такое вращение не меняет состояния нуклонной системы.

Оно может вращаться только вокруг оси перпендикулярной к оси симметрии (см. рис. 5.5). Мы будем считать, что частота вращения ядра как целого мала по сравнению частотами внутреннего движения: _вращ << _внутр (условие адиабатичности), так что кориолисовы и центробежные вращательные силы не оказывают существенного влияния на внутреннее состояние ядра. В этом случае можно пренебречь внутренними степенями свободы и рассматривать только коллективные переменные (углы поворота), описывающие вращение ядра вокруг осей 1 и 2. Если мы остановимся на этом варианте описания низколежащих состояний ядра, то как раз и получим модель аксиально-симметричного ротатора (см. рис. 5.5).
    В рассматриваемой модели полный момент количества движения ядра обусловлен его вращением вокруг оси препендикулярной оси симметрии 3. Проквантованная энергия такого вращения равна

EJ = 2/(2) = J12 + J22)/(2) = 2J(J + 1)/(2),

(5.5)

где - момент инерции ядра относительно оси 1 (или 2) и J - спин ядра, пробегающий целочисленные значения.
    В основном состоянии аксиально-симметричный ротатор имеет нулевую энергию вращения и угловой момент J = 0. Это полностью согласуется с наблюдаемыми значениями спинов основных состояний деформированных четно-четных ядер. Следует подчеркнуть, что отсутствие вращения в основном состоянии вовсе не означает, что ядерный сфероид будет определенным образом ориентирован относительно внешней системы координат (x, y, z). Согласно принципу неопределенности квантовой механики, если в каком-нибудь состоянии точно определен момент количества движения тела (в нашем случае он равен 0), то в этом состоянии будут полностью неопределенны угловые переменные, характеризующие ориентацию тела в пространстве. Следовательно, в системе (x, y, z) можно обнаружить с ненулевой вероятностью самые разные ориентации ядерного сфероида. Это поясняет, почему в квантовой механике при J < 1 внешний квадрупольный момент Q ядра всегда равен нулю, хотя его внутренний квадрупольный момент Q₀ может быть отличен от нуля.
    Следующий важный вопрос, на который мы должны ответить, это - какие значения углового момента J может иметь аксиально-симметричный ротатор в возбужденных состояниях: любые целочисленные или нет? Оказывается не любые, так как аксиально-симметричный эллипсоид остается инвариантным при поворотах на p вокруг любой прямой, проходящей через его центр и перпендикулярной оси симметрии 3, что предполагает соответствующую инвариантность волновой функции ядра. При повороте на бесконечно малый угол d вокруг некоторой оси z волновая функция любого тела преобразуется к виду [1 + (d)d/d+ ...]. Оператор d/d называется оператором бесконечно малого поворота. В квантовой механике ему отвечает оператор проекции углового момент на ось : . Состояния, в которых проекция углового момента на ось z имеет определенное значение М, находят, решая задачу на собственные значения оператора . Легко видеть, что угловая зависимость всех таких состояний должна быть exp{iM}. Из этого следует, что волновая функция _M при повороте на вокруг оси z приобретает фазовый множитель (-1)^М.
    Мы уже говорили, что угловой момент аксиально-симметричного ротатора возникает из-за вращения ядра вокруг оси перпендикулярной к оси симметрии 3. Это означает, что проекция M момента количества движения на ось вращения равна J (см. рис. 5.5). Следовательно, при повороте на p вокруг этой оси волновая функция ядра умножится на (-1)^J, а так как она не должна меняться при таком повороте, то мы находим, что угловой момент аксиально-симметричного ротатора может принимать только четные значения: J = 0, 2, 4, 6,...
    Впрочем, этот результат можно получить и другим способом. Ядерный эллипсоид вращения преобразуется сам в себя при операциии инверсии x -x, y -y, z-z, так как общее начало внешней и внутренней систем координат выбирается в центре симметрии эллипсоида. Это подразумевает, что сферическая функция
Y_JM(,), описывающая вращения аксиально-симметричного ротатора во внешней системе координат, должна быть четной. Но четность сферической функции равна (-1)^J. Откуда сразу вытекает, что допустимы только значения J = 0, 2, 4, 6, ...
    Величина момента инерции ротатора зависит от того какая часть нуклонов ядра принимает участие во вращении. Если ядро вращается как твердое тело, то получим значение

где A - массовое число ядра, m - масса нуклона и R₀ - радиус равновесной сферы. Если же вращение создается только за счет перемещения деформационной волны несжимаемой ядерной жидкости, участвующей в безвихревом движении (гидродинамическая модель), то результат будет иной:

где

β = = (16π/45)1/2= (16π/45)1/2δ(1-δ/2)

(5.8)

- параметр квадрупольной деформации, введенный О. Бором и Б. Моттельсоном (определение параметра дано в упражнении 3.5), и

- массовый параметр для квадрупольной моды безвихревого течения жидкости.

На рис. 5.6 изображено распределение скоростей в ядре во внешней (x, y, z) и внутренней (1, 2, 3) системах координат при вращении аксиально-симметричного ротатора как твердого тела и при безвихревом течении жидкости. Моменты инерции реальных ядер имеют промежуточную величину между твердотельным значением (5.6) и значением (5.7), даваемым гидродинамической моделью.Модель аксиально-симметричного ротатора удовлетворительно описывает вращательные полосы энергии, базирующиеся на основных состояниях четно-четных ядер. Это иллюстрирует рис. 5.7, на котором показан вращательный спектр сильно деформированного ядра ¹⁷⁰Hf. На рисунке хорошо видно, как постепенно растет расстояние между соседними уровнями полосы в соответствии с предсказаниями формулы (5.5). Вместе с тем рассматриваемая модель не годится для описания вращательных полос в нечетных и нечетно-нечетных ядрах, а также вращательных полос в четно-четных ядрах, основанных на возбужденных состояниях.

Чтобы преодолеть это ограничение, вращательная модель должна обязательно учитывать внутренние степени свободы ядра - как это делается, например, в обобщенной модели Бора-Моттельсона.
    В заключение этого раздела остановимся более подробно на критерии существования вращательных спектров:  ω_вращ << ω_внутр. В сильно деформированных четно-четных ядрах ω_вращ ~ 100 КэВ и (ω_внутр)_min = ω_колеб ~ 500-1000 КэВ (см. рис. 5.7 и 6.3), где ω_колеб - частота колебаний ядерной поверхности около равновесной деформированной формы. Это дает для отношения ω_вращ/ω_колеб значение ~ 0.1-0.2.
    Условию адиабатичности ω_вращ<< ω_колеб можно придать иную форму. Как видно из формул (5.5), (5.7), частота вращательного движения по порядку величины равна

С другой стороны, так как полная энергия гармонических колебаний равна удвоенному значению потенциальной энергии, усредненной по состоянию движения, то из формул (5.2), (5.3) вытекает, что энергия нулевых квадрупольных колебаний поверхности может быть записана в виде

(5/2) = 2·5·(1/2)B_гидр(ω_колеб)²(α_нул)²,

где _нул - среднеквадратичная амплитуда нулевых колебаний. Откуда находим, что

Из (5.10) и (5.11) следует, что условие адиабатичности ω_вращ<< ω_колеб выполняется, если выполняется неравенство

т.е. необходимым условием существования вращательного спектра является малость амплитуды нулевых колебаний поверхности по сравнению со статической деформацией ядра .