Н.В. Никитин
Принципиальные вопросы квантовой механики
В лекциях рассматривается аппарат матрицы плотности и его
использование при описании фундаментальных вопросов квантовой физики.
Обсуждается (и решается!) целый ряд квантовомеханических парадоксов.
Видео лекций
Первая лекция посвящена
краткому изложению аксиоматики квантовой теории в формулировке
Дирака. Вторая лекция посвящена проективным измерениям,
теореме о невозможности клонирования произвольного чистого
состояния, задаче о квантовой бомбе и рассуждениям о том, почему
квантовая механика не может быть наглядной. Третья лекция посвящена
обобщению понятия измерения (операторы измерения, POVM-операторы,
несимметричные проекционные операторы), неразрушающим измерениям и
слабым величинам. Разобраны парадокс квантового Чеширского Кота и
трехщелевой парадокс.
В четвертой лекции курса вводятся понятия матрицы плотности для
чистых и смешанных состояний, доказываются основные свойства матрицы
плотности. В конце лекции немного баек про физиков, дабы развлечь
порядком уставшую аудиторию.
В пятой лекции
рассмотрена теорема унитарной свободы при представлении матрицы
плотности, построена нерелятивистская матрица плотности спина 1/2,
дано понятие о теореме Глизона, начат разговор о степенях совпадения
и метриках. В шестой лекции продолжено обсуждение способов
вычисления степеней совпадения и метрик, введено понятие матрицы
плотности подсистемы, дано определение запутанных и сепарабельных
состояний. По каждой из тем разобраны примеры. Лекция номер семь
посвящена разбору процедуры вычисления частичных следов, разложению
Шмидта, квантовой телепортации и состояниям Белла, критериям
сепарабельности и состояниям Вернера. Восьмая лекция посвящена правилу Людерса,
формуле фон Неймана для условных вероятностей, изучению свойств
условных вероятностей в классической и квантовой теориях, разбору
парадокса друга Вигнера и обсуждению процесса редукции. В девятой лекции вводится
проекционный постулат Дирака-фон Неймана, селективные и
неселективные измерения. Обсуждается, почему неселективные измерения
противоречат классической теории вероятностей. Излагается простейшая
модель измерений в квантовой теории (модель фон Неймана). Много
времени уделено теореме Эберхарда и связанному с ней No-signaling
Condition. В десятой лекции мы немного поговорили об
интерпретациях квантовой механики (копенгагенской, статистической и
многомировой), о невозможности создания сверхсветового квантового
телеграфа, о связи локальности с правилом Людерса и наконец о месте
принципа суперпозиции в системе аксиом квантовой механики.
В одинадцатой лекции
выводится квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана) и
дается его решение методом теории возмущений. Приводится теорема "о
сохранении чистоты", обобщенные формула фон Неймана и правило
Людерса, дается теория приблизительных измерений, разбирается
квантовый парадокс Зенона и обсуждается теорема Байеса с точки
зрения обобщенного правила Людерса. Двенадцатая лекция
посвящена введению в совместные истории Гриффица, формуле
Ааронова-Бергмана-Лебовица, стреле времени и свойствам интегралов
движения
Тринадцатая лекция
посвящена описанию динамики открытых квантовых систем. Вводится
представление Крауса и формулируется теорема Крауса. В четырнадцатой лекции разобраны примеры
использования формализма Крауса, прослежена связь между проекционным
постулатом М.Борна, уравнением Шредингера и подходом Крауса, дано
представление о квантовых машинах времени Д.Дойча.
В пятнадцатой лекции
из преобразования Крауса выводится уравнение Линдблада. В качестве
примера применения уравнения Линдблада разбирается простейшая модель
декогеренции. Еще я позволил себе немного пофилософствовать
относительно измерений в физике. :) В конце лекции раскрывается
физический смысл POVM-операторов.
В относительно короткой шестнадцатой лекции дано определение
классической энтропии по К.Шеннону, на простом примере
проиллюстрирована связь теории с информацией. Основная часть лекции
посвящена разбору механизма декогеренции в духе идей Б.Б.Кадомцева и
парадоксу котика Шредингера. Семнадцатая лекция посвящена введению в
классическую теорию информации.
Восемнадцатая лекция
посвящена введению в квантовую теорию информации. Определяется
энтропия по фон Нейману, вычисляется энтропия чистого состояния,
доказывается, что энтропия по Шеннону всегда превосходит энтропию по
фон Нейману. Очень (слишком) долго рассуждаю о концепции скрытых
параметров. Девятнадцатая лекция
начинается с установления связи между вторым началом термодинамики и
свойством субаддитивности. Затем вводится понятие квантовой взаимной
информации и рассматривается, как она соответствует степени
запутанности квантового состояния. Приводятся доказательства
неравенства Араки-Либа и вогнутости квантовой энтропии. В заключение
обсуждаются различные процедуры неточного копирования квантовых
состояний. Двадцатая лекция несколько отличается по
содержанию от остальных лекций курса. В лекции рассматривается
теория познания через призму различных подходов (эмпирицизм и
реализм) к описанию квантовых явлений. Даются определения
операциональных теорий и онтологических моделей, демонстрируется
связь между ними. Приводится классификация состояний физической
системы и онтологических моделей. Двадцать первая лекция посвящена неравенствам
Белла. Дано три различных вывода неравенств Белла и доказана теорема
Цирельсона. Обсуждена важность No-signaling Conditions. В настоящей лекции продолжает обсуждаться
неравенство Белла. Вводятся понятия классического и локального
реализма. Значительное время посвящено дискуссии по поводу
локальности. Разъяснена сущность ЭПР-парадокса и прояснена ключевая
роль запутанности в нарушении неравенств Белла (носки профессора
Бертлмана). В конце лекции кратко рассказывается о трех этапах
экспериментальной проверки неравенств Белла и тех лазейках, которые
мешают таким проверкам. В последней лекции курса дается представление о
ящиках Попеску-Рорлиха. Обсуждается концепция макроскопического
реализма, ее связь и отличие от концепции локального реализма.
Выводятся неравенства Леггетта-Гарга.
Квантовая механика чистых состояний 4
Матрица плотности: основные свойства 70
Формула фон Неймана и ее следствия 173
Эволюция квантовой системы во времени 224
Описание открытых квантовых систем 275
Основы классической теории информации 318
Основы квантовой теории информации 343
Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории 377
Принцип макроскопического реализма и неравенства
Леггетта-Гарга 451
Полезные ссылки 468
Некоторые математические приложения 481
Полезные физические дополнения 490
