3 Азимутальная анизотропия при низких р_T

    В нецентральных столкновениях ядер направления оси пучка и вектора прицельного параметра столкновения b (вектор в поперечной плоскости между центрами ядер) определяют плоскость реакции. Следовательно, наблюдаемые могут зависеть от азимутального угла относительно плоскости реакции.
    Первоначальная область перекрытия ядер при ненулевом прицельном параметре имеет эллипсоидальную форму в поперечной плоскости с большой осью эллипсоида, перпендикулярной плоскости реакции. Если рожденное вещество термализуется, то, как следствие пространственной анизотропии системы, в этом сгустке вещества создаются градиенты давления: максимальное − вдоль меньшей оси эллипсоида (в плоскости реакции) и минимальное − вдоль большей оси. В результате азимутальное импульсное распределение частиц становится анизотропным. Азимутальная зависимость выхода частиц широко изучалась экспериментально и теоретически. Наблюдаемая азимутальная анизотропия частиц получила название анизотропии поперечного потока [24].
    Азимутальная анизотропия частиц существует только в том случае, если выход частиц, измеренных в конечном состоянии, зависит не только от физических условий, реализованных локально в точке их рождения, но также если рождение частиц зависит от глобальной геометрии события. В релятивистской локальной теории эта нелокальная информация может быть источником коллективного эффекта, требующего взаимодействия между многими степенями свободы, локализованными в различных точках области столкновения. Анизотропный поток есть безусловное и сильное проявление коллективной динамики в столкновениях тяжелых ионов.
    Азимутальная анизотропия анализируется с помощью разложения Фурье одночастичного распределения частиц по азимутальному углу φ импульса р = (p_L,p_T,φ)

(5)

где Ψ_r − азимут плоскости реакции, который при анализе данных должен определяться в каждом событии. Здесь элемент фазового объема задан как d³p/E = p_Tdp_Tdydφ , где y есть быстрота частицы.     Коэффициенты

v_n = <(cos(n(φ − Ψr))>

задают анизотропию. Они в общем случае зависят от кинематических и других переменных, т.е.
v_n(√s,p_T,y,b,...). Угловые скобки − усреднение по частицам и по событиям.

3.1 Эллиптический поток

"Эллиптический поток" (второй коэффициент v₂ изучен лучше всего. На рис. 5 видно, что с ростом центральности (малая доля адронного полного неупругого сечения соответствует малым значениям прицельного параметра между центрами ядер) эллиптический поток v₂ увеличивается при плавной зависимости от энергии [1].
    Положительное значение v₂ указывает на превышение рождения частиц в плоскости реакции. Зависимость v₂ от энергии известна в области изменения энергии √s_NN на 3 порядка (рис.6).
    Эта зависимость может быть понята в рамках следующей простой картины коллективной динамики. При √s_NN < 2 ГэВ налетающее ядро передает угловой момент ядерной материи в зоне перекрытия двух ядер. Составное вращающееся ядро образует фрагменты, разлетающиеся в плоскости реакции (v₂ > 0 ).

Рис. 5: Зависимость эллиптического потока v₂ от центральности столкновения для √s = 17, 130 и
200 ГэВ в области центральных быстрот в интеграле по поперечному импульсу.

    С ростом энергии материя, сильно сжатая в области перекрытия, начинает расширяться. Однако часть ядер (спектаторы, лежащие вне области перекрытия) блокирует расширение сжатой материи в плоскости реакции. Они выжимают сжатую материю в направлениях, ортогональных этой плоскости (v₂ < 0).
    При дальнейшем росте энергии √s_NN скорость спектаторов достаточна, чтобы освободить пространство для расширения сжатой КХД материи, имеющей асимметричную форму. Эта пространственная асимметрия создает неодинаковые градиенты давления: градиент в плоскости реакции больше, чем в перпендикулярном направлении. Вследствие многократных взаимодействий между многими степенями свободы пространственная асимметрия приводит к анизотропии в импульсном распределении частиц. Конечный поперечный импульс частиц более вероятен в плоскости реакции, чем вне ее, следовательно v₂ > 0, как предсказывалось в работе [26].

Рис. 6: Зависимость эллиптического потока v₂ от энергии √s_NN для центральных ядро-ядерных столкновений. Точка при √s_NN = 5500 ГэВ − экстраполяция данных RHIC.

    Анизотропия в импульсном пространстве, измеренная на коллайдере RHIC, велика. Поскольку коэффициент перед cos(2(φ − Ψ_r)) в уравнении (5) есть 2v₂ , усредненное значение v₂ = 0.05 соответствует 20% вариации выхода частиц как функции угла по отношению к плоскости реакции. В экспериментах на RHIC v₂ достигает значений 0.2. Это свидетельствует о том, что выход частиц в плоскости реакции в 2 раза больше, чем вне ее.
    Наблюдаемые характерные черты коллективного потока состоят в следующем:

• Проинтегрированное по р_T значение v₂(η) показывает протяженный продольный скейлинг
  (рис. 7). Как видно из рисунка, продольный скейлинг сохраняется до средних быстрот.

Рис. 7: Зависимость эллиптического потока v₂ от η' = η — у_beam для центральностей 0 4÷40% .

• По данным RHIC v₂(р_T) растет почти линейно с ростом р_T в области р_T < 2 ГэВ/с [27] и описывается в рамках релятивистской гидродинамической модели [24, 15]. При р_T ≈ 2 ГэВ/с этот рост прекращается. Пока нет однозначного объяснения зависимости v₂(р_T) при больших р_T. Обсуждаются варианты моделей, учитывающие либо вязкость образованной среды, либо эффект подавления партонов (погашение струй).
  Форма р_T-зависимости v₂(р_T) для заряженных адронов имеет характерную точку перелома
  (рис. 8).

Рис. 8: Зависимость эллиптического потока v₂ от поперечного импульса столкновения: звездочки − для пионов, линия − для всех заряженных частиц по данным STAR.

При р_T ≤ 2 ГэВ/с по данным SPS и RHIC v₂(p_T) растет почти линейно с ростом р_T.
При р_T ≈ 2 ГэВ/с этот рост прекращается.
Энергетическая зависимость этой формы не вполне выяснена. При низких р_T наклон
v₂(р_T) растет либо незначительно (SPS) [28], либо существенно (RHIC) [29]. В работе [29] показано, что наклон перестает изменяться при энергиях RHIC и остается постоянным между 62.4 и 200 ГэВ. В этом случае рост усредненного по р_T значения v₂ связан полностью с ростом среднего _T.

• Данные RHIC [27] свидетельствуют, что v₂(p_T) уменьшается с ростом массы частиц при малых p_T (рис. 9, 10). Выше критической точки p_T ~ 1.5 ГэВ/c упорядочение масс прекращается и
  v₂(p_T) с хорошей точностью следует простому кварковому счету. Нормированное на число кварков nq значение v₂/n_q как функция отношения p_T/n_q не зависит от сорта частиц [30]. Это устраняет различие между мезонами и барионами. Следовательно, анизоторопия адронов возникает уже на кварковом уровне.
• В гидродинамическом описании эволюция системы приводит к постоянному значению отношение эллиптического потока v₂ к начальному значению пространственного эксцентриситета ε_part. Отношение v₂/ε_part не зависит от размеров A_T области перекрытия двух ядер [47]. Это предсказание выполняется при сравнении данных в CuCu- и AuAu-столкновениях при энергиях RHIC √s = 200 ГэВ (рис. 13).
  Отношение v₂/ε_part показывает универсальную линейную зависимость от плотности частиц 1/A_T dN^ch/dy при переходе от энергий AGS к энергиям RHIC. Здесь A_T − средняя поперечная площадь перекрытия двух ядер. Эта линейная зависимость выполаживается при энергиях RHIC (рис. 13) и достигает значений, предсказывемых гидродинамической моделью [24]. Существует модель неполной термализации [32], в которой из подгонки теории к зависимости на рис. 13 делается вывод о том, что при энергиях RHIC термализация достигает лишь значений около 50÷70% от предела термализации идеальной жидкости. Этот вывод нельзя считать окончательным, т.к. он зависит от свободных подгоночных параметров модели.
• В гидродинамической модели [47, 52] доказано, что при заданных p_T и y в равновесном состоянии расширяющейся материи

(6)

При энергиях RHIC в работе [34] измерено значение отношения v₄/v₂² ≈ 1.2. Если рассматривать отличие этого отношения от 1/2 как указание на неполное термальное равновесие и если предположить, что при более высоких энергиях механизм установления равновесия будет более эффективным, то на LHC мы получим
0.5 < v₄/v₂² < 1.2. В случае установления полного равновесия в столкновениях ядер на LHC отношение v₄/v₂² ≈ 0.5.

Детальные результаты по измерению эллиптического потока v2 представлены в работе [35] для идентифицированных частиц в AuAu-столкновениях при √s_NN = 200 ГэВ, подтверждающие вышеперечисленные выводы. Сложным в методическом плане оказался вопрос отделения коллективного потока v₂ от непотоковых эффектов. Ряд эффектов (сохранение полного импульса, рождение струй) имитирует угловую анизотропию частиц и искажает величину v₂. В результате анализа данных [35] непотоковые эффекты составили около 10% в интервале
0.2 ≤ pT ≤ 0.3 ГэВ/c и 25% для p_T ~ 6 ГэВ/c. В работе [36] было показано, что применение кумулянтов высокого порядка [37, 38] и, в частности, метода нулей Ли-Янга [39] позволяет подавить вклад непотоковых эффектов и с хорошей точностью порядка 10÷20% измерить v₂ в условиях предстоящих экспериментов на установке CMS (LHC).

Рис. 9: Параметр эллиптического потока v₂ (а) для π⁺-, π⁻-, -мезонов, антипротонов, Λ-гиперонов при 200 ГэВ в AuAu-столкновениях [40] (пунктирные кривые − гидродинамическая модель), Параметр эллиптического потока v₂ (b) при 130 ГэВ и расчетв1 гидродинамической модели для фазового перехода адроны-кварки (EOSQ) и для адронного газа (EOSH).

3.2 Прямой поток

    Коэффициент v₁ определяет "прямой" поток, который характеризует средний импульс, приобретенный частицей вдоль направления прицельного параметра двух ядер. Имеются две характерные тенденции:

• Поток v₁(y), проинтегрированный по p_T как функция быстроты y, ведет себя линейным образом относительно точки y = 0 . При средних быстротах v₁(y) исчезает из-за симметрии между идентичными ядрами. Линейный рост наблюдается от AGS до SPS. Наклон dv₁/dy уменьшается с ростом энергии.
• Зависимость v₁(η'), где η' = η − y_beam, показывает протяженный продольный скейлинг [25]
  (см. рис. 11).

    Для энергий SPS значение v₁(η') положительно в области фрагментации налетающей частицы при η' > 0 . Оно становится отрицательным для η ≤ y_beam и достигает минимума в области

-2 ≤ (η − y_beam) ≤ -1.

Рис. 10: Зависимость эллиптического потока v₂ от р_T при 200 ГэВ [40, 41], включая мультистранные барионы: a) Ξ, b) Ω. На рис. с) значения v₂ и р_T масштабированы на число n_q валентных кварков в каждом адроне.

    Требование, чтобы v₁ равнялось нулю при средних быстротах (v₁(η) = 0), предполагает нарушение свойства продольного скейлинга. Другое объяснение состоит в том, что v₁(η) исчезает в протяженной области около η = 0, так что наклон зависимости v₁(η) в этой области равен нулю, а размер этой области увеличивается с ростом энергии.
    В любом случае v₁(η) при энергиях LHC будет меньше по абсолютной величине, чем 0.01, до быстрот у = 4÷5. Отклонение от этого предсказания укажет на физический эффект, который нарушит бьёркеновский скейлинг при высоких √s_NN. Нет никаких предположений о таком эффекте.
    Таким образом, тестирование нетривиальной зависимости v₁(η) и v₁(p_T) вероятно потребует измерений при больших значениях быстрот, чем на RHIC.

3.3 Вязкость

    Экспериментальные значения v₂ предполагают, что вновь образованная материя на RHIC характеризуется малой средней длиной свободного пробега по сравнению с размерами системы. В этом случае используют представления гидродинамики. Можно ввести понятие вязкости η образованной материи (внутреннего трения). Идеальная жидкость не имеет вязкости. Обычно рассматривают отношение вязкости к плотности энтропии η/s, а энтропия связана с плотностью энергии и давлением η = (ε + р)/Т, где Т − температура сгустка. Нижний предел отношения не равен нулю, очень мал и равен квантовому пределу для сильносвязанных систем η/s = 1/4π (в системе единиц ћ = с = 1). На рис. 12 измеренное отношение η/s приведено при температуре равной критической для данных RHIC. Другие точки на нижней кривой соответствуют модельным расчетам для КГП (T > T_с) и адронного газа (T < T_с). Верхние кривые − для макроскопических жидкостей Не, N₂ H₂0 .

Рис. 11: Прямой поток v₁ для центральностей 0-40% как функция η = |η'| − y_beam.

    Вязкость зависит от эволюции системы и может увеличиться на конечном этапе расширения сгустка. Показано [42], что вязкость может объяснить насыщение v₂(p_T) с ростом p_T т.е. снять противоречие расчетов в гидродинамической модели и данных при больших p_T (см. рис. 10).
    Коллективный поток создается на ранних стадиях столкновения и на партонном уровне, т.е. до того, как партоны слипаются в адроны, и до того, как происходит процесс фрагментации партонов в адроны. Показано, что двухчастичные сечения взаимодействия партонов, полученные в расчетах пертурбативной квантовой хромодинамики (pQCD), не могут создать достаточного потока, если не увеличить на порядок их значение [43]. Это означает, что образованная кварк-глюонная материя является сильновзаимодействующей плазмой (sQGP) в отличие от QGP, ожидаемой при высоких температурах в пределе асимптотической свободы КХД.
    Какие выводы можно сделать, если эти тенденции сохранятся при энергиях LHC?

    1. Если продольный скейлинг v₂ сохранится, тогда v₂(η) растет пропорционально ln √s_NN. В этом случае при энергиях LHC

для PbPb-столкновений в области средних быстрот. Это следует из экстраполяции результатов на рис. 6 и 7.
    Ни треугольная форма зависимости v₂(η), ни линейная зависимость ln √s_NN не являются следствием гидродинамических моделей. В частности, модель идеальной жидкости при экстраполяции от энергий RHIC к LHC дает

для множественности события, показанного на рис. 2 [45].

Рис. 12: Зависимость отношения вязкости к энтропии η/s от температуры термодинамической капли жидкости [44].

    В моделях идеальной жидкости, предполагающих локальное равновесие, не выполняется также пропорциональность v₂(y) ~ dN/dy. Если материя, рожденная уже на RHIC в области средних быстрот, находится в локальном равновесии, тогда при энергиях LHC ожидается отклонение от треугольной формы в протяженной области

вокруг η = 0 . Однако в моделях, предполагающих неполное локальное равновесие [46, 47], пропорциональность v₂(y) ~ dN/dy выполняется и, таким образом, объясняется треугольная форма
v₂(η).

    2. Сравнивая изменение зависимости v₂(p_T) от RHIC к LHC при малых p_T: мы сможем установить, в какой степени наклон p_T-зависимости изменяется с ростом √s_NN. Это интересно, т.к. зависимость этого наклона от √s_NN предполагает, что рост проинтегрированного по p_T коэффициента v₂ с ростом энергии возникает исключительно из-за роста среднего _T.
    Существующие динамические модели эллиптического потока не учитывают увеличения среднеквадратичного , наблюдаемого в адронных столкновениях, с ростом √s_NN. Поэтому установление существенной роли в поведении v₂ может привести к ревизии интерпретации эллиптического потока.
    Кроме того, из данных LHC о v₂(p_T) при промежуточных p_T станет известно, в какой степени точка излома v₂(p_T) зависит от энергии, центральности столкновения, выбора ядер, хотя существующие данные RHIC очень мало чувствительны к этим характеристикам [48]. Это важно, т.к. почти линейная зависимость v₂(p_T) при низких p_T в данных RHIC соответствует поперечному расширению почти идеальной жидкости [24]. Точка излома возникает от начала действия диссипативных эффектов при высоких p_T [49]. Однако транспортные модели и диссипативная гидродинамика [49] могут также объяснить линейный рост v₂(p_T) если начальные условия выбраны определенным образом. Детальное описание динамических причин точки излома пока отсутствует, но оно важно для понимания зависимости от √s_NN.

    3. Упорядочение по массам v₂(p_T) при средних η предсказывается в транспортных моделях [50, 51] и в гидродинамических моделях [45, 24], но детали моделей различаются. Например, два различных подхода [52] и [53] динамики идеальной жидкости дают масштабирование по разным переменным:
v₂(p_T/m) для всех адронов [52] и скейлинг v₂(p_T) с у_T² [53], где у_T = ¹/₂ ln [(m_T + р_T)/(m_T − p_T)].
    При энергиях LHC параметр эллиптического потока v₂(p_T) для D- и B-мезонов даст дополнительный тест упорядочения по массе. Количественные предсказания динамических подходов (динамика жидкости, описание Ланжевена, транспортная модель) различны. Поэтому вопрос о возможной термализации тяжелых кварков, в частности о длине их свободного пробега [54] и механизме адронизации [55, 56], остается открытым. Вообще говоря, тяжелые кварки в равновесии имеют большие значения v₂(p_T), чем неравновесные. И соответствующие мезоны будут иметь большие v₂(p_T), если они образуются за счет коалесценции (включая легкие кварки), чем если они образуются в результате фрагментации тяжелых кварков.
    Упорядочение по массам существует в области значений р_T до точки излома. Выше ее вплоть до
р_T = 5÷6 ГэВ/с наблюдается правило кваркового счета для легких адронов, определяя область промежуточных р_T. Наличие таких правил на LHC ограничит динамические модели, особенно те, которые перекрывают низкие и промежуточные р_T.
    Вернемся к зависимости от центральности. Было предложено классифицировать конечное значение прицельного параметра в терминах поверхности S перекрытия в поперечной плоскости двух ядер и пространственного эксцентриситета ε этой поверхности. С этими переменными данные об отношении v₂(η = 0)/ε от AGS к RHIC показывают универсальную линейную зависимость от
1/S dN^ch/dy (рис. 13).

Рис. 13: Зависимость отношения эллиптического потока к начальному значению эксцентриситета
v₂(η = 0)/ε от 1/S dN^ch/dy.

    При описании рожденной при столкновении тяжелых ионов КХД материи в терминах идеальной жидкости выяснилось, что эта линейная зависимость выполаживается при энергиях RHIC. Таким образом, здесь так же, как и для других классов измерений, наивная экстраполяция этих данных от RHIC к LHC не будет соответствовать динамической модели расширяющейся жидкости, предназначаемой для описания эллиптического потока v₂. С другой стороны, существуют модели, которые могут объяснить дальнейший рост v2/ε за счет неравновесных явлений в начальном состоянии [47] или за счет изменения относительного вклада адронных и партонных перерассеяний [57], а также за счет существенного изменения начальных условий [58].

    Иллюстрации к данному разделу (слайды 9-20).